Fiche de cours Logimaths

Les vecteurs : le cours expliqué pas à pas

Tout comprendre, de l'idée de départ jusqu'aux démonstrations

💡 Avant de commencer Cette fiche est une version très expliquée du cours sur les vecteurs. On part de zéro, avec des images simples, et on avance doucement du plus facile au plus subtil. Prends ton temps, lis les schémas, et teste-toi avec les « À toi de jouer ».

Étape 1 : D'où vient l'idée de « vecteur » ?

Imagine que tu déplaces un pion sur un plateau : « avance de 3 cases vers la droite et 2 vers le haut ». Ce qui compte, ce n'est pas d'où tu pars, mais le déplacement lui-même : une direction, un sens, une distance. C'est exactement ça, un vecteur.

💡 L'idée clé Un vecteur, c'est un déplacement (on dit aussi une translation). La même « consigne de déplacement » peut être appliquée à partir de n'importe quel point : le vecteur, lui, reste le même.

Autre exemple concret : quand tu pousses une caisse, la force que tu exerces a une intensité, une direction et un sens : c'est aussi un vecteur ! Déplacements, forces, vitesses… les vecteurs sont partout, en maths comme en physique.

Étape 2 : Ce qu'est vraiment un vecteur

Définition Le vecteur AB est le déplacement qui amène le point A sur le point B. On le dessine par une flèche qui part de A (l'origine) et arrive en B (l'extrémité).

Un vecteur possède trois caractéristiques, et il faut les trois pour le décrire :

une direction : celle de la droite (AB) (horizontale, verticale, oblique…) ;
un sens : de A vers B (la pointe de la flèche) ;
une longueur (ou « norme »), notée ‖AB‖ ou simplement AB : c'est la distance entre A et B.

💡 Un vecteur a deux visages On peut voir un vecteur de deux façons : la façon géométrique (une flèche : c'est ce qu'on fait ici) et la façon « avec des nombres » (des coordonnées, qu'on verra au chapitre « Vecteurs et repérage »). C'est le même objet vu sous deux angles : le dessin pour comprendre, les nombres pour calculer.

Le vecteur AB : une flèche de A vers B.

⚠️ Erreur fréquente AB et BA ne sont pas le même vecteur ! Ils ont la même direction et la même longueur, mais le sens contraire. On écrit BA = −AB.

Étape 3 : Quand deux vecteurs sont-ils égaux ?

Deux flèches placées à des endroits différents peuvent représenter le même vecteur. Il suffit qu'elles décrivent le même déplacement.

Définition u = v signifie qu'ils ont même direction, même sens et même longueur : peu importe où ils sont dessinés dans le plan.

Théorème (très utile) AB = CD si et seulement si ABDC est un parallélogramme.

⚠️ Attention à l'ordre des lettres C'est bien ABDC (et non ABCD) : en suivant le parallélogramme, on lit A, B, puis D, puis C. Se tromper d'ordre est l'erreur n°1 sur ce théorème.

Deux flèches identiques : AB = CD.

Étape 4 : Additionner deux vecteurs : la relation de Chasles

Additionner deux vecteurs, c'est enchaîner deux déplacements : je vais de A à B, puis de B à C. Au total, je suis passé de A à C.

Théorème : Relation de Chasles Pour tous points A, B, C : AB + BC = AC

💡 Le truc pour ne jamais se tromper Dans AB + BC, le B « du milieu » se simplifie : il ne reste que le premier point A et le dernier C. C'est comme un relais : l'arrivée du premier déplacement est le départ du second.

En rouge : AC = AB + BC.

Méthode : construire u + v On place v bout à bout à la suite de u (l'origine de v sur l'extrémité de u). Le vecteur somme relie l'origine de u à l'extrémité de v.

👆 À toi de jouer Simplifie MN + NP.

Voir la réponse

Le N du milieu disparaît : MN + NP = MP.

Bon à savoir : l'ordre n'a pas d'importance On peut placer u puis v, ou v puis u : on arrive au même point. Autrement dit u + v = v + u (c'est la règle du parallélogramme).

Étape 4 bis : Soustraire deux vecteurs

Soustraire, c'est simplement ajouter l'opposé : u − v = u + (−v). Il existe aussi une astuce visuelle très pratique.

💡 L'astuce « queue contre queue » Pour AB − AC (deux vecteurs qui partent du même point A), le résultat va de l'extrémité du second vers l'extrémité du premier : AB − AC = CB. Autrement dit, on relie C à B.

Étape 5 : Deux vecteurs particuliers : le nul et l'opposé

Définition : le vecteur nul Ne pas bouger, c'est le vecteur nul 0. On a AA = 0 : partir de A et arriver en A, c'est un déplacement de longueur 0.

Définition : l'opposé L'opposé de u, noté −u, est le vecteur de même direction et même longueur, mais de sens contraire. Faire un déplacement puis son opposé ramène au point de départ : u + (−u) = 0.

Étape 6 : Multiplier un vecteur par un nombre

Multiplier un vecteur par un nombre k, c'est agrandir, réduire ou retourner la flèche, sans changer sa direction.

Définition Pour un réel k, le vecteur ku a la même direction que u, une longueur |k| fois plus grande, et :

le même sens que u si k > 0 ;
le sens contraire si k < 0.

2u est deux fois plus long ; −u pointe dans l'autre sens.

Étape 7 : Vecteurs colinéaires : le mot qui fait peur (mais pas nous)

« Colinéaires » veut juste dire : même direction. Deux vecteurs colinéaires sont parallèles : l'un est un « agrandissement » de l'autre.

Définition u et v (non nuls) sont colinéaires s'il existe un réel k tel que v = k u.

À quoi ça sert ? (deux usages en or)

Alignement : A, B, C sont alignés si et seulement si AB et AC sont colinéaires.
Parallélisme : les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si AB et CD sont colinéaires.

👆 À toi de jouer On sait que AC = 3 AB. Les points A, B, C sont-ils alignés ?

Voir la réponse

Oui ! AC et AB sont colinéaires (avec k = 3), et ils partent du même point A : les trois points sont donc alignés.

Étape 8 : Tout relier : le milieu d'un segment

Le milieu est l'endroit où l'on met en pratique presque tout ce qu'on a vu.

Théorème I est le milieu de [AB] si et seulement si AI = IB, c'est-à-dire AI = 12 AB.

💡 Pourquoi c'est logique Le milieu coupe le déplacement AB en deux moitiés identiques : aller de A au milieu, c'est faire exactement la moitié du chemin, donc 12 AB.

🚦 Les erreurs à éviter absolument

⚠️ Récap des pièges

AB ≠ BA : l'ordre des lettres donne le sens.
Théorème d'égalité : c'est ABDC le parallélogramme, pas ABCD.
Dans une somme de Chasles, on ne simplifie que la lettre commune au milieu : AB + BC, pas AB + CB.
« Colinéaire » ne veut pas dire « égaux » : même direction, mais longueurs et sens peuvent différer.

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L'essentiel en une carte

Chasles (AB + BC = AC) : pour décomposer ou recomposer un déplacement.
Colinéarité (v = k u) : pour prouver un alignement ou un parallélisme.
Égalité (AB = CD) : pour prouver qu'une figure est un parallélogramme.

Prochaine étape : la fiche « Vecteurs et repérage » où l'on donne des coordonnées aux vecteurs pour tout calculer (sommes, colinéarité, milieux, distances).