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Fiche de cours Logimaths

Nombres réels : le cours expliqué pas à pas

Ensembles, intervalles, valeur absolue

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💡 Avant de commencer Version expliquée pas à pas. L'idée clé : les ensembles de nombres sont emboîtés comme des poupées russes, et la valeur absolue mesure une distance.

Étape 1 : Les familles de nombres, emboîtées

Les ensembles ℕ (entiers naturels) ⊂ ℤ (relatifs) ⊂ 𝔻 (décimaux) ⊂ ℚ (fractions) ⊂ ℝ (tous les réels). Chaque famille contient la précédente.
💡 Poupées russes 3 est dans toutes ; −5 à partir de ℤ ; 13 à partir de ℚ ; √2 et π seulement dans ℝ.

Étape 2 : Les intervalles

Notation Un intervalle regroupe tous les réels entre deux bornes. Crochet fermé [ = borne comprise (≤) ; crochet ouvert ] = borne exclue (<). Ex. x ≥ −2 ⟺ [−2 ; +∞[.

Étape 3 : Intersection et réunion

Méthode ∩ (intersection) = ce qui est dans les deux ; ∪ (réunion) = ce qui est dans au moins un. Ex. [−3 ; 4] ∩ [1 ; 7] = [1 ; 4].

Étape 4 : La valeur absolue = une distance

💡 L'idée |x| est la distance de x à 0 : toujours positive. |−5| = 5. Et |x − 3| mesure la distance entre x et 3.
👆 À toi de jouer Traduis « x est à distance au plus 2 de 3 » par un intervalle.
Voir la réponse|x − 3| ≤ 2 ⟺ 1 ≤ x ≤ 5 ⟺ [1 ; 5].

🎯 Mémo

L'essentiel ℕ⊂ℤ⊂𝔻⊂ℚ⊂ℝ. Intervalles : crochet fermé = borne comprise. ∩ = les deux, ∪ = au moins un. |x| = distance à 0.