Fiche de cours Logimaths

Notion de fonction : le cours expliqué pas à pas

Image, antécédent, les trois représentations

💡 Avant de commencer Version expliquée pas à pas. L'idée clé : une fonction se comprend comme une machine, et se regarde sous plusieurs visages (formule, tableau, courbe) : c'est le même objet.

Étape 1 : Une fonction, c'est une machine

Une fonction, c'est une machine : tu lui donnes un nombre en entrée (x), elle te renvoie un nombre en sortie (f(x)).

💡 L'image du distributeur Un distributeur : tu appuies sur un bouton (l'entrée), il sort un produit (la sortie). Une fonction, c'est pareil : à chaque entrée correspond une seule sortie.

Entrée x → machine f → sortie f(x).

Étape 2 : Deux mots essentiels : image et antécédent

Définitions Si f(3) = 7 :

7 est l'image de 3 (la sortie) ;
3 est un antécédent de 7 (l'entrée qui donne cette sortie).

💡 Le sens de la flèche Image = on part de l'entrée, on va vers la sortie (facile : on calcule). Antécédent = on part de la sortie, on remonte vers l'entrée (il faut résoudre une équation). Ce sont les deux sens de la même machine.

Étape 3 : Calculer une image (le sens facile)

Méthode Pour calculer f(a), on remplace chaque x par a dans la formule.

Exemple : pour f(x) = 2x² − 1, on a f(3) = 2×3² − 1 = 18 − 1 = 17.

Étape 4 : Chercher un antécédent (le sens qui demande de résoudre)

Méthode Pour trouver les antécédents de k, on résout l'équation f(x) = k.

Exemple : antécédents de 8 par f(x) = 2x : on résout 2x = 8, donc x = 4.

👆 À toi de jouer Pour f(x) = x² : quelle est l'image de −3 ? Quels sont les antécédents de 9 ?

Voir la réponse

Image de −3 : f(−3) = 9. Antécédents de 9 : x² = 9 donne x = 3 ou x = −3 (deux antécédents !).

Étape 5 : Les trois visages d'une fonction

💡 Une même fonction, trois façons de la voir

la formule (f(x) = 2x − 1) : pour calculer ;
le tableau de valeurs : pour lire vite quelques images ;
la courbe : pour voir d'un coup d'œil comment ça évolue.

Savoir passer de l'un à l'autre, c'est ça, maîtriser les fonctions.

🚦 L'erreur à éviter

⚠️ Ne pas confondre Image et antécédent sont dans des sens opposés. « L'image de 3 » se calcule directement ; « un antécédent de 3 » se cherche en résolvant une équation (et il peut y en avoir 0, 1 ou plusieurs).

🎯 Mémo

L'essentiel Fonction = machine entrée → sortie. Image = sortie (on calcule). Antécédent = entrée (on résout f(x) = k). Trois représentations : formule, tableau, courbe.