Fiche de cours Logimaths

Combinatoire : le cours expliqué pas à pas

Factorielle, combinaisons, Pascal

💡 Avant de commencer Version expliquée pas à pas. L'idée clé : la combinatoire, c'est l'art de compter sans énumérer un par un.

Étape 1 : Compter les possibilités

Combien de menus, de codes, d'équipes peut-on former ? La combinatoire répond en comptant, à l'aide de deux questions : l'ordre compte-t-il ? peut-on répéter ?

Arbre des possibilités (version simplifiée à 2 entrées et 3 plats) : chaque chemin de la racine à une feuille correspond à un menu possible, et le nombre total de chemins vaut 2\times3=6, conformément au principe multiplicatif.

Étape 2 : La factorielle

Définition n! = n × (n−1) × … × 2 × 1 compte le nombre de façons d'ordonner n objets. Ex. 5! = 120.

Étape 3 : Les combinaisons

Choisir sans ordre C(n ; k) compte le nombre de façons de choisir k objets parmi n, sans tenir compte de l'ordre. Ex. choisir 2 élèves parmi 5 : C(5 ; 2) = 10.

💡 Ordre ou pas ? Un podium (1er, 2e, 3e) : l'ordre compte. Une équipe de 3 : l'ordre ne compte pas → on utilise C(n ; k).

Étape 4 : Le triangle de Pascal

Propriété C(n ; k) = C(n−1 ; k−1) + C(n−1 ; k) : chaque coefficient est la somme des deux au-dessus de lui (triangle de Pascal). Pratique pour les calculer de proche en proche.

👆 À toi de jouer Combien d'équipes de 2 peut-on former parmi 4 personnes ?

Voir la réponse

C(4 ; 2) = 6.

🎯 Mémo

L'essentiel Compter sans énumérer. n! = ordonner. C(n ; k) = choisir k parmi n sans ordre. Triangle de Pascal pour les calculer.