Fiche de cours Logimaths
Continuité : le cours expliqué pas à pas
Sans saut, TVI, unicité
💡 Avant de commencer Version expliquée pas à pas. L'idée clé : « continue » veut simplement dire « sans saut », et de là découle un théorème très puissant (le TVI).
Étape 1 : Tracer sans lever le crayon
Une fonction est continue sur un intervalle si on peut tracer sa courbe sans lever le crayon : aucun saut, aucun trou.
Étape 2 : Presque toutes les fonctions usuelles
À retenir Les polynômes, l'exponentielle, le logarithme, les fonctions racine et inverse sont continus sur leur ensemble de définition. Leurs sommes, produits et composées aussi.
Étape 3 : Le théorème des valeurs intermédiaires
TVI Si f est continue sur [a ; b] et si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors l'équation f(x) = 0 a (au moins) une solution entre a et b.
💡 Évident quand on y pense Pour passer d'en dessous de l'axe à au-dessus sans lever le crayon, il faut bien traverser l'axe quelque part.
Étape 4 : Une seule solution : la stricte monotonie
Corollaire Si en plus f est strictement monotone (toujours croissante ou toujours décroissante), la solution est unique.
👆 À toi de jouer Montre que x3 + x − 1 = 0 a une solution dans [0 ; 1].
Voir la réponse
Posons f(x) = x3 + x − 1 (continue). f(0) = −1 < 0 et f(1) = 1 > 0 : par le TVI, une solution existe dans [0 ; 1].🎯 Mémo
L'essentiel Continue = sans saut. Usuelles continues. TVI : signes contraires → une solution. + stricte monotonie → solution unique.