Fiche de cours Logimaths
Convexité : le cours expliqué pas à pas
Courbure, dérivée seconde, inflexion
💡 Avant de commencer Version expliquée pas à pas. L'idée clé : la convexité décrit la courbure : la courbe forme-t-elle un bol ou un dôme ?
Étape 1 : Bol ou dôme ?
Définitions Une fonction est convexe si sa courbe est « creuse vers le haut » (en forme de bol, ∪) ; concave si elle est « bombée » (en forme de dôme, ∩).
Étape 2 : Le lien avec la dérivée seconde
Critère f'' ≥ 0 sur un intervalle → f convexe ; f'' ≤ 0 → f concave. La dérivée seconde mesure la courbure.
💡 Pourquoi f'' ? f' est la pente. Si la pente augmente (f'' > 0), la courbe se redresse de plus en plus : elle creuse un bol → convexe.
Étape 3 : Le point d'inflexion
Définition Un point d'inflexion est un point où la courbe change de courbure (de convexe à concave ou l'inverse) : f'' y change de signe.
Étape 4 : Courbe et tangente
Propriété Une fonction convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes ; une fonction concave, en dessous.
👆 À toi de jouer La fonction f(x) = x2 est-elle convexe ?
Voir la réponse
f''(x) = 2 > 0 partout : oui, elle est convexe (sa courbe est un bol).🎯 Mémo
L'essentiel Convexe = bol (f'' ≥ 0, au-dessus des tangentes) ; concave = dôme (f'' ≤ 0). Point d'inflexion = f'' change de signe.