Fiche d'exercices Logimaths | Terminale spécialité
Fiche d'exercices : Combinatoire et dénombrement
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
🧭 Lequel choisir ? L'arbre de décision
Avant de compter, deux questions suffisent à choisir le modèle : l'ordre compte-t-il, puis les répétitions sont-elles autorisées. L'arbre se construit tout seul, dans l'ordre où on le parcourt :
Échauffement
Exercice 1 : Diagramme et principe additif⭐
Dans un club de 40 membres, 22 font de l'escalade, 18 du canoë, et 7 pratiquent les deux.
- Combien de membres font uniquement de l'escalade ? Uniquement du canoë ?
- Combien ne pratiquent aucune des deux activités ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
On place d'abord l'intersection (7), puis on complète chaque disque :1. Escalade seule : 22 − 7 = 15 ; canoë seul : 18 − 7 = 11.
2. Les trois zones du diagramme sont disjointes, donc le principe additif s'applique : 15 + 11 + 7 = 33 pratiquants, et 40 − 33 = 7 membres sans activité.
2. Les trois zones du diagramme sont disjointes, donc le principe additif s'applique : 15 + 11 + 7 = 33 pratiquants, et 40 − 33 = 7 membres sans activité.
Exercice 2 : Principe multiplicatif⭐
- Une tenue = 1 haut parmi 6, 1 bas parmi 4, 1 paire de chaussures parmi 3. Combien de tenues possibles ?
- Combien de plaques formées de 2 lettres suivies de 3 chiffres ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. Une case par choix successif, et on multiplie :
Remarque : les trois choix portent sur des ensembles DIFFÉRENTS (hauts, bas, chaussures). Ce n'est donc ni un arrangement ni une combinaison, seulement le principe multiplicatif.
2. Ici les 5 positions puisent chacune dans un seul ensemble (26 lettres, puis 10 chiffres), l'ordre compte et une lettre peut revenir : ce sont des k-uplets.Le cœur du chapitre
Exercice 3 : k-uplets⭐⭐
- Un QCM comporte 8 questions à 4 réponses possibles chacune. Combien de grilles de réponses complètes différentes ?
- Combien de mots de 5 lettres (avec répétitions, sens ou non) peut-on former avec l'alphabet ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. Ici la répétition CHANGE la réponse : une même lettre peut servir à plusieurs questions, donc chaque case garde ses 4 possibilités.2. Même modèle, avec 26 lettres et 5 positions : 26^5 = 11\,881\,376 mots.
Exercice 4 : Arrangements et permutations⭐⭐
- De combien de façons 6 élèves peuvent-ils se ranger en file indienne ?
- Dans une course de 10 chevaux, combien de tiercés dans l'ordre ?
- Un bureau (président, secrétaire, trésorier, rôles tous distincts) doit être élu parmi 15 personnes. Combien de bureaux possibles ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
Dans les trois cas l'ordre compte et rien ne se répète (un élève, un cheval, une personne n'occupe qu'une place) : chaque case perd une possibilité.
1. Une place par élève, et on répond aux deux questions de l'arbre :Retenir le vocabulaire : une permutation n'est pas un modèle de plus, c'est le cas particulier de l'arrangement où l'on place tous les éléments (k = n). D'où A_n^n = n!.2. Trois places seulement, parmi 10 chevaux :3. Trois rôles distincts parmi 15 personnes : même modèle.
1. Une place par élève, et on répond aux deux questions de l'arbre :Retenir le vocabulaire : une permutation n'est pas un modèle de plus, c'est le cas particulier de l'arrangement où l'on place tous les éléments (k = n). D'où A_n^n = n!.2. Trois places seulement, parmi 10 chevaux :3. Trois rôles distincts parmi 15 personnes : même modèle.
Exercice 5 : Combinaisons⭐⭐
- Calcule \binom{7}{2}, \binom{9}{3} et \binom{50}{49} (astuce pour le dernier !).
- Au loto simplifié, on coche 6 numéros parmi 49. Combien de grilles possibles ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
Le principe est toujours le même : on compte d'abord comme si l'ordre comptait, puis on divise par le nombre d'ordres possibles.1. \begin{aligned}\binom{7}{2} &= \dfrac{7 \times 6}{2} \\ &= 21\end{aligned} \begin{aligned}\binom{9}{3} &= \dfrac{9 \times 8 \times 7}{3!} \\ &= 84\end{aligned} \begin{aligned}\binom{50}{49} &= \binom{50}{1} \\ &= 50\end{aligned} par symétrie : choisir les 49 que l'on garde revient à choisir le seul que l'on écarte.
2. Au loto, l'ordre des numéros cochés ne compte pas : c'est une combinaison, \binom{49}{6} = 13\,983\,816, près de 14 millions de grilles (d'où la rareté du gros lot…).
2. Au loto, l'ordre des numéros cochés ne compte pas : c'est une combinaison, \binom{49}{6} = 13\,983\,816, près de 14 millions de grilles (d'où la rareté du gros lot…).
Exercice 6 : Choisir le bon modèle⭐⭐
Pour chaque situation, indique le modèle (k-uplet, arrangement, combinaison) et compte :
- un cadenas à 3 molettes de 10 chiffres ;
- une main de 5 cartes piochées dans un jeu de 32 ;
- un relais de natation : choisir et ordonner 4 nageurs parmi 8.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
On déroule l'arbre du début de la fiche : l'ordre d'abord, la répétition ensuite.
1. Un cadenas : l'ordre compte (312 ≠ 213) et un chiffre peut se répéter → k-uplets.2. Une main de cartes : l'ordre de la pioche ne change rien à la main, et une carte ne peut pas sortir deux fois → combinaisons.3. Un relais : l'ordre des nageurs compte, et un nageur ne nage qu'une fois → arrangements.
1. Un cadenas : l'ordre compte (312 ≠ 213) et un chiffre peut se répéter → k-uplets.2. Une main de cartes : l'ordre de la pioche ne change rien à la main, et une carte ne peut pas sortir deux fois → combinaisons.3. Un relais : l'ordre des nageurs compte, et un nageur ne nage qu'une fois → arrangements.
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Pascal et symétrie⭐⭐⭐
- Écris les lignes n = 0 à n = 6 du triangle de Pascal.
- Vérifie sur la ligne 5 que {\binom{5}{2} + \binom{5}{3} = \binom{6}{3}}.
- Que vaut la somme {\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n}} des coefficients d'une ligne ? Teste sur n = 4 puis justifie avec les sous-ensembles.
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. Chaque ligne se déduit de la précédente en additionnant les voisins :2. C'est la relation de Pascal, qui se lit directement sur la figure : {\binom{5}{2} + \binom{5}{3} = \binom{6}{3}}, soit 10 + 10 = 20 ✔.
3. Sur n = 4 : 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4. En général 2^n : compter tous les sous-ensembles par taille (à gauche) revient à les compter en donnant à chaque élément le choix « dedans/dehors » (à droite).
3. Sur n = 4 : 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4. En général 2^n : compter tous les sous-ensembles par taille (à gauche) revient à les compter en donnant à chaque élément le choix « dedans/dehors » (à droite).
Exercice 8 : Synthèse type bac : la délégation⭐⭐⭐
Un lycée doit envoyer une délégation de 5 élèves choisis parmi 12 filles et 10 garçons.
- Combien de délégations possibles en tout ?
- Combien de délégations composées de 3 filles et 2 garçons ?
- Combien de délégations comportant au moins un garçon ? (passe par le contraire !)
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. Une délégation est un simple GROUPE : l'ordre dans lequel on désigne ses membres ne change rien, et personne n'y figure deux fois. C'est donc une combinaison de 5 parmi 22.2. On choisit les filles, PUIS les garçons : deux combinaisons indépendantes, reliées par le principe multiplicatif :
\begin{aligned}\binom{12}{3} \times \binom{10}{2} &= 220 \times 45 \\ &= \mathbf{9\,900}\end{aligned}
3. « Au moins un garçon » appelle l'événement contraire, « aucun garçon », c'est-à-dire 5 filles :
\binom{12}{5} = 792, donc 26\,334 - 792 = \mathbf{25\,542} délégations.
\begin{aligned}\binom{12}{3} \times \binom{10}{2} &= 220 \times 45 \\ &= \mathbf{9\,900}\end{aligned}
3. « Au moins un garçon » appelle l'événement contraire, « aucun garçon », c'est-à-dire 5 filles :
\binom{12}{5} = 792, donc 26\,334 - 792 = \mathbf{25\,542} délégations.