Fiche d'exercices Logimaths | Terminale spécialité
Fiche d'exercices : Limite des fonctions
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Références et asymptotes⭐
- Donne \lim_{x \to -\infty} x^4, \lim_{x \to -\infty} e^x et \lim_{x \to +\infty} \tfrac{1}{\sqrt{x}}.
- La fonction f(x) = 3 - \tfrac{2}{x} admet-elle une asymptote en +∞ ? Laquelle ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. +\infty (exposant pair) ; 0 (l'exponentielle s'éteint en −∞) ; 0.
2. 2/x \to 0 donc f \to 3 : asymptote horizontale y = 3.
2. 2/x \to 0 donc f \to 3 : asymptote horizontale y = 3.
Exercice 2 : Polynômes à l'infini⭐
Détermine :
- \lim_{x \to +\infty} (-3x^2 + 5x - 1)
- \lim_{x \to -\infty} (x^3 + 10x^2)
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. Comportement du terme dominant -3x^2 : -\infty.
2. Terme dominant x^3 : -\infty (en le justifiant proprement : {x^3(1 + 10/x) \to -\infty \times 1}).
2. Terme dominant x^3 : -\infty (en le justifiant proprement : {x^3(1 + 10/x) \to -\infty \times 1}).
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Quotients : les trois scénarios⭐⭐
Détermine chaque limite en +∞ :
- \dfrac{4x^2 - x}{8x^2 + 3}
- \dfrac{x^3 + 2}{5x + 1}
- \dfrac{7x - 4}{x^2}
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. Même degré : rapport des coefficients dominants, \tfrac{4}{8} = \tfrac{1}{2}.
2. Le numérateur domine : +\infty.
3. Le dénominateur domine : 0.
2. Le numérateur domine : +\infty.
3. Le dénominateur domine : 0.
Exercice 4 : Limite en un point : le tableau de signes⭐⭐
Soit f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 4}.
- Détermine \lim_{x \to 4^+} f(x) et \lim_{x \to 4^-} f(x).
- Quelle asymptote en déduit-on ?
- Détermine aussi \lim_{x \to +\infty} f(x) et son asymptote.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. Le numérateur tend vers 9 > 0. À droite de 4, x - 4 > 0 : \lim_{4^+} f = +\infty ; à gauche, x - 4 < 0 : \lim_{4^-} f = -\infty.
2. Asymptote verticale x = 4.
3. Même degré : limite \tfrac{2}{1} = 2 : asymptote horizontale y = 2 en +∞ (et en −∞).
2. Asymptote verticale x = 4.
3. Même degré : limite \tfrac{2}{1} = 2 : asymptote horizontale y = 2 en +∞ (et en −∞).
Exercice 5 : Composition⭐⭐
Détermine chaque limite en citant le schéma de composition :
- \lim_{x \to +\infty} \sqrt{4 + \tfrac{1}{x}}
- \lim_{x \to -\infty} e^{3x - 1}
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. 4 + \tfrac{1}{x} \to 4, puis \sqrt{X} \to \sqrt{4} : limite 2.
2. 3x - 1 \to -\infty, puis e^X \to 0 : limite 0.
2. 3x - 1 \to -\infty, puis e^X \to 0 : limite 0.
Exercice 6 : Gendarmes et comparaison⭐⭐
- Encadre \dfrac{\cos x}{x^2} pour x > 0 et déduis-en sa limite en +∞.
- Justifie que x + \sin x \geq x - 1 et conclus sur \lim_{x \to +\infty} (x + \sin x).
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. {-\tfrac{1}{x^2} \leq \tfrac{\cos x}{x^2} \leq \tfrac{1}{x^2}} et les bornes tendent vers 0 : par les gendarmes, limite 0.
2. \sin x \geq -1. Or x - 1 \to +\infty : par comparaison, x + \sin x \to +\infty (un seul gendarme suffit pour une limite infinie).
2. \sin x \geq -1. Or x - 1 \to +\infty : par comparaison, x + \sin x \to +\infty (un seul gendarme suffit pour une limite infinie).
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Croissances comparées⭐⭐⭐
Détermine :
- \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^3}
- \lim_{x \to -\infty} x^2 e^x
- \lim_{x \to +\infty} (e^x - x^{10}) (factorise !)
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. Croissances comparées : +\infty.
2. Croissances comparées (version −∞) : 0.
3. FI « ∞ − ∞ » : on factorise e^x\left(1 - \tfrac{x^{10}}{e^x}\right). Or \tfrac{x^{10}}{e^x} \to 0 : la parenthèse tend vers 1 et la limite est +\infty.
2. Croissances comparées (version −∞) : 0.
3. FI « ∞ − ∞ » : on factorise e^x\left(1 - \tfrac{x^{10}}{e^x}\right). Or \tfrac{x^{10}}{e^x} \to 0 : la parenthèse tend vers 1 et la limite est +\infty.
Exercice 8 : Synthèse type bac⭐⭐⭐
Soit f(x) = \dfrac{3e^x}{e^x + 2} définie sur \mathbb{R}.
- Détermine \lim_{x \to -\infty} f(x). Asymptote ?
- En divisant numérateur et dénominateur par e^x, détermine \lim_{x \to +\infty} f(x). Asymptote ?
- Que dire de la courbe de f ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. e^x \to 0 : f(x) \to \tfrac{0}{0 + 2} = 0 : asymptote y = 0 en −∞.
2. f(x) = \dfrac{3}{1 + 2e^{-x}} et e^{-x} \to 0 : limite 3, asymptote y = 3 en +∞.
3. La courbe est coincée entre ses deux asymptotes horizontales (0 et 3) : une courbe « en S » (sigmoïde), typique des modèles de saturation.
2. f(x) = \dfrac{3}{1 + 2e^{-x}} et e^{-x} \to 0 : limite 3, asymptote y = 3 en +∞.
3. La courbe est coincée entre ses deux asymptotes horizontales (0 et 3) : une courbe « en S » (sigmoïde), typique des modèles de saturation.