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Fiche d'exercices Logimaths

Lois discrètes

Loi de probabilité, espérance, variance, jeu équitable et sujet type bac : Niveau Terminale Générale.

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Exercice 1 : Loi de probabilité et espérance

Une variable aléatoire discrète X suit la loi suivante : X prend les valeurs -2\,;1\,;3 avec les probabilités 0{,}25\,;0{,}45\,;0{,}3.
  1. Vérifier que la somme des probabilités vaut 1.
  2. Calculer E(X).
Voir la correction
a)0{,}25+0{,}45+0{,}3 = \mathbf{1} ✓.
b)\begin{aligned}E(X) &= -2\times0{,}25+1\times0{,}45+3\times0{,}3 \\ &= -0{,}5+0{,}45+0{,}9 \\ &= \mathbf{0{,}85}\end{aligned}

Exercice 2 : Transformation affine d'une variable aléatoire

On pose Y=2X+3, où X est la variable aléatoire de l'exercice précédent ({E(X)=0{,}85}).
  1. Rappeler la formule {E(aX+b)=aE(X)+b}.
  2. Calculer E(Y).
Voir la correction
a)E(aX+b) = aE(X)+b.
b)Par linéarité de l'espérance : \begin{aligned}E(Y) &= E(2X+3) \\ &= 2\,E(X)+3 \\ &= 2\times0{,}85+3 \\ &= 1{,}7+3 \\ &= \mathbf{4{,}7}\end{aligned}

Exercice 3 : Calcul d'espérance, variance et écart-type

Une variable aléatoire discrète X suit la loi donnée par le tableau suivant :
x_i-102
P(X=x_i)0{,}20{,}30{,}5
  1. Vérifier que cette loi est correctement définie.
  2. Calculer E(X).
  3. Calculer E(X^2), puis en déduire V(X) et \sigma(X) (arrondi au centième).
Voir la correction
a)Toutes les probabilités sont comprises entre 0 et 1, et 0{,}2+0{,}3+0{,}5 = \mathbf{1} ✓. La loi est bien définie.
b)\begin{aligned}E(X) &= -1\times0{,}2+0\times0{,}3+2\times0{,}5 \\ &= -0{,}2+0+1 \\ &= \mathbf{0{,}8}\end{aligned}
c)\begin{aligned}E(X^2) &= (-1)^2\times0{,}2+0^2\times0{,}3+2^2\times0{,}5 \\ &= 0{,}2+0+2 \\ &= 2{,}2\end{aligned}
\begin{aligned}V(X) &= E(X^2)-(E(X))^2 \\ &= 2{,}2-0{,}8^2 \\ &= 2{,}2-0{,}64 \\ &= \mathbf{1{,}56}\end{aligned}
\begin{aligned}\sigma(X) &= \sqrt{1{,}56} \\ &\approx \mathbf{1{,}25}\end{aligned}

Exercice 4 : Vrai ou faux

Une variable aléatoire discrète X suit la loi : P(X=1)=0{,}5, P(X=2)=0{,}3, {P(X=3)=0{,}2}. On pose Y=3X-1. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant.
  1. E(X)=1{,}7.
  2. P(X\le 2) = 0{,}8.
  3. V(X) = 0{,}61.
  4. \sigma(X)\approx 0{,}78 (arrondi au centième).
  5. \begin{aligned}V(Y) &= 3\times V(X) \\ &= 1{,}83\end{aligned}
Voir la correction
a)Vrai. \begin{aligned}E(X) &= 1\times0{,}5+2\times0{,}3+3\times0{,}2 \\ &= 0{,}5+0{,}6+0{,}6 \\ &= \mathbf{1{,}7}\end{aligned}
b)Vrai. \begin{aligned}P(X\le 2) &= P(X=1)+P(X=2) \\ &= 0{,}5+0{,}3 \\ &= \mathbf{0{,}8}\end{aligned}
c)Vrai. \begin{aligned}E(X^2) &= 1\times0{,}5+4\times0{,}3+9\times0{,}2 \\ &= 0{,}5+1{,}2+1{,}8 \\ &= 3{,}5\end{aligned} donc \begin{aligned}V(X) &= 3{,}5-1{,}7^2 \\ &= 3{,}5-2{,}89 \\ &= \mathbf{0{,}61}\end{aligned}
d)Vrai. \begin{aligned}\sigma(X) &= \sqrt{0{,}61} \\ &\approx \mathbf{0{,}78}\end{aligned}
e)Faux. La formule correcte est {V(aX+b)=a^2V(X)} et non aV(X) : ici \begin{aligned}V(Y) &= 3^2\times0{,}61 \\ &= 9\times0{,}61 \\ &= \mathbf{5{,}49}\end{aligned} et non 1{,}83. C'est une erreur classique de confondre la règle de l'espérance (linéaire en a) avec celle de la variance (en a^2).

Exercice 5 : Jeu équitable : déterminer la mise

Une urne contient 20 boules indiscernables au toucher : 2 boules noires, 5 boules rouges et 13 boules blanches. Un joueur mise m euros (avec m>0) puis tire une boule au hasard : s'il tire une boule noire, il reçoit 40 € ; s'il tire une boule rouge, il reçoit 5 € ; s'il tire une boule blanche, il ne reçoit rien. On note X le gain algébrique du joueur (somme reçue moins la mise m).
  1. Donner la loi de probabilité de X en fonction de m.
  2. Exprimer E(X) en fonction de m, sous la forme la plus simple possible.
  3. Déterminer la valeur de m pour laquelle le jeu est équitable.
Voir la correction
a)
x_i40-m5-m-m
P(X=x_i)\tfrac2{20}\tfrac5{20}\tfrac{13}{20}
b)E(X)=(40-m)\times\dfrac2{20}+(5-m)\times\dfrac5{20}+(-m)\times\dfrac{13}{20}.
En réduisant au même dénominateur : \begin{aligned}E(X) &= \dfrac{2(40-m)+5(5-m)-13m}{20} \\ &= \dfrac{80-2m+25-5m-13m}{20} \\ &= \dfrac{105-20m}{20}\end{aligned}
Donc E(X)=\mathbf{5{,}25-m}.
c)Le jeu est équitable lorsque E(X)=0, soit 5{,}25-m=0, donc \mathbf{m=5{,}25} €.

Exercice 6 : Problème type bac : la roue de la fortune

Dans une fête foraine, un forain propose une roue de la fortune partagée en 10 secteurs identiques : 5 secteurs marqués « 1 point », 3 secteurs marqués « 5 points » et 2 secteurs marqués « 20 points ». On note X le nombre de points obtenus lors d'un tirage.

Partie A : Étude de la variable X

  1. Donner la loi de probabilité de X.
  2. Calculer l'espérance E(X).
  3. Calculer la variance V(X) puis l'écart-type \sigma(X) (arrondi au centième).
Voir la correction : Partie A
a)
x_i1520
P(X=x_i)0{,}50{,}30{,}2
(On vérifie 0{,}5+0{,}3+0{,}2=1 ✓.)
b)\begin{aligned}E(X) &= 1\times0{,}5+5\times0{,}3+20\times0{,}2 \\ &= 0{,}5+1{,}5+4 \\ &= \mathbf{6}\end{aligned}
c)\begin{aligned}E(X^2) &= 1^2\times0{,}5+5^2\times0{,}3+20^2\times0{,}2 \\ &= 0{,}5+7{,}5+80 \\ &= 88\end{aligned}
\begin{aligned}V(X) &= 88-6^2 \\ &= 88-36 \\ &= \mathbf{52}\end{aligned} donc \begin{aligned}\sigma(X) &= \sqrt{52} \\ &\approx \mathbf{7{,}21}\end{aligned}

Partie B : Le gain réel du joueur

Le forain convertit les points en gain réel selon G=0{,}5X-1 (chaque point rapporte 0,5 €, et 1 € de frais de participation est retenu).
  1. Calculer E(G).
  2. Calculer V(G) et \sigma(G) (arrondi au centième).
Voir la correction : Partie B
a)Par linéarité de l'espérance : \begin{aligned}E(G) &= E(0{,}5X-1) \\ &= 0{,}5\,E(X)-1 \\ &= 0{,}5\times6-1 \\ &= 3-1 \\ &= \mathbf{2}\end{aligned} €.
b)Avec {V(aX+b)=a^2V(X)} (le terme constant -1 ne change pas la variance) : \begin{aligned}V(G) &= 0{,}5^2\times V(X) \\ &= 0{,}25\times52 \\ &= \mathbf{13}\end{aligned} donc \begin{aligned}\sigma(G) &= \sqrt{13} \\ &\approx \mathbf{3{,}61}\end{aligned} €.

Partie C : Deux tours de roue indépendants

Un joueur décide de jouer deux tours de roue indépendants. On note G_1 et G_2 les gains réels obtenus lors de chaque tour (chacun suit la même loi que G), et T=G_1+G_2 le gain total.
  1. Calculer E(T).
  2. Justifier que V(T)=V(G_1)+V(G_2), puis calculer V(T).
  3. Le forain souhaite fixer une mise totale m (payée une seule fois pour les deux tours) rendant le jeu équitable, c'est-à-dire telle que E(T-m)=0. Déterminer m.
Voir la correction : Partie C
a)Par linéarité de l'espérance (toujours valable, même sans indépendance) : \begin{aligned}E(T) &= E(G_1)+E(G_2) \\ &= 2+2 \\ &= \mathbf{4}\end{aligned} €.
b)La formule V(T)=V(G_1)+V(G_2) n'est valable que parce que les deux tours sont indépendants (l'énoncé le précise). Ainsi \begin{aligned}V(T) &= 13+13 \\ &= \mathbf{26}\end{aligned}
c)\begin{aligned}E(T-m) &= E(T)-m \\ &= 4-m\end{aligned} Le jeu est équitable lorsque 4-m=0, soit \mathbf{m=4} €.

Exercice 7 : Loi géométrique, le rang du premier succès

Dans un jeu vidéo, chaque tentative de battre un boss réussit avec la probabilité {p=0{,}2}, indépendamment des tentatives précédentes. On note X le rang de la première réussite.
  1. Justifier que X suit une loi géométrique et donner son paramètre.
  2. Calculer P(X=1), puis P(X=4).
  3. Calculer P(X>5), puis en déduire P(X\leqslant5).
  4. Combien de tentatives faut-il en moyenne ?
  5. Un joueur affirme : « le rang le plus probable, c'est 5, puisque la moyenne vaut 5 ». A-t-il raison ?
Voir la correction
a)On répète la même épreuve de Bernoulli (réussir ou non), de façon indépendante, et on s'arrête au premier succès : X suit la loi géométrique \mathcal G(0{,}2).
b)\begin{aligned}P(X=1) &= (1-0{,}2)^{0}\times0{,}2 \\ &= \mathbf{0{,}2}\end{aligned} (le succès dès la première tentative).
\begin{aligned}P(X=4) &= 0{,}8^{3}\times0{,}2 \\ &= 0{,}512\times0{,}2 \\ &= \mathbf{0{,}1024}\end{aligned} (trois échecs, puis un succès).
c)(X>5) signifie « les 5 premières tentatives ont toutes échoué », donc \begin{aligned}P(X>5) &= 0{,}8^{5} \\ &= \mathbf{0{,}32768}\end{aligned}
Par événement contraire : \begin{aligned}P(X\leqslant5) &= 1-0{,}32768 \\ &= \mathbf{0{,}67232}\end{aligned}
d)\begin{aligned}E(X) &= \dfrac1p \\ &= \dfrac1{0{,}2} \\ &= \mathbf{5}\end{aligned} tentatives en moyenne.
e)Non. La suite P(X=k)=0{,}8^{k-1}\times0{,}2 est strictement décroissante : le rang le plus probable est toujours k=1, avec {P(X=1)=0{,}2}, contre \begin{aligned}P(X=5) &= 0{,}8^{4}\times0{,}2 \\ &\approx 0{,}082\end{aligned} La moyenne vaut bien 5, mais une loi géométrique n'est jamais centrée sur son espérance : quelques attentes très longues tirent la moyenne vers la droite. Confondre « valeur moyenne » et « valeur la plus probable » est l'erreur type de ce chapitre.

Exercice 8 : Absence de mémoire (vrai ou faux)

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier. On note X une variable aléatoire suivant la loi géométrique \mathcal G(p).
  1. P_{(X>3)}(X>7)=P(X>4).
  2. Sachant que les 10 premiers essais ont échoué, le nombre total d'essais attendu reste \dfrac1p.
  3. La durée de vie d'un pneu de voiture se modélise bien par une loi sans mémoire.
  4. Il existe d'autres lois discrètes que la loi géométrique qui possèdent la propriété d'absence de mémoire.
Voir la correction
1.Vrai. C'est exactement la propriété d'absence de mémoire avec n=3 et k=4 : \begin{aligned}P_{(X>3)}(X>3+4) &= \dfrac{P(X>7)}{P(X>3)} \\ &= \dfrac{(1-p)^{7}}{(1-p)^{3}} \\ &= (1-p)^{4} \\ &= P(X>4)\end{aligned} Les trois échecs déjà survenus se simplifient.
2.Faux, et c'est le piège le plus fréquent. Ce qui repart à zéro, c'est l'attente restante, pas l'attente déjà consommée. Le nombre total attendu est 10+\dfrac1p, pas \dfrac1p.
3.Faux. Un pneu s'use : plus il a roulé, plus il risque de céder. L'absence de mémoire modélise la panne accidentelle (composant électronique, désintégration radioactive, arrivée d'un appel), pas l'usure.
4.Faux. La loi géométrique est la seule loi à valeurs dans \{1,2,3,\dots\} sans mémoire : c'est une caractérisation, pas une simple propriété. (En temps continu, l'unique loi sans mémoire sur [0;+\infty[ est la loi exponentielle.)

Exercice 9 : Sujet type bac : un test de dépistage

Une maladie touche 2\,\% d'une population. Un test de dépistage a les caractéristiques suivantes : si la personne est malade, le test est positif dans 95\,\% des cas (sensibilité) ; si elle est saine, le test est négatif dans 90\,\% des cas (spécificité).
On note M l'événement « la personne est malade » et T l'événement « le test est positif ».
0,02 0,98 M M̄ 0,95 0,05 T T̄ 0,02 × 0,95 = 0,019 0,001 0,10 0,90 T T̄ 0,98 × 0,10 = 0,098 0,882
L'arbre pondéré de la situation. Les deux chemins surlignés sont ceux qui mènent à un test positif : leur somme donne P(T), c'est la formule des probabilités totales.
  1. Traduire les données de l'énoncé en probabilités, en distinguant bien P_M(T) de P_T(M).
  2. Calculer P(M\cap T), puis P(T).
  3. Une personne est testée positive. Calculer la probabilité qu'elle soit réellement malade (valeur prédictive positive), arrondie au millième.
  4. Commenter : le test est-il « mauvais » ? Que faudrait-il améliorer en priorité ?
  5. On reprend le même test dans une population où la maladie touche 30\,\% des gens (par exemple des patients déjà symptomatiques). Recalculer P_T(M) et conclure.
Voir la correction
a)P(M)=0{,}02 (prévalence), P_M(T)=0{,}95 (sensibilité), P_{\overline M}(\overline T)=0{,}90 (spécificité), donc P_{\overline M}(T)=0{,}10 (faux positifs).
P_M(T) se lit « parmi les malades, la proportion de tests positifs » ; P_T(M) se lit « parmi les tests positifs, la proportion de malades ». Le mot qui suit « parmi » donne le dénominateur : ce ne sont pas les mêmes populations, donc pas le même nombre.
b)\begin{aligned}P(M\cap T) &= P(M)\times P_M(T) \\ &= 0{,}02\times0{,}95 \\ &= \mathbf{0{,}019}\end{aligned}
Formule des probabilités totales : \begin{aligned}P(T) &= P(M\cap T)+P(\overline M\cap T) \\ &= 0{,}019+0{,}98\times0{,}10 \\ &= 0{,}019+0{,}098 \\ &= \mathbf{0{,}117}\end{aligned}
c)\begin{aligned}P_T(M) &= \dfrac{P(M\cap T)}{P(T)} \\ &= \dfrac{0{,}019}{0{,}117} \\ &\approx \mathbf{0{,}162}\end{aligned}
Autrement dit : moins de 17\,\% des personnes testées positives sont réellement malades, alors que le test « détecte 95\,\% des malades ». Les deux nombres portent sur la même case 0{,}019 ; seul le dénominateur change.
d)Le test n'est pas « mauvais » : sa sensibilité est bonne. Le problème vient de sa spécificité (90\,\%) combinée à la rareté de la maladie : sur 10\,000 personnes, il y a 190 vrais positifs mais 980 faux positifs, simplement parce que les personnes saines sont 49 fois plus nombreuses. C'est donc la spécificité qu'il faut améliorer en priorité, et non la sensibilité. C'est aussi pourquoi on ne dépiste pas une maladie rare en population générale sans test de confirmation.
e)Avec P(M)=0{,}30 : \begin{aligned}P(M\cap T) &= 0{,}30\times0{,}95 \\ &= 0{,}285\end{aligned} et \begin{aligned}P(T) &= 0{,}285+0{,}70\times0{,}10 \\ &= 0{,}285+0{,}07 \\ &= 0{,}355\end{aligned} d'où \begin{aligned}P_T(M) &= \dfrac{0{,}285}{0{,}355} \\ &\approx \mathbf{0{,}803}\end{aligned}
Le test n'a pas changé : seule la population a changé. La valeur prédictive positive passe de 16\,\% à 80\,\%. C'est tout l'enjeu du raisonnement bayésien : un résultat de test ne s'interprète jamais sans connaître la probabilité a priori.

Pour s'entraîner en boucle

🎮 Loi géométrique : calcul express
Rappels : P(X=k)=(1-p)^{k-1}p, {P(X>k)=(1-p)^{k}}, E(X)=\dfrac1p.
🎮 Bayes : quelle probabilité l'énoncé donne-t-il ?
Repère le mot qui suit « parmi », « sachant » ou « chez les » : c'est lui qui donne l'indice en bas du P.

Fiche d'exercices rédigée par Logimaths.