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Fiche d'exercices Logimaths | Terminale maths expertes

Fiche d'exercices : Matrices

8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé

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Échauffement

Exercice 1 : Opérations de base⭐ Soient A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} et B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}.
  1. Calcule A + B et 3A.
  2. Calcule 2A − B.
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. A + B = \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} et 3A = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 9 & 0 \end{pmatrix}.
2. 2A − B = \begin{pmatrix} -2 & -5 \\ 7 & -2 \end{pmatrix}.
Exercice 2 : Le produit matriciel⭐ Avec les mêmes A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} et B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} :
  1. Calcule AB.
  2. Calcule BA. Que remarque-t-on ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. AB = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 12 & 3 \end{pmatrix} (ligne × colonne, quatre fois).
2. BA = \begin{pmatrix} 7 & -8 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} : AB ≠ BA, le produit matriciel n'est pas commutatif.

Le cœur du chapitre

Exercice 3 : Déterminant et inverse⭐⭐ Soit A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}.
  1. Calcule le déterminant de A. A est-elle inversible ?
  2. Donne A^{-1} et vérifie que AA^{-1} = I.
  3. La matrice \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} est-elle inversible ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. det = 3 × 2 − 1 × 5 = 1 ≠ 0 : inversible.
2. A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} (diagonale échangée, anti-diagonale opposée, division par 1). Produit : on retrouve bien \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ✔.
3. det = 2 × 6 − 4 × 3 = 0 : non inversible (ses lignes sont proportionnelles).
Exercice 4 : Résoudre un système avec l'inverse⭐⭐ On considère le système : 3x + y = 9 et 5x + 2y = 16.
  1. Écris-le sous la forme AX = B.
  2. Résous-le avec l'inverse calculée à l'exercice 3.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 9 \\ 16 \end{pmatrix}.
2. X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 2 \times 9 - 1 \times 16 \\ -5 \times 9 + 3 \times 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} : x = 2, y = 3 (vérification dans le système ✔).
Exercice 5 : Puissances : conjecture et récurrence⭐⭐ Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
  1. Calcule A² et A³.
  2. Conjecture A^n puis démontre-la par récurrence.
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. A² = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} et A³ = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
2. Conjecture : A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Initialisation n = 1 ✔ ; hérédité : A^{k+1} = A^k A = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & k+1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ✔. ∎
Exercice 6 : La relation A² = aA + bI⭐⭐ Soit A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.
  1. Calcule A² et vérifie que {A^2 = 4A - 3I}.
  2. Déduis-en A³ sous la forme aA + bI.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. A² = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} et 4A − 3I = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} ✔.
2. \begin{aligned}A^3 &= A \times A^2 \\ &= A(4A - 3I) \\ &= 4A^2 - 3A \\ &= 4(4A - 3I) - 3A \\ &= 13A - 12I\end{aligned} (toute puissance de A se ramène à aA + bI : c'est l'astuce reine du bac).

Pour aller plus loin

Exercice 7 : Une suite matricielle⭐⭐⭐ Deux bassins échangent leur eau : chaque jour, l'état U_{n+1} = AU_n avec A = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}7 \end{pmatrix} et U_0 = \begin{pmatrix} 100 \\ 0 \end{pmatrix}.
  1. Interprète les coefficients de la première colonne de A.
  2. Calcule U_1 puis U_2.
  3. Vérifie que V = \begin{pmatrix} 60 \\ 40 \end{pmatrix} est un état stable (AV = V). Qu'observe-t-on sur U_1, U_2 ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. Chaque jour, 80 % du contenu du bassin 1 y reste et 20 % passe dans le bassin 2 (les colonnes se lisent « d'où ça part »).
2. U_1 = \begin{pmatrix} 80 \\ 20 \end{pmatrix} puis U_2 = \begin{pmatrix} 0{,}8 \times 80 + 0{,}3 \times 20 \\ 0{,}2 \times 80 + 0{,}7 \times 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 70 \\ 30 \end{pmatrix}.
3. AV = \begin{pmatrix} 0{,}8 \times 60 + 0{,}3 \times 40 \\ 0{,}2 \times 60 + 0{,}7 \times 40 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 60 \\ 40 \end{pmatrix} = V ✔. Les états 100 → 80 → 70 → … se rapprochent de l'équilibre (60 ; 40).
Exercice 8 : Synthèse type bac⭐⭐⭐ Soit A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} (la matrice d'échange) et B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.
  1. Calcule A², puis A^{2027}.
  2. Calcule B² et montre que {B^n = 2^{n-1}B} pour n ≥ 1 (récurrence).
  3. B est-elle inversible ? Conclus sur l'existence d'une matrice C telle que BC = I.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. A² = I, donc \begin{aligned}A^{2027} &= (A^2)^{1013} \times A \\ &= A\end{aligned} (échanger un nombre impair de fois = échanger).
2. B² = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = 2B ✔ (initialisation n = 2, et n = 1 trivial). Hérédité : \begin{aligned}B^{k+1} &= B^k B \\ &= 2^{k-1}B \times B \\ &= 2^{k-1} \times 2B \\ &= 2^k B\end{aligned} ✔. ∎
3. det B = 1 × 1 − 1 × 1 = 0 : non inversible, aucune matrice C ne peut donner BC = I (sinon le déterminant du produit vaudrait 1 ≠ 0).
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