Statistique

Exercice 1 : Calculs de moyenne, médiane et écart-type

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Note x_i	8	10	12	14	16
Effectif n_i	2	5	8	4	1

1. Calculer l'effectif total n.
2. Calculer la moyenne \bar x de cette série.
3. Déterminer la médiane M_e de la série.
4. Calculer la variance V puis l'écart-type \sigma (arrondi au centième), à l'aide de la formule de König-Huygens.

Voir la correction

a)\begin{aligned}n &= 2+5+8+4+1 \\ &= \mathbf{20}\end{aligned}

b)\begin{aligned}\bar x &= \dfrac{2\times8+5\times10+8\times12+4\times14+1\times16}{20} \\ &= \dfrac{16+50+96+56+16}{20} \\ &= \dfrac{234}{20} \\ &= \mathbf{11{,}7}\end{aligned}

c)Effectifs cumulés croissants : 2,\,7,\,15,\,19,\,20. Comme n=20 est pair, la médiane est la moyenne des valeurs de rangs 10 et 11. Les rangs 8 à 15 correspondent tous à la note 12 (car le cumul passe de 7 à 15 à ce niveau), donc les rangs 10 et 11 valent tous deux 12 : M_e=\mathbf{12}.

d)Moyenne des carrés : \begin{aligned}\overline{x^2} &= \dfrac{2\times8^2+5\times10^2+8\times12^2+4\times14^2+1\times16^2}{20} \\ &= \dfrac{128+500+1152+784+256}{20} \\ &= \dfrac{2820}{20} \\ &= 141\end{aligned}
D'où \begin{aligned}V &= \overline{x^2}-\bar x^2 \\ &= 141-11{,}7^2 \\ &= 141-136{,}89 \\ &= \mathbf{4{,}11}\end{aligned} et \begin{aligned}\sigma &= \sqrt{4{,}11} \\ &\approx \mathbf{2{,}03}\end{aligned}

Exercice 2 : Effet d'une transformation affine

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1. Le jury décide d'appliquer le barème {y=2x-10} à toutes les notes (bonus proportionnel puis retrait forfaitaire). Calculer la nouvelle moyenne \bar y et le nouvel écart-type \sigma_y.
2. Un autre jury choisit d'inverser le classement avec la transformation {z=-x+100}. Calculer \bar z et \sigma_z.
3. Comparer \sigma_x et \sigma_z. Que peut-on en conclure sur l'effet d'une transformation x\mapsto -x+b sur la dispersion ?

Voir la correction

a)Avec a=2 et b=-10 : \begin{aligned}\bar y &= a\bar x+b \\ &= 2\times55-10 \\ &= \mathbf{100}\end{aligned} et \begin{aligned}\sigma_y &= |a|\sigma_x \\ &= 2\times6 \\ &= \mathbf{12}\end{aligned}

b)Avec a=-1 et b=100 : \begin{aligned}\bar z &= -55+100 \\ &= \mathbf{45}\end{aligned} et \begin{aligned}\sigma_z &= |-1|\times6 \\ &= \mathbf{6}\end{aligned}

c)\begin{aligned}\sigma_z &= \sigma_x \\ &= 6\end{aligned} Une symétrie (multiplication par -1) ne change pas la dispersion des notes, car l'écart-type utilise la valeur absolue de a. Inverser un classement ne rend donc pas les notes plus ou moins homogènes.

Exercice 3 : Vrai ou faux

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1. Si on ajoute 5 points à toutes les notes d'une classe, l'écart-type de la série ne change pas.
2. La médiane d'une série est toujours égale à sa moyenne.
3. Si on double toutes les valeurs d'une série, son écart-type double aussi.
4. La variance d'une série statistique est toujours un nombre positif ou nul.
5. Si l'écart-type d'une série est nul, alors toutes les valeurs de la série sont égales.

Voir la correction

1)Vrai. La transformation est y=x+5 ({a=1}, b=5), donc \begin{aligned}\sigma_y &= |1|\times\sigma_x \\ &= \sigma_x\end{aligned} Ajouter une constante ne change pas la dispersion.

2)Faux. Ce sont deux indicateurs différents qui coïncident seulement pour des séries symétriques (par exemple la série 1,2,3 a bien \begin{aligned}\bar x &= M_e \\ &= 2\end{aligned}), mais en général \bar x\neq M_e, notamment lorsque la série contient des valeurs extrêmes.

3)Vrai. La transformation est y=2x (a=2, b=0), donc \begin{aligned}\sigma_y &= |2|\times\sigma_x \\ &= 2\sigma_x\end{aligned}

4)Vrai. V=\dfrac1n\sum n_i(x_i-\bar x)^2 est une moyenne de carrés, donc une somme de termes positifs ou nuls divisée par n>0 : elle est toujours \geqslant0.

5)Vrai. Si \sigma=0 alors V=0, donc {\sum n_i(x_i-\bar x)^2=0}. Une somme de carrés (termes \geqslant0) est nulle seulement si chaque terme est nul, donc x_i=\bar x pour toute valeur présente : toutes les valeurs sont égales à la moyenne, donc égales entre elles.

Exercice 4 : Comparaison de deux séries statistiques

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Équipe A	78	79	80	81	82	80
Équipe B	60	95	70	90	65	100

1. Vérifier que les deux équipes ont la même moyenne de points marqués.
2. Calculer l'écart-type de chacune des deux séries.
3. Quelle équipe a les performances les plus régulières ? Justifier.

Voir la correction

a)Équipe A : \begin{aligned}\bar x_A &= \dfrac{78+79+80+81+82+80}{6} \\ &= \dfrac{480}{6} \\ &= 80\end{aligned} Équipe B : \begin{aligned}\bar x_B &= \dfrac{60+95+70+90+65+100}{6} \\ &= \dfrac{480}{6} \\ &= 80\end{aligned} Les deux équipes ont bien la même moyenne, \mathbf{80} points.

b)Équipe A : \begin{aligned}\overline{x_A^2} &= \dfrac{78^2+79^2+80^2+81^2+82^2+80^2}{6} \\ &= \dfrac{38410}{6} \\ &\approx 6401{,}67\end{aligned} donc \begin{aligned}V_A &\approx 6401{,}67-80^2 \\ &= 1{,}67\end{aligned} et \sigma_A\approx\mathbf{1{,}29} point.
Équipe B : \begin{aligned}\overline{x_B^2} &= \dfrac{60^2+95^2+70^2+90^2+65^2+100^2}{6} \\ &= \dfrac{39850}{6} \\ &\approx 6641{,}67\end{aligned} donc \begin{aligned}V_B &\approx 6641{,}67-80^2 \\ &= 241{,}67\end{aligned} et \sigma_B\approx\mathbf{15{,}55} points.

c)Bien que les deux équipes marquent en moyenne autant de points, l'équipe A a un écart-type très faible (\approx1{,}29) : ses scores sont très réguliers d'un match à l'autre. L'équipe B a un écart-type beaucoup plus élevé (\approx15{,}55) : ses performances sont très irrégulières (parfois excellentes, parfois faibles). L'équipe A est donc la plus régulière.

Exercice 5 : Problème type bac : temps de trajet domicile-lycée

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Temps x_i (min)	10	15	20	25	30
Effectif n_i	3	7	10	6	4

Partie A : Étude de la série

1. Vérifier que l'effectif total est n=30.
2. Calculer la moyenne \bar x du temps de trajet.
3. Déterminer la médiane de cette série.
4. Calculer la variance puis l'écart-type \sigma (arrondi au centième).

Voir la correction : Partie A

a)3+7+10+6+4=\mathbf{30}.

b)\begin{aligned}\bar x &= \dfrac{3\times10+7\times15+10\times20+6\times25+4\times30}{30} \\ &= \dfrac{30+105+200+150+120}{30} \\ &= \dfrac{605}{30} \\ &\approx \mathbf{20{,}17}\end{aligned} minutes.

c)Effectifs cumulés : 3,\,10,\,20,\,26,\,30. Comme n=30 est pair, la médiane est la moyenne des valeurs de rangs 15 et 16, qui appartiennent toutes deux à la classe cumulée [11\,;20] correspondant à x=20. Donc M_e=\mathbf{20} minutes.

d)\begin{aligned}\overline{x^2} &= \dfrac{3\times10^2+7\times15^2+10\times20^2+6\times25^2+4\times30^2}{30} \\ &= \dfrac{300+1575+4000+3750+3600}{30} \\ &= \dfrac{13225}{30} \\ &\approx 440{,}83\end{aligned}
\begin{aligned}V &= 440{,}83-20{,}17^2 \\ &\approx 440{,}83-406{,}69 \\ &\approx \mathbf{34{,}14}\end{aligned} donc \begin{aligned}\sigma &\approx \sqrt{34{,}14} \\ &\approx \mathbf{5{,}84}\end{aligned} minutes.

Partie B : Changement d'unité

1. Exprimer la transformation permettant de passer de x (en minutes) à z (en heures).
2. En déduire la moyenne et l'écart-type de la série en heures (arrondis au millième).

Voir la correction : Partie B

a)z=\dfrac{1}{60}x, soit a=\dfrac1{60} et b=0.

b)\begin{aligned}\bar z &= \dfrac1{60}\times20{,}17 \\ &\approx \mathbf{0{,}336}\end{aligned} heure et \begin{aligned}\sigma_z &= \dfrac1{60}\times5{,}84 \\ &\approx \mathbf{0{,}097}\end{aligned} heure.

Partie C : Comparaison avec un jour de pluie

1. Comparer les moyennes des deux jours. Que peut-on en dire ?
2. Comparer les écarts-types des deux jours. Que peut-on en conclure sur la régularité des trajets ?

Voir la correction : Partie C

a)\begin{aligned}\bar x' &= 27{,}33 > \bar x \\ &\approx 20{,}17\end{aligned} En moyenne, les élèves mettent environ 7 minutes de plus pour rejoindre le lycée les jours de pluie.

b)\begin{aligned}\sigma' &\approx 6{,}42 > \sigma \\ &\approx 5{,}84\end{aligned} Les temps de trajet sont légèrement plus dispersés les jours de pluie (certains élèves sont sans doute beaucoup plus ralentis que d'autres), en plus d'être en moyenne plus longs.

Exercice 6 : Erreurs à corriger

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1. Expliquer l'erreur commise par l'élève.
2. Donner le calcul correct de \bar y et \sigma_y.

Voir la correction

a)L'élève applique la formule de la moyenne (\bar y=a\bar x+b) à l'écart-type, ce qui est faux : la constante additive b ne doit jamais apparaître dans le calcul de l'écart-type, car un décalage ne modifie pas la dispersion des valeurs autour de la moyenne. Seul le coefficient multiplicatif a (en valeur absolue) intervient : \sigma_y=|a|\,\sigma_x.

b)\begin{aligned}\bar y &= 3\times40+20 \\ &= 140\end{aligned} et \begin{aligned}\sigma_y &= |3|\times5 \\ &= \mathbf{15}\end{aligned} (et non 35).

Exercice 7 : Nuage de points, point moyen et droite d'ajustement

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1. Calculer les coordonnées du point moyen G.
2. À la calculatrice, on obtient la droite des moindres carrés y=3{,}4x+18{,}5 (coefficients arrondis au dixième). Vérifier que cette droite passe bien par G.
3. Interpréter concrètement le coefficient 3{,}4.
4. Estimer le chiffre d'affaires pour un budget publicitaire de 7 milliers d'euros. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?
5. Le directeur en déduit qu'avec un budget de 100 milliers d'euros, il réaliserait 358{,}5 milliers d'euros de ventes. Que répondre ?
6. Le coefficient de corrélation vaut {r\approx0{,}976}. Peut-on affirmer que la publicité cause les ventes ?

Voir la correction

a)\begin{aligned}\bar x &= \dfrac{2+3+5+6+8+9}{6} \\ &= \dfrac{33}{6} \\ &= \mathbf{5{,}5}\end{aligned} et \begin{aligned}\bar y &= \dfrac{24+31+33+41+44+50}{6} \\ &= \dfrac{223}{6} \\ &\approx \mathbf{37{,}17}\end{aligned} Donc G(5{,}5\,;37{,}17).

b)On remplace x par \bar x=5{,}5 : \begin{aligned}3{,}4\times5{,}5+18{,}5 &= 18{,}7+18{,}5 \\ &= 37{,}2\end{aligned} ce qui vaut bien \bar y\approx37{,}17 à l'arrondi près (le petit écart vient des coefficients arrondis au dixième, pas d'une erreur).
Remarque de méthode : c'est exactement pour cela qu'il ne faut jamais arrondir avant la fin : l'erreur d'arrondi sur a est multipliée par \bar x.

c)a=3{,}4 est un taux d'accroissement : 1 000 € de publicité en plus, ce sont environ 3 400 € de ventes en plus, dans la plage observée.

d)\begin{aligned}y &= 3{,}4\times7+18{,}5 \\ &= 23{,}8+18{,}5 \\ &= \mathbf{42{,}3}\end{aligned} milliers d'euros.
7 est à l'intérieur de la plage observée [2\,;9] : c'est une interpolation, raisonnablement fiable.

e)100 est très loin de la plage observée : c'est une extrapolation lointaine, et rien ne garantit que le modèle affine tienne encore. En pratique le marché sature : on ne peut pas vendre indéfiniment en dépensant toujours plus. Le calcul est juste, la conclusion ne l'est pas. Un ajustement résume les données observées, ce n'est pas une loi de la nature.

f)Non. {r\approx0{,}976} indique une très forte corrélation linéaire, rien de plus. Une troisième variable pourrait expliquer les deux : par exemple une croissance générale de l'activité, qui augmente à la fois le budget publicitaire (on dépense plus quand on gagne plus) et les ventes. La causalité pourrait même être inversée. Formulation correcte : « les deux grandeurs sont fortement corrélées, ce qui ne permet pas d'affirmer que l'une est la cause de l'autre ».

Exercice 8 : Ajustement par changement de variable

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1. Expliquer pourquoi un ajustement affine de C en fonction de x n'est pas pertinent.
2. L'ajustement affine de z en x donne {z=-0{,}245x+2{,}30}. En déduire une expression de C en fonction de x sous la forme {C=k\,q^{x}}.
3. Interpréter q en termes de pourcentage d'évolution horaire.
4. Estimer la concentration au bout de 5 heures.
5. Le médicament est inefficace en dessous de 1 mg/L. Au bout de combien d'heures faut-il redonner une dose ?

Voir la correction

a)Les baisses successives sont -3{,}9, -2{,}4, -1{,}5, -0{,}8 : elles diminuent en valeur absolue. Le nuage est donc courbé (il descend en s'aplatissant), pas aligné. Les rapports successifs, eux, sont presque constants (6{,}1/10\approx0{,}61, 3{,}7/6{,}1\approx0{,}61, …) : c'est la signature d'un modèle exponentiel, pas affine.

b)z=\ln C donc \begin{aligned}C &= e^{z} \\ &= e^{-0{,}245x+2{,}30} \\ &= e^{2{,}30}\times\big(e^{-0{,}245}\big)^{x}\end{aligned}
\begin{aligned}k &= e^{2{,}30} \\ &\approx \mathbf{9{,}97}\end{aligned} et \begin{aligned}q &= e^{-0{,}245} \\ &\approx \mathbf{0{,}783}\end{aligned} d'où C\approx9{,}97\times0{,}783^{x}.

c)\begin{aligned}q &\approx 0{,}783 \\ &= 1-0{,}217\end{aligned} La concentration diminue d'environ 21{,}7\,\% par heure. C'est un coefficient multiplicateur, et l'évolution est bien géométrique, pas arithmétique.

d)\begin{aligned}C(5) &\approx 9{,}97\times0{,}783^{5} \\ &\approx 9{,}97\times0{,}294 \\ &\approx \mathbf{2{,}93}\end{aligned} mg/L.

e)On résout 9{,}97\times0{,}783^{x}\leqslant1, soit \begin{aligned}0{,}783^{x} &\leqslant \dfrac1{9{,}97} \\ &\approx 0{,}1003\end{aligned}
En passant au logarithme : {x\ln(0{,}783)\leqslant\ln(0{,}1003)}. Comme \ln(0{,}783)<0, l'inégalité change de sens : \begin{aligned}x &\geqslant \dfrac{\ln(0{,}1003)}{\ln(0{,}783)} \\ &\approx \dfrac{-2{,}30}{-0{,}245} \\ &\approx \mathbf{9{,}4}\end{aligned} heures.
Il faut donc redonner une dose au bout d'environ 9 heures et demie. Attention : diviser par un logarithme négatif inverse le sens de l'inégalité, c'est l'erreur classique de ce type de question.

Pour s'entraîner en boucle

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