Fiche d'exercices Logimaths
Fiche d'exercices : Suites arithmétiques et géométriques
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction complète est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Reconnaître au premier coup d'œil⭐
Pour chaque suite, dire si elle est arithmétique, géométrique, ou ni l'une ni l'autre, et donner la raison le cas échéant.
- 11 ; 7 ; 3 ; −1 ; …
- u_{n+1}=-2u_n avec u_0=3
- 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; …
- u_{n+1}=u_n+9 avec u_0=-30
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. Différences : 7−11 = −4, 3−7 = −4, −1−3 = −4 : différence constante → arithmétique de raison −4.
2. On passe d'un terme au suivant en multipliant par −2 → géométrique de raison −2 (et non monotone : 3 ; −6 ; 12 ; −24…).
3. Différences : 3, 5, 7 (pas constantes) ; quotients : 4, 2,25… (pas constants) → ni l'une ni l'autre (ce sont les carrés).
4. On ajoute toujours 9 → arithmétique de raison 9.
2. On passe d'un terme au suivant en multipliant par −2 → géométrique de raison −2 (et non monotone : 3 ; −6 ; 12 ; −24…).
3. Différences : 3, 5, 7 (pas constantes) ; quotients : 4, 2,25… (pas constants) → ni l'une ni l'autre (ce sont les carrés).
4. On ajoute toujours 9 → arithmétique de raison 9.
Exercice 2 : Sauter au bon rang⭐
- (u_n) est arithmétique avec u_0=-3 et r=6. Calculer u_{15}, puis exprimer u_n en fonction de n.
- (v_n) est géométrique avec v_0=2 et q=5. Calculer v_4, puis exprimer v_n en fonction de n.
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. u_n=u_0+n\,r, donc {u_{15}=-3+15\times6=-3+90=} 87, et u_n=-3+6n.
2. v_n=v_0\times q^n, donc {v_4=2\times5^4=2\times625=} 1 250, et v_n=2\times5^n.
2. v_n=v_0\times q^n, donc {v_4=2\times5^4=2\times625=} 1 250, et v_n=2\times5^n.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Prouver la nature (rédaction exigée)⭐⭐
- Démontrer que la suite définie pour tout entier naturel n par u_n=9-4n est arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme.
- Démontrer que la suite définie par v_n=3^{\,n+1} est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. Pour tout entier naturel n :
\begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \big(9-4(n+1)\big)-(9-4n) \\ &= 9-4n-4-9+4n \\ &= -4\end{aligned}
La différence entre deux termes consécutifs est constante (elle ne dépend pas de n) : (u_n) est arithmétique de raison −4, de premier terme u_0=9.
Point rédaction Le calcul doit être mené en fonction de n : vérifier l'égalité sur deux termes particuliers ne prouve rien.
2. Les termes sont tous non nuls. Pour tout entier naturel n :
\begin{aligned}\dfrac{v_{n+1}}{v_n} &= \dfrac{3^{\,n+2}}{3^{\,n+1}} \\ &= 3\end{aligned}
Le quotient est constant : (v_n) est géométrique de raison 3, de premier terme \begin{aligned}v_0 &= 3^1 \\ &= 3\end{aligned}
\begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \big(9-4(n+1)\big)-(9-4n) \\ &= 9-4n-4-9+4n \\ &= -4\end{aligned}
La différence entre deux termes consécutifs est constante (elle ne dépend pas de n) : (u_n) est arithmétique de raison −4, de premier terme u_0=9.
Point rédaction Le calcul doit être mené en fonction de n : vérifier l'égalité sur deux termes particuliers ne prouve rien.
2. Les termes sont tous non nuls. Pour tout entier naturel n :
\begin{aligned}\dfrac{v_{n+1}}{v_n} &= \dfrac{3^{\,n+2}}{3^{\,n+1}} \\ &= 3\end{aligned}
Le quotient est constant : (v_n) est géométrique de raison 3, de premier terme \begin{aligned}v_0 &= 3^1 \\ &= 3\end{aligned}
Exercice 4 : Retrouver la suite avec deux termes⭐⭐
(u_n) est une suite arithmétique telle que u_2=5 et u_7=30.
- Déterminer la raison r, puis u_0.
- Exprimer u_n en fonction de n.
- Donner le sens de variation de (u_n) en justifiant.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. Entre u_2 et u_7, il y a 7-2=5 sauts de raison :
\begin{aligned}r &= \dfrac{u_7-u_2}{7-2} \\ &= \dfrac{30-5}{5} \\ &= 5\end{aligned} Puis, en marche arrière : \begin{aligned}u_0 &= u_2-2r \\ &= 5-10 \\ &= -5\end{aligned}
2. \begin{aligned}u_n &= u_0+n\,r \\ &= -5+5n\end{aligned}
3. La raison vaut r=5>0 : la suite est strictement croissante.
Contrôle \begin{aligned}u_2 &= -5+10 \\ &= 5\end{aligned} ✔ et \begin{aligned}u_7 &= -5+35 \\ &= 30\end{aligned} ✔
\begin{aligned}r &= \dfrac{u_7-u_2}{7-2} \\ &= \dfrac{30-5}{5} \\ &= 5\end{aligned} Puis, en marche arrière : \begin{aligned}u_0 &= u_2-2r \\ &= 5-10 \\ &= -5\end{aligned}
2. \begin{aligned}u_n &= u_0+n\,r \\ &= -5+5n\end{aligned}
3. La raison vaut r=5>0 : la suite est strictement croissante.
Contrôle \begin{aligned}u_2 &= -5+10 \\ &= 5\end{aligned} ✔ et \begin{aligned}u_7 &= -5+35 \\ &= 30\end{aligned} ✔
Exercice 5 : Trois sommes, trois techniques⭐⭐
Calculer les sommes suivantes :
- S_1=1+2+3+\cdots+80
- S_2=13+14+15+\cdots+45
- S_3=2+6+18+\cdots+2\times3^6
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. Formule directe : S_1=\dfrac{80\times81}{2}= 3 240.
2. Deux méthodes au choix :
: nombre de termes : 45-13+1=33, donc S_2=33\times\dfrac{13+45}{2}=33\times29= 957 ;
: par différence ✔ : \begin{aligned}S_2 &= (1+\cdots+45)-(1+\cdots+12) \\ &= \dfrac{45\times46}{2}-\dfrac{12\times13}{2} \\ &= 1\,035-78 \\ &= 957\end{aligned}
3. Suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3, avec 7 termes (les exposants vont de 0 à 6) :
S_3=2\times\dfrac{1-3^7}{1-3}=2\times\dfrac{-2\,186}{-2}=3^7-1= 2 186.
2. Deux méthodes au choix :
: nombre de termes : 45-13+1=33, donc S_2=33\times\dfrac{13+45}{2}=33\times29= 957 ;
: par différence ✔ : \begin{aligned}S_2 &= (1+\cdots+45)-(1+\cdots+12) \\ &= \dfrac{45\times46}{2}-\dfrac{12\times13}{2} \\ &= 1\,035-78 \\ &= 957\end{aligned}
3. Suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3, avec 7 termes (les exposants vont de 0 à 6) :
S_3=2\times\dfrac{1-3^7}{1-3}=2\times\dfrac{-2\,186}{-2}=3^7-1= 2 186.
Type bac
Exercice 6 : Arithmético-géométrique, le grand classique⭐⭐⭐
On considère la suite (u_n) définie par u_0=2 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=3u_n+8.
- Résoudre l'équation \ell=3\ell+8.
- On pose v_n=u_n+4 pour tout n. Démontrer que (v_n) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
- Exprimer v_n, puis u_n, en fonction de n.
- Déterminer la limite de (u_n).
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. \begin{aligned}\ell = 3\ell+8 &\iff -2\ell = 8 \\ &\iff \ell = -4 \end{aligned}
2. Pour tout entier naturel n :
\begin{aligned}v_{n+1} &= u_{n+1}+4 \\ &= (3u_n+8)+4 \\ &= 3u_n+12 \\ &= 3(u_n+4) \\ &= 3v_n\end{aligned}
Donc (v_n) est géométrique de raison 3, de premier terme \begin{aligned}v_0 &= u_0+4 \\ &= 6\end{aligned}
3. v_n=6\times3^n, puis \begin{aligned}u_n &= v_n-4 \\ &= 6\times3^n-4\end{aligned}
Contrôle \begin{aligned}u_1 &= 6\times3-4 \\ &= 14\end{aligned} et par la récurrence \begin{aligned}u_1 &= 3\times2+8 \\ &= 14\end{aligned} ✔
4. Comme 3>1, 3^n\to+\infty, et 6>0 donc 6\times3^n\to+\infty : \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty.
Piège évité La suite ne tend PAS vers le point fixe −4 : cela n'arrive que si |a|<1.
2. Pour tout entier naturel n :
\begin{aligned}v_{n+1} &= u_{n+1}+4 \\ &= (3u_n+8)+4 \\ &= 3u_n+12 \\ &= 3(u_n+4) \\ &= 3v_n\end{aligned}
Donc (v_n) est géométrique de raison 3, de premier terme \begin{aligned}v_0 &= u_0+4 \\ &= 6\end{aligned}
3. v_n=6\times3^n, puis \begin{aligned}u_n &= v_n-4 \\ &= 6\times3^n-4\end{aligned}
Contrôle \begin{aligned}u_1 &= 6\times3-4 \\ &= 14\end{aligned} et par la récurrence \begin{aligned}u_1 &= 3\times2+8 \\ &= 14\end{aligned} ✔
4. Comme 3>1, 3^n\to+\infty, et 6>0 donc 6\times3^n\to+\infty : \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty.
Piège évité La suite ne tend PAS vers le point fixe −4 : cela n'arrive que si |a|<1.
Exercice 7 : Problème : deux stratégies de croissance⭐⭐⭐
Une plateforme de vidéos compte 1 200 abonnés au 1ᵉʳ janvier 2024. Deux scénarios de développement sont étudiés :
: scénario A : gagner 150 abonnés par an ;
: scénario B : croître de 8 % par an.
On note a_n et b_n les nombres d'abonnés au 1ᵉʳ janvier de l'année 2024+n.
: scénario A : gagner 150 abonnés par an ;
: scénario B : croître de 8 % par an.
On note a_n et b_n les nombres d'abonnés au 1ᵉʳ janvier de l'année 2024+n.
- Justifier la nature des suites (a_n) et (b_n) et exprimer a_n et b_n en fonction de n.
- Comparer les deux scénarios au 1ᵉʳ janvier 2030.
- À partir de quelle année le scénario B dépasse-t-il le scénario A ? (On pourra tester des valeurs de n.)
- Que peut-on dire des deux scénarios à très long terme ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. Scénario A : on ajoute 150 chaque année → (a_n) est arithmétique de raison 150 : a_n=1\,200+150n.
Scénario B : croître de 8 %, c'est multiplier par 1+\dfrac{8}{100}=1{,}08 → (b_n) est géométrique de raison 1,08 : {b_n=1\,200\times1{,}08^n}.
2. 2030 correspond à n=6 : \begin{aligned}a_6 &= 1\,200+900 \\ &= 2\,100\end{aligned} abonnés, et \begin{aligned}b_6 &= 1\,200\times1{,}08^6 \\ &\approx 1\,904\end{aligned} abonnés. En 2030, le scénario A est encore devant.
3. On teste : pour n=11 (2035), {a_{11}=2\,850} et b_{11}\approx2\,798 : A devant. Pour {n=12} (2036), a_{12}=3\,000 et b_{12}\approx3\,022 : B passe devant. Le scénario B dépasse le scénario A à partir de 2036.
4. La croissance linéaire de A finit toujours par être battue par la croissance exponentielle de B ({q=1{,}08>1}) : à long terme, \dfrac{b_n}{a_n}\to+\infty : l'exponentielle l'emporte toujours sur l'affine.
Scénario B : croître de 8 %, c'est multiplier par 1+\dfrac{8}{100}=1{,}08 → (b_n) est géométrique de raison 1,08 : {b_n=1\,200\times1{,}08^n}.
2. 2030 correspond à n=6 : \begin{aligned}a_6 &= 1\,200+900 \\ &= 2\,100\end{aligned} abonnés, et \begin{aligned}b_6 &= 1\,200\times1{,}08^6 \\ &\approx 1\,904\end{aligned} abonnés. En 2030, le scénario A est encore devant.
3. On teste : pour n=11 (2035), {a_{11}=2\,850} et b_{11}\approx2\,798 : A devant. Pour {n=12} (2036), a_{12}=3\,000 et b_{12}\approx3\,022 : B passe devant. Le scénario B dépasse le scénario A à partir de 2036.
4. La croissance linéaire de A finit toujours par être battue par la croissance exponentielle de B ({q=1{,}08>1}) : à long terme, \dfrac{b_n}{a_n}\to+\infty : l'exponentielle l'emporte toujours sur l'affine.
Exercice 8 : Limite d'une somme géométrique⭐⭐⭐
Pour tout entier naturel n, on pose S_n=5+5\times0{,}8+5\times0{,}8^2+\cdots+5\times0{,}8^n.
- Exprimer S_n en fonction de n.
- Déterminer la limite de (S_n).
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. Somme des n+1 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 5 et de raison 0,8 :
\begin{aligned}S_n &= 5\times\dfrac{1-0{,}8^{\,n+1}}{1-0{,}8} \\ &= 25\big(1-0{,}8^{\,n+1}\big)\end{aligned}
2. Comme {-1<0{,}8<1}, on a 0{,}8^{\,n+1}\to0, donc \displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n=25\times(1-0)= 25.
À retenir C'est la formule \begin{aligned}\dfrac{u_0}{1-q} &= \dfrac{5}{0{,}2} \\ &= 25\end{aligned} Une somme infinie de termes qui s'écrasent peut être finie !
\begin{aligned}S_n &= 5\times\dfrac{1-0{,}8^{\,n+1}}{1-0{,}8} \\ &= 25\big(1-0{,}8^{\,n+1}\big)\end{aligned}
2. Comme {-1<0{,}8<1}, on a 0{,}8^{\,n+1}\to0, donc \displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n=25\times(1-0)= 25.
À retenir C'est la formule \begin{aligned}\dfrac{u_0}{1-q} &= \dfrac{5}{0{,}2} \\ &= 25\end{aligned} Une somme infinie de termes qui s'écrasent peut être finie !