Fiche de cours Logimaths
Fonction logarithme népérien : le cours expliqué pas à pas
Réciproque de exp, propriétés
💡 Avant de commencer Version expliquée pas à pas. L'idée clé : le logarithme défait l'exponentielle et transforme les multiplications en additions : c'est pour ça qu'il a été inventé.
Étape 1 : La fonction qui annule l'exponentielle
Définition Le logarithme népérien ln est la fonction réciproque de l'exponentielle : ln(ex) = x et eln x = x. En particulier ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
Étape 2 : Sa propriété magique
Transformer produits en sommes ln(a × b) = ln a + ln b • ln(ab) = ln a − ln b • ln(an) = n ln a.
💡 Pourquoi c'est révolutionnaire Avant les calculatrices, le ln permettait de remplacer une multiplication difficile par une simple addition. C'est l'idée derrière la règle à calcul.
Étape 3 : Dérivée et variations
À connaître ln est définie sur ]0 ; +∞[, de dérivée 1x > 0 : elle est strictement croissante (mais de plus en plus lentement).
Étape 4 : Résoudre des équations
Méthode ln croissante : ln a = ln b ⟺ a = b (avec a, b > 0). Et ex = k ⟺ x = ln k.
👆 À toi de jouer Résous ln(x) + ln(2) = ln(6) (avec x > 0).
Voir la réponse
ln(2x) = ln(6) → 2x = 6 → x = 3.🎯 Mémo
L'essentiel ln = réciproque de exp. Transforme produits en sommes. Définie sur ]0;+∞[, dérivée 1/x, croissante. ex=k ⟺ x=ln k.