Fiche de cours Logimaths

Fonctions exponentielles : le cours expliqué pas à pas

Croissance multiplicative, règles

← Retour à la page Terminale Technologique

💡 Avant de commencer Version expliquée pas à pas. L'idée clé : une exponentielle décrit une évolution qui se fait par multiplications répétées (intérêts, croissance).

Étape 1 : La croissance multiplicative

Quand une grandeur est multipliée par un même facteur à chaque étape (par exemple ×1,05 chaque année), son évolution est exponentielle : f(x) = a^x.

Étape 2 : Les règles de calcul

À connaître a^m × aⁿ = a^m+n • a^maⁿ = a^m−n • a⁰ = 1. Une exponentielle est toujours strictement positive.

Étape 3 : Sens de variation

Selon la base Si a > 1 : croissante (croissance). Si 0 < a < 1 : décroissante (décroissance, comme une désintégration).

Courbes de x\mapsto q^x selon la valeur de q : croissante si q>1, constante si q=1, décroissante si 0<q<1. Toutes passent par le point de coordonnées (0\,;\,1).

Étape 4 : Modéliser une évolution

💡 Intérêts composés Un capital placé à t % par an est multiplié par (1 + t/100) chaque année : au bout de n ans, il est multiplié par (1 + t/100)ⁿ : une exponentielle.

👆 À toi de jouer Un capital placé à 5 % par an. Par combien est-il multiplié en 2 ans ?

Voir la réponse

Par 1,05² = 1,1025, soit une hausse d'environ 10,25 %.

🎯 Mémo

L'essentiel a^x = croissance multiplicative, toujours positive. Règles des exposants. a>1 croît, 0<a<1 décroît. Modélise intérêts et évolutions.