Fiche de cours Logimaths
Limites de fonctions : le cours expliqué pas à pas
Tendances, asymptotes, indéterminations
💡 Avant de commencer Version expliquée pas à pas. L'idée clé : une limite décrit une tendance : vers quoi la fonction se dirige, sans forcément l'atteindre.
Étape 1 : La question « vers quoi ça tend ? »
Étudier une limite, c'est regarder le comportement d'une fonction quand x devient très grand, ou quand x s'approche d'une valeur interdite. On ne calcule pas une valeur exacte : on décrit une direction.
Étape 2 : Les limites de référence
À connaître Quand x → +∞ : 1x → 0, x2 → +∞, √x → +∞, ex → +∞.
Étape 3 : Quotients : on factorise par le plus haut degré
Méthode Pour un quotient de polynômes en ±∞, on factorise le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré, puis on simplifie. Ex. 3x2 + 2xx2 + 1 = x2(3 + 2/x)x2(1 + 1/x2) = 3 + 2/x1 + 1/x2 → 3 : la droite y = 3 est asymptote horizontale.
💡 Pourquoi ça marche En factorisant par x2, les termes en 2/x et 1/x2 tendent vers 0 : il ne reste que le rapport des coefficients des plus hauts degrés.
Étape 4 : Quand ça explose : asymptote verticale
💡 Division par presque zéro Près d'une valeur interdite, un dénominateur minuscule fait exploser la fonction vers ±∞ : la courbe longe une asymptote verticale.
Étape 5 : Les formes indéterminées
Idée Des formes comme « ∞ − ∞ » ou « ∞∞ » ne se lisent pas directement : il faut transformer (factoriser, multiplier par le conjugué) pour lever l'indétermination.
👆 À toi de jouer Que vaut lim de 2x + 1x − 3 quand x → +∞ ?
Voir la réponse
On factorise par x : 2x + 1x − 3 = x(2 + 1/x)x(1 − 3/x) = 2 + 1/x1 − 3/x → 2 (asymptote horizontale y = 2).🎯 Mémo
L'essentiel Limite = tendance. Limites de référence connues. Quotient : comparer les degrés → asymptote horizontale. Explosion → asymptote verticale. Formes indéterminées : transformer.