Fiche de cours Logimaths
Loi binomiale : le cours expliqué pas à pas
Répétition, coefficient binomial, espérance
💡 Avant de commencer Version expliquée pas à pas. L'idée clé : la loi binomiale compte les succès quand on répète une même épreuve à deux issues.
Étape 1 : Répéter une épreuve à deux issues
On répète n fois, de façon indépendante, une épreuve « succès (proba p) / échec ». Le nombre de succès X suit la loi binomiale ℬ(n ; p).
Étape 2 : Compter les chemins : le coefficient binomial
Formule P(X = k) = C(n ; k) pk (1 − p)n−k, où C(n ; k) compte le nombre de façons de placer k succès parmi n essais.
💡 Trois ingrédients La probabilité des k succès (pk), celle des n−k échecs ((1−p)n−k), et le nombre de dispositions possibles (le coefficient binomial).
Étape 3 : Espérance et écart-type
À connaître E(X) = np • V(X) = np(1 − p) • σ(X) = √(np(1−p)).
Étape 4 ; « Au moins un »
Astuce P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) : passer par le contraire est bien plus rapide.
👆 À toi de jouer Pour ℬ(10 ; 0,3), calcule E(X).
Voir la réponse
E(X) = np = 10 × 0,3 = 3.🎯 Mémo
L'essentiel ℬ(n;p) = nombre de succès sur n répétitions. P(X=k) = C(n ; k) pk(1−p)n−k. E=np, V=np(1−p).