Fiche de cours Logimaths
Lois à densité : le cours expliqué pas à pas
Probabilité = aire, uniforme, normale
💡 Avant de commencer Version expliquée pas à pas. L'idée clé : pour une grandeur continue (une durée, une taille), la probabilité devient une aire sous une courbe.
Étape 1 : Du discret au continu
Quand une variable peut prendre une infinité de valeurs (un temps d'attente, une taille), on ne compte plus des cas : la probabilité que X tombe dans un intervalle est l'aire sous une courbe appelée densité.
Formule P(a ≤ X ≤ b) = ∫ab f(x) dx, et l'aire totale sous la densité vaut 1.
Étape 2 : La loi uniforme
Définition Sur [a ; b], toutes les zones de même largeur sont également probables : la densité est constante. P(c ≤ X ≤ d) = d − cb − a.
Étape 3 : La loi normale
La courbe en cloche Symétrique autour de la moyenne μ, elle décrit d'innombrables phénomènes (tailles, erreurs de mesure). Sa dispersion est réglée par l'écart-type σ.
💡 La règle 68 – 95 – 99,7 Environ 68 % des valeurs sont à moins de 1σ de la moyenne, 95 % à moins de 2σ, 99,7 % à moins de 3σ.
Étape 4 : Probabilité d'une valeur exacte
⚠️ Surprenant mais logique Pour une loi à densité, P(X = valeur précise) = 0 (une aire de largeur nulle). Seuls les intervalles ont une probabilité non nulle.
👆 À toi de jouer Pour une loi uniforme sur [0 ; 10], que vaut P(2 ≤ X ≤ 5) ?
Voir la réponse
(5 − 2)/(10 − 0) = 3/10 = 0,3.🎯 Mémo
L'essentiel Loi à densité : probabilité = aire sous la courbe (∫f), aire totale 1. Uniforme = densité constante. Normale = cloche (règle 68-95-99,7). P(X = valeur) = 0.