Fiche de cours Logimaths
Fiche de cours : Lois à densité
Densité de probabilité, loi uniforme et loi exponentielle
I. Densité de probabilité
Définition
Une fonction de densité sur I est continue (ou continue par morceaux), positive, d'intégrale 1 sur I. X suit la loi de densité f si {P(a\leqslant X\leqslant b)=\int_a^b f(x)\,dx}.
Remarque : contrairement au cas discret, P(X=a)=0 pour tout réel a. On en déduit que P(X\leqslant a)=P(X<a) et P(X\geqslant a)=P(X>a) : les inégalités larges ou strictes ne changent jamais rien pour une loi à densité.
Propriété
E(X)=\int_I xf(x)\,dx (espérance de X, lorsqu'elle existe).
Propriété (probabilité totale)
P(X\leqslant a)+P(X>a)=1, donc P(X>a)=1-P(X\leqslant a). Plus généralement, si X est à valeurs dans I, alors \displaystyle\int_I f(x)\,dx=1.
Erreur classique : ne pas confondre la densité f(x) (qui peut valoir plus que 1) avec une probabilité (toujours comprise entre 0 et 1). Seule l'aire sous la courbe de f représente une probabilité, jamais la valeur f(x) elle-même.
Exemple : Soit f(x)=2x sur [0;1] et f(x)=0 ailleurs. On vérifie que \begin{aligned}\displaystyle\int_0^1 2x\,dx &= \Big[x^2\Big]_0^1 \\ &= 1\end{aligned} donc f est bien une densité. Alors \begin{aligned}P(0{,}5\leqslant X\leqslant1) &= \displaystyle\int_{0{,}5}^1 2x\,dx \\ &= \Big[x^2\Big]_{0{,}5}^1 \\ &= 1-0{,}25 \\ &= 0{,}75\end{aligned}
Tout le chapitre tient dans une seule phrase, et elle est visuelle : en discret une probabilité est une hauteur de bâton ; en continu, c'est une aire. L'atelier ci-dessous ne sert qu'à cela : attrape les deux bornes et regarde la surface se peindre pendant que le nombre se recalcule.
Bornes
a = 1 ; b = 3
Aire coloriée =P(a\le X\le b)
0,5
Hauteur f(a)
0,25
⚠️ Densité et probabilité ne sont pas la même chose
f(x) n'est pas une probabilité : sur la densité triangulaire de l'atelier, f(1)=2, et pourtant aucune probabilité ne vaut 2. Une densité se mesure « par unité de longueur » : c'est en la multipliant par une largeur qu'on obtient une probabilité. Seule l'aire est une probabilité, et l'aire totale vaut toujours 1.
Conséquence immédiate : si a=b, la surface se réduit à un segment, sans épaisseur, donc P(X=a)=0. C'est pourquoi les inégalités larges et strictes donnent le même résultat.
Conséquence immédiate : si a=b, la surface se réduit à un segment, sans épaisseur, donc P(X=a)=0. C'est pourquoi les inégalités larges et strictes donnent le même résultat.
🎮 À toi de jouer : est-ce une densité ?
Trois conditions, dans cet ordre : continue (ou continue par morceaux), positive, et d'intégrale égale à 1 sur l'intervalle. Il suffit qu'une seule soit en défaut.
II. Fonction de répartition : l'aire qui s'accumule
Définition
La fonction de répartition de X est la fonction F définie sur \mathbb R par
\begin{aligned}F(x) &= P(X\le x) \\ &= \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt\end{aligned}
C'est l'aire accumulée à gauche de x. Elle est croissante, à valeurs dans [0\,;1], tend vers 0 en -\infty et vers 1 en +\infty.
Propriété (le lien qui sert tout le temps)
P(a\le X\le b)=F(b)-F(a) et P(X>a)=1-F(a).
De plus F'=f : la densité est la dérivée de la fonction de répartition. Là où la densité est haute, F monte vite ; là où la densité est nulle, F est plate.
De plus F'=f : la densité est la dérivée de la fonction de répartition. Là où la densité est haute, F monte vite ; là où la densité est nulle, F est plate.
C'est le théorème fondamental du calcul intégral appliqué aux probabilités : F est la primitive de f qui vaut 0 « tout à gauche ». Contrairement au cas discret, F est ici continue : il n'y a plus de marches d'escalier, parce qu'aucune valeur isolée ne porte de probabilité.
Position x
2
Aire à gauche =F(x)
0,551
Aire à droite =P(X>x)
0,449
Ce qu'on lit d'un coup d'œil sur les deux repères
- Là où la densité est haute, la courbe du bas monte fort : la pente de F est f.
- La courbe du bas ne redescend jamais : on n'enlève jamais d'aire, on en ajoute. F est croissante.
- Elle s'approche de 1 sans jamais l'atteindre : l'aire totale vaut 1, mais il reste toujours un bout de queue à droite.
- La médiane est l'abscisse où {F(x)=0{,}5} : la surface est coupée en deux moitiés d'aires égales. Pour la loi exponentielle, ce n'est pas l'espérance : la médiane vaut {\dfrac{\ln 2}{\lambda}\approx\dfrac{0{,}69}{\lambda}}, l'espérance \dfrac1\lambda. La loi est dissymétrique, exactement comme la loi géométrique dont elle est la version continue.
III. Espérance et variance d'une loi à densité
Définition
Pour une variable aléatoire X de densité f sur un intervalle I :
E(X)=\int_I x\,f(x)\,dx \qquad\text{et}\qquad V(X)=\int_I \big(x-E(X)\big)^2 f(x)\,dx=\int_I x^2f(x)\,dx-\big(E(X)\big)^2
L'écart-type est \sigma(X)=\sqrt{V(X)}.
Ce sont exactement les formules du cas discret, où la somme \sum p_ix_i est remplacée par l'intégrale \int xf(x)\,dx : on « pèse » chaque valeur x par la densité en ce point. La deuxième écriture de V(X) est la formule de König-Huygens, « moyenne des carrés moins carré de la moyenne », valable ici aussi.
Linéarité de l'espérance
Comme dans le cas discret : {E(aX+b)=aE(X)+b} et V(aX+b)=a^2V(X). Un décalage b déplace la moyenne mais ne change pas la dispersion.
Exemple : Densité f(x)=2x sur [0;1].
\begin{aligned}E(X) &= \displaystyle\int_0^1 x\times2x\,dx \\ &= \int_0^1 2x^2\,dx \\ &= \left[\dfrac{2x^3}{3}\right]_0^1 \\ &= \dfrac23 \\ &\approx 0{,}667\end{aligned}
\begin{aligned}\displaystyle\int_0^1 x^2\times2x\,dx &= \left[\dfrac{x^4}{2}\right]_0^1 \\ &= \dfrac12\end{aligned} donc \begin{aligned}V(X) &= \dfrac12-\left(\dfrac23\right)^2 \\ &= \dfrac12-\dfrac49 \\ &= \dfrac{1}{18} \\ &\approx 0{,}056\end{aligned} et \sigma(X)\approx0{,}236.
L'espérance \tfrac23 est bien décalée vers la droite : la densité croît, donc les grandes valeurs sont les plus probables.
\begin{aligned}E(X) &= \displaystyle\int_0^1 x\times2x\,dx \\ &= \int_0^1 2x^2\,dx \\ &= \left[\dfrac{2x^3}{3}\right]_0^1 \\ &= \dfrac23 \\ &\approx 0{,}667\end{aligned}
\begin{aligned}\displaystyle\int_0^1 x^2\times2x\,dx &= \left[\dfrac{x^4}{2}\right]_0^1 \\ &= \dfrac12\end{aligned} donc \begin{aligned}V(X) &= \dfrac12-\left(\dfrac23\right)^2 \\ &= \dfrac12-\dfrac49 \\ &= \dfrac{1}{18} \\ &\approx 0{,}056\end{aligned} et \sigma(X)\approx0{,}236.
L'espérance \tfrac23 est bien décalée vers la droite : la densité croît, donc les grandes valeurs sont les plus probables.
IV. Loi uniforme sur [a;b]
Définition
Densité constante f(x)=\dfrac1{b-a} sur [a;b]. On dit que X suit la loi uniforme sur [a;b], notée X\sim\mathcal U([a;b]) : tous les sous-intervalles de même longueur ont la même probabilité (« tirage au hasard » entre a et b).
Propriété
P(c\leqslant X\leqslant d)=\dfrac{d-c}{b-a} pour {a \leqslant c \leqslant d \leqslant b} E(X)=\dfrac{a+b}2
La formule P(c\leqslant X\leqslant d)=\dfrac{d-c}{b-a} se retrouve simplement en calculant l'aire du rectangle de largeur d-c et de hauteur \dfrac1{b-a} sous la courbe de la densité : \displaystyle\int_c^d \dfrac1{b-a}\,dx=\dfrac{d-c}{b-a}. L'espérance E(X)=\dfrac{a+b}2 correspond au milieu de l'intervalle, ce qui est cohérent avec l'intuition d'un tirage « au hasard, uniformément réparti ».
Exemple : Bus toutes les 10 min : X\sim\mathcal U([0;10]), P(X\leqslant3)=0{,}3, E(X)=5 min.
Exemple : Un ascenseur met un temps X (en secondes) uniformément réparti sur [0;30] pour arriver à un étage après l'appel, X\sim\mathcal U([0;30]). La probabilité d'attendre entre 10 et 20 secondes est \begin{aligned}P(10\leqslant X\leqslant20) &= \dfrac{20-10}{30-0} \\ &= \dfrac{10}{30} \\ &= \dfrac13 \\ &\approx 0{,}333\end{aligned} Le temps d'attente moyen est \begin{aligned}E(X) &= \dfrac{0+30}2 \\ &= 15\end{aligned} secondes.
V. Loi exponentielle
Définition
Densité f(x)=\lambda e^{-\lambda x} sur [0;+\infty[, \lambda>0. On note X\sim\mathcal E(\lambda), où \lambda est appelé le taux de défaillance (ou paramètre) de la loi. Cette loi modélise souvent des durées de vie « sans usure » (attente, durée de fonctionnement d'un composant électronique).
Propriété
P(X\leqslant t)=1-e^{-\lambda t} {P(X>t)=e^{-\lambda t}} E(X)=\dfrac1\lambda
Démonstration de P(X\leqslant t)=1-e^{-\lambda t}
Pour t\geqslant0 : \begin{aligned}P(X\leqslant t) &= \displaystyle\int_0^t \lambda e^{-\lambda x}\,dx \\ &= \Big[-e^{-\lambda x}\Big]_0^t \\ &= -e^{-\lambda t}-(-e^0) \\ &= 1-e^{-\lambda t}\end{aligned} On en déduit \begin{aligned}P(X>t) &= 1-P(X\leqslant t) \\ &= e^{-\lambda t}\end{aligned}
Démonstration de E(X)=\dfrac1\lambda (admis au programme, calcul indicatif)
E(X)=\displaystyle\lim_{t\to+\infty}\int_0^t x\lambda e^{-\lambda x}\,dx. Une intégration par parties (avec u(x)=x, v'(x)=\lambda e^{-\lambda x}) donne \begin{aligned}\displaystyle\int_0^t x\lambda e^{-\lambda x}\,dx &= \Big[-xe^{-\lambda x}\Big]_0^t+\int_0^t e^{-\lambda x}\,dx \\ &= -te^{-\lambda t}+\dfrac1\lambda\big(1-e^{-\lambda t}\big)\end{aligned} Par croissances comparées, te^{-\lambda t}\to0 et e^{-\lambda t}\to0 quand t\to+\infty, donc E(X)=\dfrac1\lambda.
Durée de vie sans vieillissement (absence de mémoire)
Pour tous réels t,h\geqslant0 : {P_{(X\geqslant t)}(X\geqslant t+h)=P(X\geqslant h)}. Autrement dit, sachant que le composant a déjà fonctionné t unités de temps, la probabilité qu'il fonctionne encore h unités de temps supplémentaires est la même que s'il était neuf : la loi exponentielle « ne vieillit pas », « n'a pas de mémoire ».
Démonstration de la durée de vie sans vieillissement
Par définition de la probabilité conditionnelle : P_{(X\geqslant t)}(X\geqslant t+h)=\dfrac{P\big((X\geqslant t)\cap(X\geqslant t+h)\big)}{P(X\geqslant t)}. Or h\geqslant0, donc l'événement (X\geqslant t+h) est inclus dans (X\geqslant t), d'où (X\geqslant t)\cap(X\geqslant t+h)=(X\geqslant t+h). On obtient : \begin{aligned}P_{(X\geqslant t)}(X\geqslant t+h) &= \dfrac{P(X\geqslant t+h)}{P(X\geqslant t)} \\ &= \dfrac{e^{-\lambda(t+h)}}{e^{-\lambda t}} \\ &= e^{-\lambda(t+h)+\lambda t} \\ &= e^{-\lambda h} \\ &= P(X\geqslant h)\end{aligned} La propriété est ainsi démontrée grâce à la propriété algébrique de l'exponentielle e^{a+b}=e^a\times e^b.
Réciproquement, la loi exponentielle est la seule loi à densité sur [0;+\infty[ qui vérifie cette propriété d'absence de mémoire : c'est ce caractère unique qui en fait un modèle privilégié pour les durées de vie de composants sans usure (contrairement à un être vivant qui, lui, vieillit).
Exemple : Composant X\sim\mathcal E(0{,}1) : \begin{aligned}P(X>5) &= e^{-0{,}5} \\ &\approx 0{,}607\end{aligned} E(X)=10 ans.
Exemple : Le temps d'attente T (en minutes) à un guichet suit la loi exponentielle de paramètre \lambda=0{,}2. La probabilité d'attendre plus de 8 minutes est \begin{aligned}P(T>8) &= e^{-0{,}2\times8} \\ &= e^{-1{,}6} \\ &\approx 0{,}202\end{aligned} Sachant qu'un client attend déjà depuis 3 minutes, la probabilité qu'il attende encore au moins 8 minutes de plus est, grâce à l'absence de mémoire, \begin{aligned}P_{(T\geqslant3)}(T\geqslant3+8) &= P(T\geqslant8) \\ &\approx 0{,}202\end{aligned} Le temps déjà écoulé n'a aucune influence. Le temps d'attente moyen est \begin{aligned}E(T) &= \dfrac1{0{,}2} \\ &= 5\end{aligned} minutes.
Exemple : La durée de vie D (en heures) d'une ampoule LED suit la loi \mathcal E(\lambda) avec E(D)=25\,000 heures, donc \begin{aligned}\lambda &= \dfrac1{25\,000} \\ &= 0{,}00004\end{aligned} La probabilité que l'ampoule dure plus de 30 000 heures est \begin{aligned}P(D>30\,000) &= e^{-0{,}00004\times30\,000} \\ &= e^{-1{,}2} \\ &\approx 0{,}301\end{aligned}
VI. L'absence de mémoire, vue sur la courbe
La démonstration ci-dessus est courte, mais elle ne montre rien. L'atelier suivant, si : on coupe la partie déjà écoulée, on redresse ce qui reste, et la courbe retombe sur elle-même.
0
Univers restant P(X>t)
1
Durée restante moyenne
2,5
Le même théorème, deux fois
Dans les deux cas, la queue est une fonction puissance (ou exponentielle, ce qui revient au même), et c'est uniquement pour cela que le passé se simplifie. Aucune autre forme de queue ne ferait cela.
| Temps discret | Temps continu | |
|---|---|---|
| Loi | géométrique \mathcal G(p) | exponentielle \mathcal E(\lambda) |
| Queue | P(X>k)=(1-p)^{k} | P(X>t)=e^{-\lambda t} |
| Espérance | \dfrac1p | \dfrac1\lambda |
| Ce qui simplifie | (1-p)^{n+k}=(1-p)^n\times(1-p)^k | e^{-\lambda(t+h)}=e^{-\lambda t}\times e^{-\lambda h} |
Exemple : Une source radioactive de demi-vie T : la durée X avant désintégration d'un noyau suit \mathcal E(\lambda) avec P(X>T)=0{,}5, soit e^{-\lambda T}=0{,}5, donc T=\dfrac{\ln 2}{\lambda}. Un noyau qui a « survécu » pendant 10T a encore une chance sur deux de tenir T de plus : il n'a pas vieilli.
🎮 À toi de jouer : loi exponentielle
Donne la réponse en écriture décimale, arrondie au millième. Rappels : {P(X>t)=e^{-\lambda t}}, P(X\le t)=1-e^{-\lambda t}, E(X)=\dfrac1\lambda.
🎮 À toi de jouer : loi uniforme, l'aire du rectangle
Aucune intégrale à poser : c'est une largeur multipliée par une hauteur. Donne la valeur exacte en écriture décimale.
VII. Méthode : calculer une probabilité
Méthode
Identifier la loi et ses paramètres, traduire l'événement en intervalle pour X, appliquer les formules (ou intégrer la densité sinon).
Méthode : reconnaître une loi sans mémoire
Dès qu'un énoncé fait apparaître une probabilité conditionnelle du type « sachant que l'appareil a déjà fonctionné pendant... », c'est le signal qu'il faut utiliser la propriété de durée de vie sans vieillissement pour se ramener à une probabilité simple P(X\geqslant h), sans refaire le calcul du quotient de probabilités.
Erreur classique : écrire P(X>t)=1-e^{-\lambda t} au lieu de e^{-\lambda t} (confusion entre P(X\leqslant t) et P(X>t)). Toujours vérifier avec la relation P(X\leqslant t)+P(X>t)=1.