Fiche de cours Logimaths

Fiche de cours : Lois discrètes

Variable aléatoire discrète, espérance, variance et loi uniforme

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I. Variable aléatoire discrète

Définition Une variable aléatoire discrète X associe à chaque issue d'une expérience aléatoire un nombre réel, parmi un ensemble fini ou dénombrable de valeurs x_1,x_2,\dots,x_n (appelé univers image). Sa loi de probabilité donne P(X=x_i) pour chaque valeur x_i, souvent présentée dans un tableau.

Propriété \sum_i P(X=x_i)=1 et pour tout i, {0 \le P(X=x_i) \le 1}.

Exemple : On lance un dé équilibré à 6 faces et X désigne le gain algébrique : on gagne 5€ si le résultat est 6, on gagne 1€ si le résultat est pair (autre que 6), et on perd 2€ sinon. La loi de X est :

x_i	-2	1	5
P(X=x_i)	\tfrac36	\tfrac26	\tfrac16

On vérifie bien \begin{aligned}\tfrac36+\tfrac26+\tfrac16 &= \tfrac66 \\ &= 1\end{aligned}

Erreur classique : oublier une valeur possible de X dans le tableau, ou additionner des probabilités qui ne correspondent pas à des issues disjointes. Toujours vérifier que les événements (X=x_i) forment une partition de l'univers avant de sommer.

II. Fonction de répartition

Définition La fonction de répartition de X est la fonction F définie sur \mathbb R par {F(t)=P(X\le t)}. C'est une fonction en escalier, croissante, qui vaut 0 avant la plus petite valeur de X et 1 à partir de la plus grande.

Propriété Pour a\le b : {P(a< X\le b)=F(b)-F(a)}.

Exemple : Avec la loi de X ci-dessus, \begin{aligned}F(1) &= P(X\le 1) \\ &= P(X=-2)+P(X=1) \\ &= \tfrac36+\tfrac26 \\ &= \tfrac56\end{aligned} et \begin{aligned}F(4) &= P(X\le 4) \\ &= \tfrac56\end{aligned} également (car X ne prend pas de valeur entre 1 et 5).

Fonction de répartition F de X (exemple du dé ci-dessus) : une fonction en escalier, croissante, avec un saut de hauteur P(X=x_i) en chaque valeur x_i prise par X (point plein = valeur atteinte, point creux = valeur exclue).

III. Espérance, variance, écart-type

Définition L'espérance de X est E(X)=\sum_{i=1}^n p_ix_i. Elle représente la valeur moyenne prise par X si l'on répète l'expérience un très grand nombre de fois (loi des grands nombres).

Propriété \begin{aligned}V(X) &= \sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2 \\ &= E(X^2)-(E(X))^2\end{aligned} \sigma(X)=\sqrt{V(X)}

Erreur classique : la variance ne se calcule jamais avec la formule \sum p_i x_i^2 - E(X). Il faut bien soustraire (E(X))^2 (le carré de l'espérance), pas E(X) lui-même. De plus l'écart-type \sigma(X) s'exprime dans la même unité que X (des euros, par exemple), contrairement à V(X).

Linéarité de l'espérance E(aX+b)=aE(X)+b {V(aX+b)=a^2V(X)} \sigma(aX+b)=|a|\,\sigma(X)

Exemple : Dé équilibré : gain = numéro si pair, perte de 2€ sinon. \begin{aligned}E(X) &= -2\times\tfrac12+2\times\tfrac16+4\times\tfrac16+6\times\tfrac16 \\ &= 1\end{aligned} : jeu favorable en moyenne.

Exemple : Une loterie propose des lots de 0 €, 10 € et 100 € avec les probabilités respectives 0{,}7\,;0{,}25\,;0{,}05. Soit G le gain.
\begin{aligned}E(G) &= 0\times0{,}7+10\times0{,}25+100\times0{,}05 \\ &= 2{,}5+5 \\ &= 7{,}5\end{aligned} €.
\begin{aligned}E(G^2) &= 0^2\times0{,}7+10^2\times0{,}25+100^2\times0{,}05 \\ &= 25+500 \\ &= 525\end{aligned}
\begin{aligned}V(G) &= E(G^2)-(E(G))^2 \\ &= 525-7{,}5^2 \\ &= 525-56{,}25 \\ &= 468{,}75\end{aligned} donc \begin{aligned}\sigma(G) &= \sqrt{468{,}75} \\ &\approx 21{,}65\end{aligned} €.
Si l'organisateur double tous les gains (G'=2G) : \begin{aligned}E(G') &= 2\times7{,}5 \\ &= 15\end{aligned} € et \begin{aligned}V(G') &= 2^2\times468{,}75 \\ &= 1875\end{aligned}

IV. Loi uniforme discrète

Définition X suit la loi uniforme sur \{1,\dots,n\} si P(X=k)=\dfrac1n pour tout k.

Propriété E(X)=\dfrac{n+1}2 V(X)=\dfrac{n^2-1}{12}

Exemple : Dé à 6 faces : E(X)=3{,}5 et \begin{aligned}V(X) &= \dfrac{36-1}{12} \\ &= \dfrac{35}{12} \\ &\approx 2{,}92\end{aligned}

Exemple : Une roue de loterie numérotée de 1 à 10 (tirage équiprobable) : \begin{aligned}E(X) &= \dfrac{10+1}2 \\ &= 5{,}5\end{aligned}

Erreur classique : la formule E(X)=\frac{n+1}2 ne s'applique qu'à une loi uniforme sur \{1,\dots,n\} commençant à 1. Pour un support différent (par exemple \{0,\dots,n-1\} ou \{a,\dots,b\}), il faut recalculer E(X) directement avec la définition, ou utiliser E(X)=\frac{a+b}2.

V. Épreuve et loi de Bernoulli

Définition Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues : le succès, de probabilité p, et l'échec, de probabilité 1-p. La variable aléatoire X qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec suit la loi de Bernoulli de paramètre p, notée \mathcal B(p).

Propriété E(X)=p V(X)=p(1-p) \sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}

Démonstration (elle tient en deux lignes) La loi de X est P(X=1)=p et {P(X=0)=1-p}, donc \begin{aligned}E(X) &= 1\times p+0\times(1-p) \\ &= p\end{aligned}
Comme X^2=X (les seules valeurs sont 0 et 1, et 0^2=0, 1^2=1), on a E(X^2)=p, d'où \begin{aligned}V(X) &= E(X^2)-\big(E(X)\big)^2 \\ &= p-p^2 \\ &= p(1-p)\end{aligned}

Remarque utile pour la modélisation : p(1-p) est maximal en p=0{,}5. Une pièce équilibrée est la situation la plus incertaine ; plus p s'approche de 0 ou de 1, plus le résultat devient prévisible et plus la dispersion fond.

Exemple : Un test de dépistage détecte la maladie avec une probabilité p=0{,}98 chez un malade. Sur un malade tiré au hasard, « le test est positif » est une épreuve de Bernoulli de paramètre 0{,}98 : {E(X)=0{,}98} et \begin{aligned}\sigma(X) &= \sqrt{0{,}98\times0{,}02} \\ &\approx 0{,}14\end{aligned}

VI. Schéma de Bernoulli et coefficients binomiaux

Définition Un schéma de Bernoulli de taille n est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. On le représente par un arbre à n niveaux, chaque nœud portant deux branches (succès p, échec 1-p).

Définition Le coefficient binomial \binom nk est le nombre de chemins de l'arbre qui comportent exactement k succès parmi les n épreuves.

Chaque chemin à k succès a la même probabilité p^k(1-p)^{n-k} (on multiplie le long du chemin, et l'ordre des facteurs ne change rien). Il reste donc seulement à compter les chemins : c'est exactement ce que fait \binom nk.

Propriété (triangle de Pascal) \begin{aligned}\binom n0 &= \binom nn \\ &= 1\end{aligned} la symétrie \binom nk=\binom n{n-k}, et la relation de construction \binom nk=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k} : chaque nombre est la somme des deux qui sont juste au-dessus de lui.

Clique sur une case : les deux cases parentes de la ligne du dessus s'allument, et leur somme s'écrit sous le triangle. La ligne n donne tous les \binom nk pour k allant de 0 à n.

Exemple : \binom 52=10 : il y a 10 façons de placer 2 succès sur 5 épreuves. Et \binom 53=10 aussi, par symétrie : choisir les 3 échecs revient à choisir les 2 succès.

VII. Loi binomiale

Définition Dans un schéma de Bernoulli de taille n et de paramètre p, la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale \mathcal B(n\,;p).

Propriété Pour k entier compris entre 0 et n :

P(X=k)=\binom nk\,p^k\,(1-p)^{n-k}

E(X)=np V(X)=np(1-p) \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)} (admis).

Les trois morceaux de la formule se lisent sur l'arbre : \binom nk compte les chemins, p^k rassemble les k branches de succès, (1-p)^{n-k} les n-k branches d'échec. Erreur classique : écrire {(1-p)^{k}} au lieu de (1-p)^{n-k} ; les deux exposants doivent toujours totaliser n.

Exemple : On lance 5 fois une pièce truquée dont la probabilité d'obtenir Pile est p=0{,}4. Le nombre X de Piles suit \mathcal B(5\,;0{,}4), donc \begin{aligned}E(X) &= 5\times0{,}4 \\ &= 2\end{aligned} \begin{aligned}V(X) &= 5\times0{,}4\times0{,}6 \\ &= 1{,}2\end{aligned} et par exemple \begin{aligned}P(X=2) &= \binom52\times0{,}4^2\times0{,}6^3 \\ &= 10\times0{,}16\times0{,}216 \\ &= 0{,}3456\end{aligned}

Méthode : « au moins », « au plus »

P(X\le k) se lit directement à la calculatrice ou au tableur (fonction de répartition cumulée).
P(X\ge k)=1-P(X\le k-1) : c'est k-1, pas k. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, parce qu'en discret la valeur k elle-même a une probabilité non nulle.
P(a\le X\le b)=P(X\le b)-P(X\le a-1).

VIII. Loi géométrique : combien de temps faut-il attendre ?

On répète la même épreuve de Bernoulli, indéfiniment, jusqu'au premier succès. La loi binomiale répond à « combien de succès en n essais ? » ; la loi géométrique répond à la question inverse, qui est celle des temps d'attente : « au bout de combien d'essais le premier succès arrive-t-il ? »

Définition Dans une répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre p (avec 0<p<1), la variable aléatoire X égale au rang du premier succès suit la loi géométrique de paramètre p, notée \mathcal G(p). Elle prend ses valeurs dans \{1,2,3,\dots\}.

Propriété Pour tout entier k\ge1 :

P(X=k)=(1-p)^{k-1}\,p

{P(X>k)=(1-p)^{k}} {P(X\le k)=1-(1-p)^{k}} E(X)=\dfrac1p (admise).

D'où viennent ces formules (aucune n'est à apprendre par cœur)

(X=k), c'est un seul chemin de l'arbre : k-1 échecs puis un succès. D'où P(X=k)=(1-p)^{k-1}\times p. Il n'y a pas de coefficient binomial ici, contrairement à la loi binomiale : l'ordre est imposé.
(X>k), c'est « les k premiers essais ont tous échoué », donc {P(X>k)=(1-p)^k}. Cette formule-là est souvent la plus rapide : elle évite toute somme.
E(X)=\dfrac1p se retient par le bon sens : si le succès arrive une fois sur 10, il faut en moyenne 10 essais.

Erreur classique : écrire P(X=k)=(1-p)^{k}p. L'exposant est k-1, parce que le k-ième essai est le succès, pas un échec. Contrôle immédiat : pour k=1 on doit retrouver P(X=1)=p.

Probabilité de succès p 0,25

Le plus probable

k = 1

Espérance E(X)=1/p

P(X>10)

0,056

Chaque bâton est la probabilité que le premier succès tombe au rang k. Règle p et observe : le diagramme décroît toujours, quel que soit p. Le rang le plus probable est toujours k=1, alors que la moyenne 1/p (le trait orange) est bien plus à droite : c'est une loi très dissymétrique, quelques très longues attentes tirent la moyenne vers le haut.

Exemple : On lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un 6. Le rang X du premier 6 suit \mathcal G\left(\tfrac16\right).
\begin{aligned}P(X=3) &= \left(\tfrac56\right)^{2}\times\tfrac16 \\ &= \dfrac{25}{216} \\ &\approx 0{,}116\end{aligned} (deux échecs, puis le succès).
\begin{aligned}P(X>4) &= \left(\tfrac56\right)^{4} \\ &= \dfrac{625}{1296} \\ &\approx 0{,}482\end{aligned} Presque une fois sur deux, il faut plus de quatre lancers.
\begin{aligned}E(X) &= \dfrac{1}{1/6} \\ &= 6\end{aligned} lancers en moyenne.

Exemple : Une machine produit 3\,\% de pièces défectueuses. On contrôle les pièces une par une jusqu'à en trouver une défectueuse : le rang X de la première pièce défectueuse suit \mathcal G(0{,}03). On en contrôle \dfrac1{0{,}03}\approx33 en moyenne, et la probabilité de devoir en contrôler plus de 50 vaut \begin{aligned}P(X>50) &= 0{,}97^{50} \\ &\approx 0{,}218\end{aligned}

🎮 À toi de jouer : reconnaître la bonne loi

Binomiale ou géométrique ? La question à se poser est toujours la même : le nombre d'essais est-il fixé à l'avance (binomiale) ou s'arrête-t-on au premier succès (géométrique) ?

🎮 À toi de jouer : calculer avec une loi géométrique

Donne la valeur exacte, en écriture décimale, arrondie au millième si besoin. Rappel : P(X=k)=(1-p)^{k-1}p et {P(X>k)=(1-p)^{k}}.

IX. L'absence de mémoire : la propriété qui caractérise la loi géométrique

Vous jouez au dé depuis dix lancers sans obtenir de 6. Le 6 est-il « attendu » ? Non : le dé n'a aucun souvenir de ce qui s'est passé. C'est cette idée que la propriété ci-dessous rend exacte.

Théorème (absence de mémoire) Si X suit \mathcal G(p), alors pour tous entiers n\ge0 et k\ge1 :

P_{(X>n)}(X>n+k)=P(X>k)

Sachant que les n premiers essais ont échoué, la loi du temps d'attente restant est exactement la loi de départ : on repart à zéro.
Réciproquement, la loi géométrique est la seule loi à valeurs dans \{1,2,3,\dots\} qui possède cette propriété : c'est bien une caractérisation.

Démonstration (elle tient en trois égalités) Comme k\ge1, l'événement (X>n+k) est inclus dans (X>n), donc leur intersection est (X>n+k) tout entier. D'où :

\begin{aligned}P_{(X>n)}(X>n+k) &= \dfrac{P(X>n+k)}{P(X>n)} \\ &= \dfrac{(1-p)^{n+k}}{(1-p)^{n}} \\ &= (1-p)^{k} \\ &= P(X>k)\end{aligned}

Tout repose sur la règle des exposants a^{n+k}=a^n\times a^k : les n échecs déjà survenus se simplifient. C'est la version discrète de la démonstration faite pour la loi exponentielle (fiche Lois à densité).

Essais déjà échoués n 0

Univers restant P(X>n)

Attente restante moyenne

Pousse le curseur : les rangs déjà écoulés passent sous le voile, l'univers se réduit à (X>n). Appuie ensuite sur Redresser : on divise par P(X>n), et les bâtons retombent pile sur la loi de départ (le contour en pointillés). Le temps déjà attendu n'a rien changé.

⚠️ Ce que l'absence de mémoire ne dit PAS Elle ne dit pas que l'attente totale ne compte pas. E(X)=\dfrac1p reste vrai : si vous avez déjà attendu n essais, l'attente totale sera en moyenne n+\dfrac1p, pas \dfrac1p. Ce qui repart à zéro, c'est l'attente restante, pas l'attente déjà consommée. C'est aussi ce qui invalide le raisonnement du joueur (« ça fait dix coups, ça va tomber ») : rien ne se « charge ».

Exemple : Un standard téléphonique : chaque minute, la probabilité de recevoir un appel est p=0{,}2, indépendamment des minutes précédentes. On attend depuis 7 minutes sans appel. La probabilité d'attendre encore plus de 3 minutes vaut \begin{aligned}P_{(X>7)}(X>10) &= P(X>3) \\ &= 0{,}8^{3} \\ &= 0{,}512\end{aligned} C'est la même valeur que si l'on venait d'arriver.

Modèles où l'absence de mémoire est fausse, et il faut savoir le dire : la durée de vie d'un être vivant, l'usure d'une pièce mécanique, une ampoule à filament. Là, le passé compte : plus l'objet est vieux, plus il risque de céder. La loi géométrique (et sa cousine continue, la loi exponentielle) modélise le contraire : la panne accidentelle, la désintégration radioactive, l'arrivée d'un appel.

🎮 À toi de jouer : le passé compte-t-il ?

Une seule question à se poser : le phénomène s'use-t-il avec le temps ? Si oui, pas d'absence de mémoire.

X. Somme de variables aléatoires

Théorème Pour toutes variables aléatoires X,Y (définies sur le même univers) : {E(X+Y)=E(X)+E(Y)} : cette égalité est toujours vraie, même si X et Y ne sont pas indépendantes. En revanche, la variance ne s'additionne que sous indépendance : si X,Y sont indépendantes, alors {V(X+Y)=V(X)+V(Y)}.

Erreur classique : appliquer {V(X+Y)=V(X)+V(Y)} sans avoir vérifié (ou sans que l'énoncé ne précise) l'indépendance de X et Y. Cette formule est fausse en général si les deux variables sont liées.

Exemple : On lance deux dés équilibrés indépendants et on note X et Y les résultats respectifs. Soit S=X+Y la somme des deux dés. Comme \begin{aligned}E(X) &= E(Y) \\ &= 3{,}5\end{aligned} D'où \begin{aligned}E(S) &= 3{,}5+3{,}5 \\ &= 7\end{aligned} Comme X et Y sont indépendantes et \begin{aligned}V(X) &= V(Y) \\ &= \frac{35}{12}\end{aligned} D'où \begin{aligned}V(S) &= \dfrac{35}{12}+\dfrac{35}{12} \\ &= \dfrac{35}6 \\ &\approx 5{,}83\end{aligned}

XI. Inférence bayésienne : retourner le conditionnement

Un test de dépistage est annoncé « fiable à 99\,\% ». Votre test est positif. Êtes-vous malade à 99\,\% ? Presque jamais. Ce chapitre existe pour cette seule raison, et c'est le point le plus important de toute la partie probabilités : P_T(M) et P_M(T) ne sont pas le même nombre.

Vocabulaire des tests binaires On note M l'événement « être malade » et T « le test est positif ».

Prévalence P(M) : la proportion de malades dans la population testée. C'est la probabilité a priori.
Sensibilité P_M(T) : la probabilité que le test soit positif chez un malade (il ne rate pas les malades).
Spécificité P_{\overline M}(\overline T) : la probabilité que le test soit négatif chez un bien portant (il ne crie pas au loup).
Valeur prédictive positive P_T(M) : la probabilité d'être réellement malade quand le test est positif. C'est la probabilité a posteriori, et c'est la seule qui intéresse le patient.

Formule des probabilités totales, puis formule de Bayes Pour un événement T et une partition \{M\,;\overline M\} de l'univers :

P(T)=P(M)\times P_M(T)+P(\overline M)\times P_{\overline M}(T)

et l'inversion du conditionnement :

\begin{aligned}P_T(M) &= \dfrac{P(M\cap T)}{P(T)} \\ &= \dfrac{P(M)\times P_M(T)}{P(T)}\end{aligned}

On lit la formule de Bayes ainsi : le numérateur ne change pas (c'est toujours la même intersection M\cap T), seul le dénominateur change de bande. Passer de P_M(T) à P_T(M), c'est remplacer « parmi les malades » par « parmi les positifs ». Le mot qui suit « parmi » ou « sachant » donne toujours le dénominateur.

🎭 L'atelier bayésien : le même tableau, deux sens de lecture

On teste 100 000 personnes. Le test a une sensibilité de 99\,\% et une spécificité de 99\,\% (il se trompe une fois sur cent dans chaque sens). Règle la prévalence et choisis une bande : tout ce qui en sort passe sous le voile.

Prévalence P(M) 0,1 %

Ce que l'atelier fait voir, et qu'aucune formule ne fait voir

La case d'intersection M\cap T (les vrais positifs) est la même dans les deux lectures : c'est toujours elle, le numérateur.
Seul le dénominateur change de bande : la ligne des malades pour la sensibilité, la colonne des positifs pour la valeur prédictive.
Quand la maladie est rare, la colonne des positifs est envahie par les faux positifs : ils sont peu nombreux en proportion des bien portants, mais les bien portants sont écrasants en nombre. La valeur prédictive positive tombe alors très bas, sans que le test ait changé.
Conclusion de santé publique, et c'est le vrai sujet du thème : on ne dépiste pas en population générale une maladie rare avec un test dont la spécificité n'est pas quasi parfaite.

Exemple : Prévalence 0{,}1\,\%, sensibilité et spécificité 99\,\%, sur 100\,000 personnes :

malades : 100, dont 99 testés positifs (vrais positifs) ;
bien portants : 99\,900, dont 1\,\% testés positifs, soit 999 faux positifs.

Total des positifs : 99+999=1\,098. Donc \begin{aligned}P_T(M) &= \dfrac{99}{1\,098} \\ &\approx 0{,}090\end{aligned} Moins de 10\,\% des personnes testées positives sont malades, alors que la sensibilité vaut P_M(T)=0{,}99. Les deux nombres portent sur la même case 99 ; ils diffèrent d'un facteur 11 uniquement à cause du dénominateur.

Méthode : résoudre un problème bayésien sans se tromper

Prendre un effectif fictif commode (10\,000 ou 100\,000 personnes) plutôt que des probabilités : le tableau se remplit en entiers, et les faux positifs sautent aux yeux.
Remplir ligne par ligne : la partition (malades / bien portants) donne les deux totaux de ligne, la sensibilité et la spécificité découpent chaque ligne.
Faire les totaux de colonnes : c'est la formule des probabilités totales, en effectifs.
Lire la réponse comme un quotient : numérateur = la case, dénominateur = le total de la bande demandée.

Un arbre pondéré fait le même travail ; le tableau a l'avantage de rendre les deux sens lisibles sur un seul dessin.

🎮 À toi de jouer : quelle bande, quelle fraction ?

On ne demande pas le résultat, mais les deux effectifs de la fraction. C'est là que se joue tout le chapitre.

numérateur dénominateur

XII. Jeu équitable

Définition Un jeu de hasard est dit équitable lorsque l'espérance du gain algébrique du joueur (gains moins mise) est nulle : E(X)=0. Si E(X)>0, le jeu est favorable au joueur ; si E(X)<0, il est défavorable.

Exemple : Un jeu consiste à miser m euros puis à tirer une boule dans une urne contenant 10 boules : 1 boule rouge rapporte 50 €, 2 boules bleues rapportent 5 € chacune, et les 7 boules blanches ne rapportent rien. Le gain algébrique X (gain moins mise) vérifie :
E(X)=(50-m)\times\dfrac1{10}+(5-m)\times\dfrac2{10}+(0-m)\times\dfrac7{10}.
En développant : \begin{aligned}E(X) &= \dfrac{50-m+10-2m-7m}{10} \\ &= \dfrac{60-10m}{10} \\ &= 6-m\end{aligned}
Pour un jeu équitable, on résout E(X)=0, soit 6-m=0, donc \mathbf{m=6} €.