Fiche de cours Logimaths
Nombres complexes : le cours expliqué pas à pas
i²=−1, conjugué, module, résolution
💡 Avant de commencer Version expliquée pas à pas. L'idée clé : on invente un nombre i dont le carré vaut −1, pour pouvoir résoudre toutes les équations du second degré.
Étape 1 : Pourquoi inventer un nouveau nombre ?
L'équation x2 = −1 n'a pas de solution réelle. On crée alors un nombre i tel que i2 = −1. Un nombre complexe s'écrit z = a + bi (a partie réelle, b partie imaginaire).
Étape 2 : Calculer avec les complexes
Comme d'habitude, avec i²=−1 On additionne et multiplie comme des expressions littérales, en remplaçant i2 par −1. Ex. (2 + 3i)(1 − i) = 2 − 2i + 3i − 3i2 = 5 + i.
Étape 3 : Conjugué et module
Définitions Le conjugué de z = a + bi est z̄ = a − bi. Le module |z| = √(a2 + b2) est la « longueur » de z (distance à l'origine dans le plan). Ex. |3 + 4i| = 5.
💡 Le plan complexe On représente z = a + bi par le point de coordonnées (a ; b) : les complexes « habitent » un plan, et le module en est la distance à l'origine.
Étape 4 : Résoudre dans ℂ
Second degré Avec Δ < 0, l'équation a deux solutions complexes conjuguées : z = −b ± i√(−Δ)2a.
👆 À toi de jouer Résous z2 − 2z + 5 = 0 dans ℂ.
Voir la réponse
Δ = 4 − 20 = −16 = (4i)2, donc z = (2 ± 4i)/2 = 1 ± 2i.🎯 Mémo
L'essentiel i2 = −1, z = a + bi. Calcul comme d'habitude. Conjugué a − bi, module √(a2+b2). Δ < 0 → deux solutions conjuguées.