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Fiche de cours Logimaths

Nombres complexes (STI2D) : le cours expliqué pas à pas

Module, argument, électricité

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💡 Avant de commencer Version expliquée pas à pas. L'idée clé : les complexes ont deux écritures (algébrique et trigonométrique) très utiles en électricité.

Étape 1 : Le nombre i

On introduit i tel que i2 = −1. Un nombre complexe s'écrit z = a + bi (forme algébrique).

Étape 2 : Module et argument

Forme trigonométrique Le module |z| = √(a2 + b2) est la longueur ; l'argument est l'angle. On écrit z = |z|(cos θ + i sin θ).
💡 Un point du plan z = a + bi se représente par le point (a ; b) : le module est sa distance à l'origine, l'argument son angle.
O Re Im a b M θ r
Représentation d'un nombre complexe z=a+jb dans le plan complexe : r=|z| est le module (longueur du vecteur \overrightarrow{OM}), \theta=\arg(z) est l'angle entre l'axe réel et ce vecteur.

Étape 3 : En électricité

En courant alternatif, tensions et intensités s'écrivent avec des complexes : le module donne l'amplitude, l'argument le déphasage. Les calculs de circuits (impédances) en deviennent bien plus simples.

Étape 4 : Calculer

Rappel On additionne et multiplie comme des expressions, avec i2 = −1. Ex. (2 + 3i)(1 − i) = 5 + i.
👆 À toi de jouer Quel est le module de z = 3 + 4i ?
Voir la réponse|z| = √(32 + 42) = √25 = 5.

🎯 Mémo

L'essentiel z = a + bi (algébrique) ou |z|(cos θ + i sin θ) (trigonométrique). Module = amplitude, argument = déphasage (électricité).