Fiche de cours Logimaths
Primitives et équations différentielles : le cours expliqué pas à pas
Dérivée à l'envers, y'=ay
💡 Avant de commencer Version expliquée pas à pas. L'idée clé : les équations différentielles modélisent le monde (croissance, refroidissement) en reliant une grandeur à sa vitesse de variation.
Étape 1 : Primitive = dérivée à l'envers
Définition F est une primitive de f si F' = f. Il y en a une infinité, toutes à une constante près : F(x) + C.
Étape 2 : Les primitives usuelles
À connaître xn → xn+1n+1 • 1x → ln x • ex → ex.
Étape 3 : Une équation sur la fonction ET sa dérivée
Équation différentielle y' = a y : « la vitesse de variation est proportionnelle à la valeur ». Ses solutions sont y = C eax : les phénomènes de croissance/décroissance exponentielle.
💡 Le monde réel Population, radioactivité, refroidissement d'un café : dès qu'une grandeur varie proportionnellement à elle-même, l'exponentielle apparaît.
Étape 4 : Fixer la constante
Condition initiale Une valeur connue (ex. y(0) = 5) permet de calculer C et d'obtenir la solution.
👆 À toi de jouer Résous y' = 2y avec y(0) = 3.
Voir la réponse
y = C e2x ; y(0) = C = 3, donc y = 3 e2x.🎯 Mémo
L'essentiel Primitive = dérivée à l'envers (+ C). y' = ay → y = C eax (croissance exponentielle). Une condition initiale fixe C.