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Fiche de cours Logimaths

Probabilités conditionnelles : le cours expliqué pas à pas

Sachant que, arbres, indépendance

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💡 Avant de commencer Version expliquée pas à pas. L'idée clé : « sachant que », c'est zoomer sur une partie de la population et y recalculer les probabilités.

Étape 1 : Réduire l'univers

Une information (« sachant que A est réalisé ») ne garde qu'une partie des cas. On recalcule la probabilité dans ce sous-groupe.

Définition PA(B) = P(A ∩ B)P(A).
Ω A B A∩B
La probabilité P_A(B) revient à « réduire » l'univers \Omega à A : c'est la part de A\cap B dans A.

Étape 2 : L'arbre pondéré

Règle des arbres On multiplie le long des branches : P(A ∩ B) = P(A) × PA(B). La somme des branches d'un même nœud vaut 1.

Étape 3 : La formule des probabilités totales

Idée On additionne tous les chemins qui mènent à B : P(B) = P(A)PA(B) + P(Ā)PĀ(B).

Étape 4 : Indépendance

Définition A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B) : savoir que l'un est réalisé ne change rien à la probabilité de l'autre.
👆 À toi de jouer P(A)=0,5, P(B)=0,4, P(A∩B)=0,2 : indépendants ?
Voir la réponse0,5×0,4 = 0,2 = P(A∩B) → oui.

🎯 Mémo

L'essentiel PA(B)=P(A∩B)/P(A). Arbre : on multiplie. Probabilités totales : on additionne les chemins. Indépendants ⟺ P(A∩B)=P(A)P(B).