Fiche de cours Logimaths
Fiche de cours : Statistique
Indicateurs de position et de dispersion, écart-type, effet des transformations affines
I. Indicateurs de position
Définition
Pour une série statistique de valeurs x_1,x_2,\dots,x_n (éventuellement munies d'effectifs n_1,n_2,\dots,n_p), la moyenne est :
\begin{aligned}\bar x &= \dfrac{n_1x_1+n_2x_2+\cdots+n_px_p}{n_1+n_2+\cdots+n_p} \\ &= \dfrac1n\sum_{i=1}^{p}n_ix_i\end{aligned}
où n=n_1+n_2+\cdots+n_p est l'effectif total.
Définition
La médiane M_e est une valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif : au moins 50% des valeurs sont inférieures ou égales à M_e, et au moins 50% sont supérieures ou égales à M_e.
Définition
Les quartiles Q_1 et Q_3 sont les plus petites valeurs de la série telles qu'au moins 25% (resp. 75%) des données leur soient inférieures ou égales. L'écart interquartile est Q_3-Q_1 : il mesure la dispersion des 50% des valeurs centrales.
Exemple : Série ordonnée de 9 notes : 8,\,9,\,10,\,11,\,12,\,13,\,14,\,16,\,18. Effectif n=9, donc la médiane est la 5^{\text{e}} valeur : M_e=12. On trouve Q_1=10 (position 0{,}25\times9=2{,}25\to3^{\text{e}} valeur) et Q_3=14 (position 0{,}75\times9=6{,}75\to7^{\text{e}} valeur), donc écart interquartile Q_3-Q_1=4.
Erreur classique : la médiane n'est pas la moyenne des deux valeurs centrales sauf si l'effectif est pair. Pour un effectif impair n, la médiane est directement la valeur de rang \dfrac{n+1}2 dans la série ordonnée ; pour un effectif pair, c'est la moyenne des valeurs de rangs \dfrac n2 et \dfrac n2+1.
II. Indicateurs de dispersion : variance et écart-type
Définition
La variance d'une série de moyenne \bar x est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :
V=\dfrac1n\sum_{i=1}^{p}n_i(x_i-\bar x)^2
L'écart-type est \sigma=\sqrt V. Il s'exprime dans la même unité que les données, contrairement à la variance.
Théorème (formule de König-Huygens)
La variance peut aussi se calculer par :
V=\left(\dfrac1n\sum_{i=1}^{p}n_ix_i^2\right)-\bar x^2
c'est-à-dire « la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne ». Cette formule est souvent plus rapide à utiliser en pratique, notamment avec une calculatrice.
Propriété
Plus l'écart-type \sigma est petit, plus les valeurs de la série sont concentrées autour de la moyenne \bar x ; plus il est grand, plus la série est dispersée.
Exemple : Série 2,\,4,\,6,\,8 (effectifs égaux à 1, n=4). Moyenne : \begin{aligned}\bar x &= \dfrac{2+4+6+8}4 \\ &= 5\end{aligned} Moyenne des carrés : \dfrac{4+16+36+64}4=30. D'où \begin{aligned}V &= 30-5^2 \\ &= 5\end{aligned} et \begin{aligned}\sigma &= \sqrt5 \\ &\approx 2{,}24\end{aligned}
Exemple : Températures relevées (en °C) sur 5 jours, avec effectifs : 18 (n_1=2), 20 (n_2=2), 26 (n_3=1). Effectif total n=5. Moyenne : \begin{aligned}\bar x &= \dfrac{2\times18+2\times20+1\times26}5 \\ &= \dfrac{36+40+26}5 \\ &= \dfrac{102}5 \\ &= 20{,}4\end{aligned} Moyenne des carrés : \begin{aligned}\dfrac{2\times18^2+2\times20^2+1\times26^2}5 &= \dfrac{648+800+676}5 \\ &= \dfrac{2124}5 \\ &= 424{,}8\end{aligned} D'où \begin{aligned}V &= 424{,}8-20{,}4^2 \\ &= 424{,}8-416{,}16 \\ &= 8{,}64\end{aligned} et \begin{aligned}\sigma &= \sqrt{8{,}64} \\ &\approx 2{,}94\,°C\end{aligned}
Erreur classique : ne pas oublier d'élever \bar x au carré après avoir calculé la moyenne (et non calculer la moyenne des x_i^2 puis la racine directement). L'ordre des opérations dans {V=\overline{x^2}-\bar x^2} est essentiel : on ne simplifie jamais par « \overline{x^2}=\bar x^2 », ces deux quantités sont en général différentes.
III. Effet d'une transformation affine sur une série statistique
Théorème
Soit une série x_1,\dots,x_p de moyenne \bar x et d'écart-type \sigma_x. On définit la nouvelle série y_i=ax_i+b (avec a,b réels). Alors :
\bar y=a\bar x+b\qquad\text{et}\qquad \sigma_y=|a|\,\sigma_x
La variance vérifie V(y)=a^2V(x).
Erreur classique très fréquente : pour l'écart-type (et la variance), la constante additive b disparaît : un décalage ne change pas la dispersion des données, seul le facteur multiplicatif a agit, et il faut prendre sa valeur absolue (l'écart-type est toujours positif, même si a<0).
Méthode
Pour un changement d'unité ou d'origine (ex : conversion de température, de monnaie, ou centrage-réduction), on identifie a et b dans {y=ax+b}, puis on applique directement les formules \bar y=a\bar x+b et \sigma_y=|a|\sigma_x sans refaire tous les calculs.
Exemple : Une série de notes sur 20 a pour moyenne \bar x=12 et écart-type \sigma_x=3. On convertit ces notes sur 100 (nouvelle note y=5x, donc a=5, b=0). Alors \begin{aligned}\bar y &= 5\times12 \\ &= 60\end{aligned} et \begin{aligned}\sigma_y &= 5\times3 \\ &= 15\end{aligned}
Exemple : Un capteur mesure des températures en degrés Celsius avec \bar x=15 et \sigma_x=2. On convertit en degrés Fahrenheit avec y=1{,}8x+32 (a=1{,}8, b=32). Alors \begin{aligned}\bar y &= 1{,}8\times15+32 \\ &= 27+32 \\ &= 59\,°F\end{aligned} et \begin{aligned}\sigma_y &= 1{,}8\times2 \\ &= 3{,}6\,°F\end{aligned} (le +32 ne modifie pas la dispersion).
Exemple : Une entreprise indexe les salaires de ses employés avec la transformation {y=x-200} (prime forfaitaire retirée, a=1, b=-200). Si \sigma_x=150\,€, alors \begin{aligned}\sigma_y &= |1|\times150 \\ &= 150\,€\end{aligned} Retrancher une somme fixe à tous les salaires ne change pas leur dispersion.
IV. Comparer des séries statistiques
Propriété
Pour comparer deux séries statistiques, on compare :
- leurs indicateurs de position (moyenne, médiane) pour comparer les « niveaux » ;
- leurs indicateurs de dispersion (écart-type, écart interquartile) pour comparer l'homogénéité.
Méthode
On choisit la moyenne et l'écart-type quand la série est raisonnablement homogène (peu de valeurs extrêmes) ; on préfère la médiane et l'écart interquartile quand la série contient des valeurs extrêmes ou aberrantes, car ces indicateurs sont plus robustes (peu sensibles aux valeurs extrêmes).
| Classe A | Classe B | |
|---|---|---|
| Moyenne | 12{,}5 | 12{,}5 |
| Écart-type | 1{,}2 | 4{,}8 |
Exemple : Deux classes ont la même moyenne de 12{,}5 à un devoir, mais la classe A a un écart-type de 1{,}2 contre 4{,}8 pour la classe B. Les résultats de la classe A sont donc beaucoup plus homogènes (les notes sont resserrées autour de la moyenne), alors que la classe B a des résultats très hétérogènes (bons et mauvais élèves très éloignés de la moyenne), bien que les deux classes aient « la même moyenne ».
Erreur classique : deux séries de même moyenne ne sont pas forcément « équivalentes ». Il faut toujours croiser un indicateur de position avec un indicateur de dispersion pour juger correctement une série ; la moyenne seule peut masquer de fortes disparités.
V. Séries à deux variables : nuage de points et point moyen
Jusqu'ici, une seule grandeur était mesurée. On en observe maintenant deux à la fois sur les mêmes individus : une dépense de publicité et un chiffre d'affaires, une dose et une concentration, une année et une température. La question devient : ces deux grandeurs varient-elles ensemble, et si oui, peut-on écrire l'une en fonction de l'autre ?
Définition
Une série statistique à deux variables est une liste de couples (x_i\,;y_i) pour i allant de 1 à n. Le nuage de points est l'ensemble de ces points dans un repère. Le point moyen G a pour coordonnées (\bar x\,;\bar y), où \bar x et \bar y sont les moyennes de chaque variable.
Le point moyen n'est presque jamais un point du nuage : c'est le « centre de gravité » du nuage, celui autour duquel il s'équilibre. Sa propriété décisive arrive à la partie suivante : toute droite d'ajustement des moindres carrés passe par G.
VI. La droite des moindres carrés
Quand le nuage a une allure de droite, on cherche la droite {y=ax+b} qui le résume le mieux. Reste à dire ce que « le mieux » veut dire, et c'est là que l'expression « moindres carrés » prend tout son sens.
Définition
Pour un point (x_i\,;y_i) et une droite {y=ax+b}, le résidu est l'écart vertical
{e_i=y_i-(ax_i+b)} : ce que le modèle rate sur cet individu. La droite des moindres carrés (ou droite de régression de y en x) est celle qui rend minimale la somme
\begin{aligned}S(a\,;b) &= \sum_{i=1}^{n} e_i^{\,2} \\ &= \sum_{i=1}^{n}\big(y_i-(ax_i+b)\big)^2\end{aligned}
Pourquoi des carrés, et pas simplement des écarts ?
- Si l'on additionnait les e_i tels quels, les écarts positifs et négatifs se compenseraient : n'importe quelle droite passant par G donnerait une somme nulle. Le critère ne trierait rien.
- Élever au carré rend tout positif et pénalise beaucoup plus les gros écarts : doubler un résidu multiplie sa contribution par 4. La droite fuit donc les points très mal ajustés.
- Et surtout : S est une fonction du second degré en a (à b fixé) et en b. Elle a donc un minimum unique, qu'on sait calculer. C'est le lien direct avec le chapitre sur les trinômes : minimiser S, c'est chercher le sommet d'une parabole.
Ta droite
y = x + 2
Somme des carrés S
0
Minimum possible
0
Théorème (droite des moindres carrés)
La droite qui minimise S est unique ; elle passe par le point moyen G(\bar x\,;\bar y) et son coefficient directeur vaut
a=\dfrac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum(x_i-\bar x)^2}=\dfrac{\mathrm{Cov}(x\,;y)}{V(x)}\qquad\text{puis}\qquad b=\bar y-a\bar x
La quantité {\mathrm{Cov}(x\,;y)=\dfrac1n\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)} est la covariance : c'est le numérateur, et c'est elle qui porte le signe de la pente.
Méthode : obtenir la droite en pratique
- Saisir les deux listes dans le mode statistique de la calculatrice ou dans un tableur.
- Demander la régression linéaire : la machine renvoie a, b et souvent r.
- Arrondir seulement à la fin, et jamais avant de réutiliser a pour calculer b : l'erreur se propage vite.
- Vérifier d'un coup d'œil que la droite est plausible : le signe de a doit être celui de la pente visible sur le nuage, et la droite doit passer par G.
Attention à l'ordre des variables : la droite de y en x minimise les écarts verticaux ; celle de x en y minimiserait les écarts horizontaux, et ce n'est pas la même droite. Le rôle des deux variables n'est pas symétrique : on choisit celle qu'on veut prédire, et on la met en y.
VII. Coefficient de corrélation linéaire
Définition
Le coefficient de corrélation linéaire est
r=\dfrac{\mathrm{Cov}(x\,;y)}{\sigma_x\,\sigma_y}
Il est toujours compris entre -1 et 1. Il mesure à quel point le nuage est proche d'une droite.
| r | Allure du nuage | Ajustement affine |
|---|---|---|
| r=1 | points parfaitement alignés, pente positive | exact |
| {0{,}9\le |r|<1} | nuage très étiré autour d'une droite | tout à fait pertinent |
| |r|\approx0{,}5 | tendance visible mais nuage épais | à utiliser avec prudence |
| r\approx0 | aucune tendance linéaire | à écarter |
⚠️ Trois pièges autour de r
- r\approx0 ne veut pas dire « pas de lien » : cela veut dire « pas de lien linéaire ». Un nuage en forme de parabole bien nette peut avoir un r quasi nul, alors que le lien est parfait.
- Un r proche de 1 ne garantit pas que le modèle affine soit le bon : un nuage légèrement courbé peut donner r=0{,}98. Il faut regarder le nuage, jamais seulement le nombre.
- Un seul point aberrant peut fabriquer ou détruire une corrélation. C'est ce que montre l'atelier ci-dessous : déplace un point, la droite bascule et r s'effondre, alors qu'aucun autre individu n'a bougé.
VIII. Ajustement par changement de variable
Beaucoup de phénomènes ne sont pas affines mais exponentiels : une population qui croît, une dose de médicament qui s'élimine, une décroissance radioactive. On ne renonce pas pour autant à la droite des moindres carrés : on change de variable pour se ramener à une situation affine.
Méthode : linéariser un modèle exponentiel
On suppose y=k\,q^{x} avec k>0 et {q>0}. On pose {z=\ln y}. Alors
\begin{aligned}z &= \ln\big(k\,q^{x}\big) \\ &= \ln k+x\ln q\end{aligned}
C'est une relation affine en x ! On ajuste donc z=ax+b par les moindres carrés, puis on revient en arrière :
q=e^{a}\qquad\text{et}\qquad k=e^{b}\qquad\text{d'où}\qquad y=e^{b}\times\big(e^{a}\big)^{x}=e^{ax+b}
Variable en ordonnée
y
Droite des moindres carrés
y = ax + b
Corrélation r
0
Interpoler, extrapoler : et jusqu'où ?
- Interpoler, c'est estimer une valeur à l'intérieur de la plage observée. C'est en général raisonnable.
- Extrapoler, c'est sortir de cette plage. Là, rien ne garantit que le modèle tienne encore : une croissance exponentielle finit toujours par buter sur une limite physique, un budget, une saturation. Plus on s'éloigne, moins la prévision vaut.
- Un ajustement n'est jamais une loi de la nature : c'est un résumé des données observées. Il faut toujours accompagner une extrapolation d'une phrase de prudence.
Exemple : Concentration C (en mg/L) d'un médicament après x heures. L'ajustement de z=\ln C donne {z=-0{,}25x+2{,}30}.
Alors \begin{aligned}q &= e^{-0{,}25} \\ &\approx 0{,}779\end{aligned} et \begin{aligned}k &= e^{2{,}30} \\ &\approx 9{,}97\end{aligned} donc C\approx9{,}97\times0{,}779^{x} : la concentration perd environ 22\,\% par heure.
Au bout de 6 heures : \begin{aligned}C &\approx 9{,}97\times0{,}779^{6} \\ &\approx 2{,}2\end{aligned} mg/L (interpolation, plage observée [0\,;8] heures : fiable).
Au bout de 48 heures, le modèle prédit C\approx0{,}0001 mg/L : c'est une extrapolation très lointaine, à ne pas prendre au sérieux sans nouvelles mesures.
Alors \begin{aligned}q &= e^{-0{,}25} \\ &\approx 0{,}779\end{aligned} et \begin{aligned}k &= e^{2{,}30} \\ &\approx 9{,}97\end{aligned} donc C\approx9{,}97\times0{,}779^{x} : la concentration perd environ 22\,\% par heure.
Au bout de 6 heures : \begin{aligned}C &\approx 9{,}97\times0{,}779^{6} \\ &\approx 2{,}2\end{aligned} mg/L (interpolation, plage observée [0\,;8] heures : fiable).
Au bout de 48 heures, le modèle prédit C\approx0{,}0001 mg/L : c'est une extrapolation très lointaine, à ne pas prendre au sérieux sans nouvelles mesures.
IX. Corrélation n'est pas causalité
C'est la conclusion du chapitre, et c'est ce qui en fait autre chose qu'un exercice de calcul. Un coefficient r proche de 1 dit que deux grandeurs varient ensemble. Il ne dit jamais que l'une cause l'autre.
Les quatre explications possibles d'une corrélation forte
- X cause Y (le lien de causalité qu'on imaginait).
- Y cause X (la cause est inversée).
- Une troisième variable Z cause les deux : c'est le facteur de confusion, de loin le cas le plus fréquent.
- Le hasard : sur des milliers de séries comparées, certaines coïncident sans aucune raison. C'est la corrélation fallacieuse.
Exemple : Dans une ville, les ventes de glaces et le nombre de noyades sont fortement corrélées d'un mois à l'autre (r\approx0{,}95). Les glaces ne noient personne : la troisième variable est la température, qui fait monter les deux. C'est le cas 3.
Exemple : Le nombre de pompiers envoyés sur un incendie est corrélé aux dégâts constatés. On n'en conclut pas qu'il faut envoyer moins de pompiers : la troisième variable est la taille de l'incendie.
Exemple : Les élèves qui dorment le plus ont de meilleures notes. Le sommeil aide-t-il à apprendre (cas 1), ou les élèves qui réussissent sont-ils moins stressés et dorment-ils mieux (cas 2) ? Les deux mécanismes sont plausibles, et une simple corrélation ne permet pas de choisir. Il faudrait une expérience.
Formulation à retenir pour une copie : « Le coefficient r\approx0{,}97 indique une forte corrélation linéaire entre ces deux grandeurs ; cela ne permet pas d'affirmer que l'une est la cause de l'autre. » Écrire « donc X provoque Y » est une faute de raisonnement, pas une maladresse de rédaction.
🎮 À toi de jouer : corrélation ou causalité ?
Cherche toujours s'il existe une troisième variable capable d'expliquer les deux à la fois.
🎮 À toi de jouer : lire et utiliser une droite d'ajustement
Réponds en écriture décimale (virgule française), sans arrondir davantage que demandé.