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Fiche de cours Logimaths

Suites arithmétiques et géométriques : le cours expliqué pas à pas

Terme général, sommes, limites

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💡 Avant de commencer Version expliquée pas à pas. L'idée clé : deux modèles de progression : ajouter toujours pareil, ou multiplier toujours pareil.

Étape 1 : Arithmétique : on ajoute la raison

Définition u_{n+1} = u_n + r ; terme général u_n = u_0 + n r. Ex. u_0 = 5, r = 3 → u_{10} = 35.
u₀ u₁ u₂ u₃ +r +r +r
Sur la droite graduée, chaque terme s'obtient en ajoutant toujours la même raison r au précédent : u_{n+1}=u_n+r.

Étape 2 : Géométrique : on multiplie par la raison

Définition u_{n+1} = q × u_n ; terme général u_n = u_0 × qn. Ex. u_0 = 2, q = 3 → u_4 = 162.

Étape 3 : Les sommes

Formules Somme arithmétique : (nombre de termes) × premier + dernier2. Somme géométrique (q ≠ 1) : u_0 × 1 − qn+11 − q.

Étape 4 : Les limites

💡 Comportement à l'infini Une suite géométrique de raison |q| < 1 tend vers 0 ; de raison q > 1, elle explose vers +∞.
👆 À toi de jouer Somme 1 + 2 + 3 + … + 100 ?
Voir la réponse100 × (1 + 100)/2 = 5050.

🎯 Mémo

L'essentiel Arithmétique : +r, u_n = u_0 + nr. Géométrique : ×q, u_n = u_0 qn. Sommes connues. Limite géométrique selon |q|.