Fiche de cours Logimaths | Terminale spécialité
Fiche de cours : Les suites (limites)
Limites, comparaison, gendarmes et convergence monotone
I. Limite d'une suite : les définitions
Limite infinie, limite finie
- \lim u_n = +\infty : tout intervalle ]a\,;\,+\infty[ contient TOUS les termes de la suite à partir d'un certain rang (les termes deviennent aussi grands que l'on veut).
- \lim u_n = L : tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes à partir d'un certain rang. La suite est dite convergente.
Les limites usuelles à connaître par cœur
Celles qui partent à l'infini :
- \lim n = +\infty
- \lim n^2 = +\infty
- \lim n^3 = +\infty
- \lim \sqrt{n} = +\infty
Celles qui tendent vers 0 :
- \lim \dfrac{1}{n} = 0
- \lim \dfrac{1}{n^2} = 0
- \lim \dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0
Une suite, ce n'est pas une courbe : c'est une suite de points, un par valeur de n. Regarde-les arriver dans l'ordre, tu verras le comportement.
① Elle converge vers L
u_n = 3 + \dfrac{5}{n+1}
\lim u_n = 3 • convergente
② Elle part vers +\infty
u_n = \dfrac{n^2}{8}
\lim u_n = +\infty • divergente
③ Elle part vers -\infty
u_n = 2 - n
\lim u_n = -\infty • divergente
④ Elle n'a pas de limite
u_n = (-1)^n : un coup en haut, un coup en bas
Pas de limite • divergente
⚠️ Le piège du cas ④
Les termes de (-1)^n restent tous entre -1 et 1 : la suite est bornée. Et pourtant elle n'a aucune limite !
Bornée n'est donc pas synonyme de convergente. Pour converger, il faut que les termes s'entassent autour d'une seule valeur ; ici ils sautent sans fin de -1 à 1. Aucun intervalle assez petit autour de 1 ne peut contenir TOUS les termes à partir d'un rang, puisque un terme sur deux vaut -1.
Attention aussi : « divergente » ne veut pas dire « qui part à l'infini ». Ça veut dire « qui ne converge pas », ce qui recouvre les cas ②, ③ et ④.
👆 ▶ À toi : quelle est la limite de la suite définie par u_n = 4 + \tfrac{1}{n} ? Vérifie
On sépare les deux morceaux de u_n : la constante 4, qui ne bouge pas, et \tfrac{1}{n}, qui est une limite usuelle.
\begin{aligned}\lim u_n &= \lim \left(4 + \tfrac{1}{n}\right) \\ &= \lim 4 + \lim \tfrac{1}{n} && \quad \text{par somme de limites} \\ &= 4 + 0 && \quad \text{car } \tfrac{1}{n} \to 0 \\ &= \mathbf{4}\end{aligned}La suite converge vers 4.
🎮 Entraîne-toi : limites à vue
Quelle est la limite de la suite de terme général donné ?
II. Opérations et formes indéterminées
Les opérations qui marchent toutes seules
Somme, produit et quotient de limites se comportent naturellement (L + L' , +\infty + (+\infty) = +\infty, L \times (+\infty) = \pm\infty selon le signe de L ≠ 0, \tfrac{L}{\pm\infty} = 0…).
⚠️ Les 4 formes indéterminées (FI)
\infty - \infty ; 0 \times \infty ; \dfrac{\infty}{\infty} ; \dfrac{0}{0}.
Face à une FI, on transforme l'écriture : souvent en factorisant par le terme dominant. Exemple : {n^2 - 5n = n^2(1 - \tfrac{5}{n}) \to +\infty}.
Face à une FI, on transforme l'écriture : souvent en factorisant par le terme dominant. Exemple : {n^2 - 5n = n^2(1 - \tfrac{5}{n}) \to +\infty}.
👆 ▶ À toi : lim (3n² + n) est-elle une FI ? Et lim (n² − n³) ? Vérifie
3n^2 + n : +\infty + \infty = +\infty, pas de FI.
n^2 - n^3 : FI « ∞ − ∞ » ! On factorise : n^3(\tfrac{1}{n} - 1) \to -\infty.
n^2 - n^3 : FI « ∞ − ∞ » ! On factorise : n^3(\tfrac{1}{n} - 1) \to -\infty.
🎮 Entraîne-toi : FI ou pas ?
Cette situation de limite est-elle une forme indéterminée ?
III. Comparaison et gendarmes
Théorème de comparaison
Si à partir d'un certain rang u_n \leq v_n et \lim u_n = +\infty, alors {\lim v_n = +\infty} (la petite pousse la grande vers l'infini).
Version -\infty : si u_n \geq v_n et \lim u_n = -\infty, alors \lim v_n = -\infty.
Version -\infty : si u_n \geq v_n et \lim u_n = -\infty, alors \lim v_n = -\infty.
▶ 🎓 Démonstration au programme (exigible) : le théorème de comparaison
Soit un réel a quelconque.
Comme \lim u_n = +\infty, l'intervalle ]a\,;\,+\infty[ contient tous les u_n à partir d'un rang n_1.
Par hypothèse, u_n \leq v_n à partir d'un rang n_2.
Pour n \geq \max(n_1, n_2) : a < u_n \leq v_n : l'intervalle ]a\,;\,+\infty[ contient tous les v_n à partir de ce rang.
Ceci vaut pour TOUT réel a : {\lim v_n = +\infty}.
Comme \lim u_n = +\infty, l'intervalle ]a\,;\,+\infty[ contient tous les u_n à partir d'un rang n_1.
Par hypothèse, u_n \leq v_n à partir d'un rang n_2.
Pour n \geq \max(n_1, n_2) : a < u_n \leq v_n : l'intervalle ]a\,;\,+\infty[ contient tous les v_n à partir de ce rang.
Ceci vaut pour TOUT réel a : {\lim v_n = +\infty}.
Théorème des gendarmes (encadrement)
Si à partir d'un certain rang {u_n \leq v_n \leq w_n} et si \begin{aligned}\lim u_n &= \lim w_n \\ &= L\end{aligned} alors \lim v_n = L.
Réflexe : comparaison pour une limite INFINIE, gendarmes pour une limite FINIE. Les encadrements de \cos n et (-1)^n entre −1 et 1 sont leurs clients favoris.
Réflexe : comparaison pour une limite INFINIE, gendarmes pour une limite FINIE. Les encadrements de \cos n et (-1)^n entre −1 et 1 sont leurs clients favoris.
Exemple type
v_n = 5 + \dfrac{\cos n}{n} : comme {-\tfrac{1}{n} \leq \tfrac{\cos n}{n} \leq \tfrac{1}{n}} et que les deux gendarmes tendent vers 0, \tfrac{\cos n}{n} \to 0 et v_n \to 5.
IV. qn et convergence monotone
| Valeur de q | limite de qⁿ |
|---|---|
| q > 1 | +\infty (via Bernoulli) |
| q = 1 | 1 |
| -1 < q < 1 | 0 |
| q \leq -1 | pas de limite |
Majorée, minorée, bornée
Majorée : il existe M tel que u_n \leq M pour tout n. Minorée : il existe m tel que u_n \geq m. Bornée : les deux à la fois (comme \cos n, bornée par −1 et 1).
Théorème de convergence monotone (admis)
Une suite croissante et majorée converge. Une suite décroissante et minorée converge.
Le théorème garantit l'existence de la limite… sans donner sa valeur !
Le théorème garantit l'existence de la limite… sans donner sa valeur !
▶ 🎓 Démonstration au programme : une suite croissante de limite L est majorée par L (par l'absurde)
Supposons le contraire : il existe un rang p tel que u_p > L.
L'intervalle ouvert ]L - 1\,;\,u_p[ contient L, donc il contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang (définition de la limite) (1).
Mais la suite est croissante : pour n > p, u_n \geq u_p, donc u_n \notin\, ]L - 1\,;\,u_p[ (2).
(1) et (2) se contredisent : un tel p n'existe pas, la suite est majorée par L.
L'intervalle ouvert ]L - 1\,;\,u_p[ contient L, donc il contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang (définition de la limite) (1).
Mais la suite est croissante : pour n > p, u_n \geq u_p, donc u_n \notin\, ]L - 1\,;\,u_p[ (2).
(1) et (2) se contredisent : un tel p n'existe pas, la suite est majorée par L.
🎮 Entraîne-toi : la limite de qⁿ
Donne la limite de la suite géométrique de raison q.
🧮 Le seuil à la calculatrice : NumWorks, Casio et TI pas à pas
Pour trouver le premier rang n tel que u_n dépasse un seuil A, la table de la suite suffit. Exemple : u_0 = 1 et {u_{n+1} = 2u_n} (donc u_n = 2^n) ; premier rang tel que u_n > 1000 : tu dois trouver n = 10, car 2^{10} = 1024.La table DONNE le rang ; au bac, on le justifie par le calcul (ln pour les suites géométriques : voir la fiche logarithme).
NumWorks (l'appli Suites)
- touche 🏠, appli Suites, ajoute une suite en forme récurrente : u(n+1) = 2u(n) avec u(0) = 1 ;
- onglet Tableau : fais défiler la colonne des termes jusqu'à dépasser 1000 : c'est au rang 10.
Casio Graph 35+E II (même chemin sur Graph 90+E)
- MENU, ouvre Récurrence ; F3 TYPE pour choisir la forme an+1 =, puis saisis 2an (les touches de fonction insèrent n et an) ;
- F5 SET : Start 0, End 15 et a0 = 1, puis F6 TABLE et fais défiler jusqu'à dépasser 1000.
TI-83 Premium CE (la TI standard au lycée, commandes en français)
- mode : passe le type de tracé sur SUITE ;
- touche f(x) : nMin = 0, u(n) = 2 × u(n-1) (u s'obtient par 2nde 7) et u(nMin) = 1 ;
- 2nde graphe (table) : fais défiler jusqu'à dépasser 1000.
🎮 Entraîne-toi : l'algorithme de seuil
La suite double à chaque étape : u(n+1) = 2u(n), u(0) = 1 (donc u(n) = 2ⁿ). Trouve le rang.
V. Voir les quatre cas de qn sur un nuage de points
Une suite se représente par des POINTS
On place les points de coordonnées (n\,;\,u_n) : la représentation d'une suite est un nuage de points, jamais une courbe continue, car u_n n'existe qu'aux rangs entiers.
C'est exactement ce que dit la définition d'une limite : « tout intervalle contient tous les termes à partir d'un certain rang ». On regarde donc où vont les points, pas où va une courbe.
C'est exactement ce que dit la définition d'une limite : « tout intervalle contient tous les termes à partir d'un certain rang ». On regarde donc où vont les points, pas où va une courbe.
⚠️ Le cas q ≤ −1 : « pas de limite » n'est pas « limite infinie »
Pour q \leq -1, la suite (qⁿ) diverge sans limite : elle ne converge pas, mais elle ne tend pas non plus vers +\infty (ni vers -\infty), puisqu'elle repasse indéfiniment de l'autre côté de l'axe. Écrire « (-2)^n \to +\infty » est une faute : la bonne rédaction est « (-2)^n n'admet pas de limite ».
Bascule sur le dernier bouton de l'atelier : aucun intervalle, aussi grand soit-il, ne peut contenir tous les termes à partir d'un certain rang.
Bascule sur le dernier bouton de l'atelier : aucun intervalle, aussi grand soit-il, ne peut contenir tous les termes à partir d'un certain rang.