I. Le cercle trigonométrique (rappels de Première)
Cosinus et sinus sur le cercle
Sur le cercle de rayon 1, au réel x (une longueur d'arc, comptée dans le sens inverse des aiguilles d'une montre) on associe un point M :
\cos(x) est l'abscisse de M ;
\sin(x) est l'ordonnée de M.
Conséquences immédiates : {-1 \leq \cos x \leq 1}{-1 \leq \sin x \leq 1} et \cos^2 x + \sin^2 x = 1 (Pythagore sur le cercle).
🎡 Atelier : le cercle trigonométrique dans les mains
Attrape le point M et fais-le tourner. Le cosinus est la longueur lue en abscisse, le sinus celle lue en ordonnée : ce sont deux projections, rien d'autre. Le point s'aimante sur les valeurs remarquables, et la valeur exacte apparaît alors sous la figure.
x0
en degrés0°
cos(x)1,00
sin(x)0,00
👆 attrape le point M et fais-le tourner : il s'accroche aux angles remarquables (π/6, π/4, π/3, π/2…) et la valeur exacte s'affiche
Le rayon vaut 1 : c'est pour cela que le cosinus et le sinus ne sortent jamais de [-1\,;\,1]. Une projection ne peut pas être plus longue que le segment projeté.
Le cercle et les trois angles a connaitre
Sur le cercle, l’abscisse d’un point donne son cosinus et son ordonnée son sinus : les trois angles remarquables se lisent donc directement sur les axes.
Les trois valeurs sont toujours les mêmes, seule leur place change : plus l’angle grandit, plus le cosinus (horizontal) diminue et plus le sinus (vertical) augmente.
Le tableau des valeurs remarquables
Pour x = 0,\ \dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{\pi}{2} :
sinus : \dfrac{\sqrt{0}}{2},\ \dfrac{\sqrt{1}}{2},\ \dfrac{\sqrt{2}}{2},\ \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{\sqrt{4}}{2} (l'astuce des racines de 0 à 4 !) ;
cosinus : la même liste, lue à l'envers (1,\ \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{\sqrt{2}}{2},\ \dfrac{1}{2},\ 0).
Et \cos(\pi) = -1, \sin(\pi) = 0 (le point (−1 ; 0)).
Les valeurs remarquables
Dans l'ordre 0,\ \dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{\pi}{2},\ \pi :
sinus : 0,\ \dfrac{1}{2},\ \dfrac{\sqrt{2}}{2},\ \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ 1,\ 0 (il monte puis redescend).
Astuce mémoire : la suite \dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2} donne les sinus de 0, π/6, π/4, π/3, π/2.
🎮 Entraîne-toi : les valeurs remarquables
Visualise le point sur le cercle : abscisse pour cos, ordonnée pour sin.
II. Équations et inéquations trigonométriques
Méthode : résoudre cos(x) = k ou sin(x) = k
Si k < -1 ou k > 1 : aucune solution (le cercle a un rayon 1 !) ;
sinon, on repère sur le cercle les points d'abscisse k (pour cos) ou d'ordonnée k (pour sin) : en général deux familles de solutions, à 2π près ;
\begin{aligned}\cos x = \cos a &\iff x = a + 2k\pi \end{aligned} ou x = -a + 2k\pi ;
\begin{aligned}\sin x = \sin a &\iff x = a + 2k\pi \end{aligned} ou x = \pi - a + 2k\pi.
🎯 Atelier : la droite qui coupe le cercle
Résoudre \cos(x) = k, c'est chercher les points du cercle d'abscisse k : on trace la droite verticale d'équation x = k et on compte les intersections. Pour \sin(x) = k, c'est la droite horizontale d'ordonnée k. Déplace la droite, change de relation, et regarde ce qui reste du cercle.
👆 attrape la pastille dorée et fais glisser la droite, ou avance d'un cran avec ◀ ▶
Pousse la droite au-delà du cercle : quand k > 1 ou k < -1, elle ne touche plus rien. C'est exactement ce que dit {-1 \leq \cos(x) \leq 1}
Méthode rédigée : résoudre \cos(x) \leq \dfrac{1}{2} sur [-\pi\,;\,\pi]
On résout d'abord l'équation\cos(x) = \dfrac{1}{2} : sur [-\pi\,;\,\pi], les solutions sont x = \dfrac{\pi}{3} et x = -\dfrac{\pi}{3}.
Ces deux points découpent le cercle en deux arcs. On regarde de quel côté de la droite verticale se trouve chacun : à gauche, l'abscisse est plus petite que \dfrac{1}{2}.
L'arc de gauche correspond aux réels compris entre \dfrac{\pi}{3} et \pi, et entre -\pi et -\dfrac{\pi}{3}.
Conclusion : S = \left[-\pi\,;\,-\dfrac{\pi}{3}\right] \cup \left[\dfrac{\pi}{3}\,;\,\pi\right].
Deux intervalles, réunis par \cup : une inéquation trigonométrique donne très souvent une union, jamais un seul intervalle « entre les deux solutions » écrit au hasard. L'atelier ci-dessus le montre en couleur.
Exemple rédigé : sin(x) = 1/2 sur ]−π ; π]
Sur le cercle, l'ordonnée \dfrac{1}{2} est atteinte en \dfrac{\pi}{6} et en \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}. Solutions : S = \left\{\dfrac{\pi}{6}\,;\,\dfrac{5\pi}{6}\right\}. Pour une inéquation, on garde l'arc du cercle qui convient.
⚠️ Ne jamais oublier le + 2kπ dans ℝ
Si l'énoncé demande les solutions dans ℝ, chaque solution du cercle engendre une famille infinie x = a + 2k\pi,\ k \in \mathbb{Z} : le cercle se reparcourt à chaque tour.
🎮 Entraîne-toi : compter les solutions
Sur un tour complet [0 ; 2π[, combien de points du cercle conviennent ?
🎮 Entraîne-toi : donner les solutions, pas seulement leur nombre
Sur le cercle, deux points ont la même abscisse (symétrie / axe des abscisses) et deux points ont la même ordonnée (symétrie / axe des ordonnées).
🎮 Entraîne-toi : l'ensemble solution d'une inéquation
Repère d'abord les deux solutions de l'équation, puis demande-toi quel arc du cercle convient.
III. Les fonctions cos et sin : périodicité et parité
Du cercle à la courbe
La courbe n’est pas un objet nouveau : c’est le déroulé de ce que fait le point sur le cercle. Le point avance d’abord dans le sens direct (x > 0, vers la droite), puis repart de 0 dans le sens indirect (x < 0, vers la gauche).
sin(x)
l’ordonnée du point se reporte telle quelle en hauteur : le trait de liaison est horizontal.
x0
cos(x)1
sin(x)0
👆 attrape le point et fais-le glisser sur la courbe. Les angles remarquables (π/6, π/4, π/3, π/2…) sont aimantés : le point s’y accroche et grossit
cos(x)
le cosinus se lit en abscisse sur le cercle (trait vertical), puis se relève en hauteur sur la courbe.
x0
cos(x)1
sin(x)0
👆 attrape le point et fais-le glisser sur la courbe. Les angles remarquables (π/6, π/4, π/3, π/2…) sont aimantés : le point s’y accroche et grossit
Le point revient au même endroit du cercle après chaque tour : c’est exactement pour cela que la courbe se répète tous les 2\pi. On dit qu’elle est périodique de période 2\pi.
👁️ Ce que la courbe garde du cercle
Sur l'animation ci-dessus, deux faits se voient sans démonstration :
le point revient au même endroit du cercle après un tour, donc la courbe se répète tous les 2\pi : c'est la périodicité ;
partir dans le sens direct ou dans le sens indirect donne la même hauteur pour cos (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, fonction paire) et des hauteurs opposées pour sin (symétrie par rapport à l'origine, fonction impaire).
Retenir la conséquence pratique : on étudie sur [0\,;\,\pi], puis la parité donne [-\pi\,;\,0], puis la périodicité donne tout \mathbb{R}. On ne trace jamais deux fois la même chose.
La parité se lit sur le cercle : x et −x sont symétriques
Les deux points associés à x et à −x se déduisent l'un de l'autre par la symétrie par rapport à l'axe des abscisses. L'abscisse (le cosinus) ne bouge pas, l'ordonnée (le sinus) change de signe : toute la parité des deux fonctions tient dans cette seule figure.
L’abscisse est inchangée, l’ordonnée est opposée.
\cos(-x) = \cos x \sin(-x) = -\sin x
Périodicité
Pour tout réel x et tout entier k : \cos(x + 2k\pi) = \cos x et {\sin(x + 2k\pi) = \sin x}. Les fonctions cos et sin sont périodiques de période 2π : leur courbe se répète sur chaque intervalle de longueur 2π (un tour de cercle complet). Généralisation utile : x \mapsto \cos(ax + b) est périodique de période \dfrac{2\pi}{a} (pour a > 0).
Parité
cos est paire : \cos(-x) = \cos x (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) ;
sin est impaire : \sin(-x) = -\sin x (courbe symétrique par rapport à l'origine).
Preuve sur le cercle : les points associés à x et −x sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses : même abscisse (cos), ordonnées opposées (sin).
Méthode : parité et période pour tracer moins
Pour représenter une fonction trigonométrique, on l'étudie sur un intervalle réduit (souvent \left[0\,;\,\dfrac{T}{2}\right]), puis on complète par symétrie (parité) et on translate (périodicité). Deux questions classiques du bac : montrer que f est paire/impaire (calculer f(−x)), montrer que f est périodique de période T (calculer f(x + T)).
👆▶ À toi : f(x) = cos(2x) − 1/2. Montre que f est paire et périodique de période π. Vérifie
Parité : \begin{aligned}f(-x) &= \cos(-2x) - \dfrac{1}{2} \\ &= \cos(2x) - \dfrac{1}{2} \\ &= f(x)\end{aligned} (cos est paire) : f est paire. Période : \begin{aligned}f(x + \pi) &= \cos(2x + 2\pi) - \dfrac{1}{2} \\ &= \cos(2x) - \dfrac{1}{2} \\ &= f(x)\end{aligned} Donc f est périodique de période π.
🎮 Entraîne-toi : périodicité et parité
Applique cos(−x) = cos(x), sin(−x) = −sin(x) et le retour au bout d'un tour.
IV. Dérivées et variations
Les dérivées à connaître
(\cos x)' = -\sin x et (\sin x)' = \cos x ;
composées : \big(\cos(ax + b)\big)' = -a\sin(ax + b) et {\big(\sin(ax + b)\big)' = a\cos(ax + b)}.
Moyen mnémotechnique : en dérivant, sin → cos sans signe, cos → sin avec un signe −. Le signe apparaît quand on « quitte » le cosinus.
Variations sur [0 ; π] et [0 ; π/2]
Sur [0\,;\,\pi] : \begin{aligned}(\cos x)' &= -\sin x \\ &\leq 0\end{aligned} donc cos décroît de 1 à −1. Sur \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right] : \begin{aligned}(\sin x)' &= \cos x \\ &\geq 0\end{aligned} donc sin croît de 0 à 1 (puis redescend vers 0 sur \left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]). Le reste des courbes s'obtient par parité et périodicité : les fameuses sinusoïdes qui ondulent entre −1 et 1.
⚠️ Le signe de la dérivée d'une composée
Pour f(x) = \cos(2x) : f'(x) = -2\sin(2x). Pour étudier son signe sur \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right], on regarde où vit 2x (ici [0\,;\,\pi], où sin ≥ 0) : f′ ≤ 0, f décroît. Toujours raisonner sur l'intervalle de u = ax + b, pas celui de x.
📈 Voir que (\sin)' = \cos sur les deux courbes
Les deux courbes sont tracées dans le même repère. Là où la courbe de sin a une tangente horizontale (ses sommets et ses creux), la courbe de costraverse l'axe : la dérivée s'annule exactement aux extremums. Et là où sin monte le plus vite (en 0), cos est au plus haut.
Les traits pointillés relient un sommet de sin à un zéro de cos : c'est la lecture graphique de (\sin x)' = \cos x.
Le signe de f' commande le sens de variation : les deux tableaux enchaînés
Pour f(x) = \cos(x) sur [0\,;\,2\pi], on a f'(x) = -\sin(x). On lit d'abord le signe de \sin, on le retourne pour obtenir celui de f', et le tableau du dessous s'en déduit ligne à ligne.
x
0
\pi
2\pi
signe de \sin(x)
0
+
0
−
0
signe de f'(x) = -\sin(x)
0
−
0
+
0
variations de f(x) = \cos(x)
1
↘
−1
↗
1
Colonne par colonne : quand la ligne du milieu porte un +, la flèche du dessous monte ; quand elle porte un −, la flèche descend. Les 0 de f' tombent exactement sous les extremums de f.
👆▶ À toi : construis le même double tableau pour g(x) = \sin(x) sur \left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{3\pi}{2}\right]. Vérifie
1. La dérivéeg'(x) = \cos(x).
2. Le signe de la dérivée\cos(x) > 0 sur \left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[ (moitié droite du cercle), puis \cos(x) < 0 sur \left]\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{3\pi}{2}\right[.
3. Les variationsg croît de -1 à 1 sur \left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right], puis décroît de 1 à -1. Le maximum 1 est atteint en \dfrac{\pi}{2}, là où \cos s'annule en changeant de signe.
🎮 Entraîne-toi : dériver cos et sin
sin → cos sans signe, cos → −sin, et le coefficient de x sort en facteur.
