Fiche de cours Logimaths

Variables aléatoires : le cours expliqué pas à pas

Loi, espérance, variance

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💡 Avant de commencer Version expliquée pas à pas. L'idée clé : une variable aléatoire attache un nombre au hasard, et l'espérance dit ce qu'on gagne « en moyenne ».

Étape 1 : Un nombre attaché au hasard

Une variable aléatoire X associe un nombre à chaque résultat d'une expérience. Ex. à un jeu, X = le gain.

Étape 2 : Sa loi

Définition La loi donne la probabilité de chaque valeur ; leur somme vaut 1.

Représentation en bâtons de la loi de probabilité de X (exemple du contrôle qualité) : la hauteur de chaque bâton donne P(X=x_i).

Étape 3 : L'espérance : gain moyen

Définition E(X) = Σ (valeur × probabilité). Un jeu est équitable si E(gain) = 0 ; perdant si E < 0.

Étape 4 : Dispersion

Variance et écart-type V(X) = E(X²) − E(X)², σ = √V(X) : mesurent l'étalement des gains possibles autour de la moyenne.

👆 À toi de jouer À un jeu, on gagne 2 € (proba 0,5) ou on perd 1 € (proba 0,5). Le jeu est-il équitable ?

Voir la réponse

E = 2×0,5 + (−1)×0,5 = 0,5 > 0 : le jeu est favorable au joueur (pas équitable).

🎯 Mémo

L'essentiel Variable aléatoire = nombre attaché au hasard. Loi : somme des probas = 1. Espérance = gain moyen (équitable si E=0). Variance/écart-type = dispersion.