Fiche de cours Logimaths

Vecteurs dans l'espace : le cours expliqué pas à pas

Coordonnées 3D, produit scalaire

💡 Avant de commencer Version expliquée pas à pas. L'idée clé : dans l'espace, tout marche comme dans le plan, avec une coordonnée en plus.

Étape 1 : Trois coordonnées au lieu de deux

Dans l'espace muni d'un repère, un point et un vecteur ont trois coordonnées (x ; y ; z). Les opérations se font coordonnée par coordonnée, comme dans le plan.

Étape 2 : Colinéarité et coplanarité

Définitions Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre (même direction). Trois vecteurs sont coplanaires s'ils tiennent dans un même plan (l'un est combinaison des deux autres).

Étape 3 : Le produit scalaire dans l'espace

Formule u(x ; y ; z) · v(x' ; y' ; z') = xx' + yy' + zz'. Nul ⟺ vecteurs orthogonaux.

Étape 4 : Représenter droites et plans

💡 Un point + une direction Une droite est décrite par un point et un vecteur directeur ; un plan par un point et deux vecteurs (ou un vecteur normal qui lui est perpendiculaire).

n est orthogonal à tout vecteur du plan, en particulier à ses deux vecteurs directeurs u et v issus de A.

👆 À toi de jouer Calcule (1 ; 2 ; 3) · (2 ; 0 ; −1).

Voir la réponse

1×2 + 2×0 + 3×(−1) = 2 + 0 − 3 = −1.

🎯 Mémo

L'essentiel Espace = plan + une coordonnée. Colinéaires (droite) / coplanaires (plan). Produit scalaire xx'+yy'+zz', nul ⟺ orthogonaux. Droite = point + direction ; plan = point + vecteur normal.