Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
L'espace est muni d'un repère orthonormé \left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right).
On considère :
la droite (d) dont une représentation paramétrique est :
\begin{cases}
x=t \\
y=-1,5-t \\
z=2-2 t
\end{cases}\text { où } t \in \R;
les points A(3 ; 0 ; 2) et B(2 ; 1 ;-3);
le plan (\mathcal{P}) d'équation : {-x+y-5 z-0,5=0}.
Affirmation 1 :
Le plan (\mathcal{P}) est orthogonal à la droite (AB), et passe par le milieu du segment [AB].
Affirmation 2 :
Les droites (d) et (AB) sont sécantes.
On considère le point C de coordonnées (1,5 ; -3 ; -1).
Affirmation 3 :
La mesure de l'angle \widehat{\mathrm{ACB}}, arrondie à 10^{-1}, est égale à 70,5 °.
Titouan et Clotilde participent à un escape game. Ils se retrouvent dans une salle possédant deux portes de sortie, A et B, chacune protégée par un digicode équipé de 8 touches portant des symboles différents :
le digicode de la porte A utilise un code de 3 symboles différents devant être saisis dans l'ordre;
celui de la porte B utilise un code de 4 symboles différents qui peuvent être saisis dans n'importe quel ordre.
N'étant pas parvenus à obtenir d'indices, ils décident de procéder au hasard à la saisie des codes.
Clotilde choisit un code pour la porte A, et Titouan choisit un code pour la porte B.
On considère que les choix des codes sont équiprobables.
Affirmation 4 :
Titouan a plus de chances d'ouvrir sa porte que Clotilde.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Justifier chaque réponse.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
On désigne par « musiciens professionnels » l'ensemble des femmes et hommes pratiquant un instrument de manière professionnelle.
Une étude a été réalisée auprès des musiciens professionnels pratiquant différents genres musicaux (Pop, Rap, Rock, Classique, etc.).
52 §PERCENT§ des musiciens professionnels jouent de la Pop ;
parmi les musiciens professionnels jouant de la Pop, 32 §PERCENT§ sont des femmes ;
20 §PERCENT§ des musiciens professionnels sont des femmes.
\end{list}
On choisit au hasard une personne dans l'ensemble des musiciens professionnels.
\begin{list}{\textbullet}{On note:}
O l'évènement : « la personne joue de la Pop » ;
F l'évènement : « la personne est une femme ».
\end{list}
Affirmation 1 : Si la personne choisie est une femme, alors la probabilité qu'elle joue de la Pop est de 0,832.
La proportion de musiciens professionnels au sein de la population active dans le secteur de la culture est estimée à 6,2 §PERCENT§.
On prélève au hasard et de manière indépendante un échantillon de 5000 personnes au sein de cette population.
La population considérée est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout échantillon ainsi défini, associe le nombre de musiciens professionnels dans l'échantillon.
Affirmation 2 : En arrondissant le résultat au dixième, on a P(X \leqslant\quad 340) \approx 0,4.
Affirmation 3 : En appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on peut affirmer qu'il y a plus de 95 §PERCENT§ de chance que, sur cet échantillon de 5000 actifs dans le secteur de la culture, le nombre de musiciens professionnels soit strictement compris entre 230 et 390.
Un jeu sur le thème de la culture de la Pop est proposé à 10 personnes dont 4 sont des musiciens professionnels.
Deux équipes de 5 joueurs s'affrontent.
Elles sont chacune constituées de 2 musiciens professionnels et de 3 personnes qui ne le sont pas.
Affirmation 4 : On peut former ainsi 120 équipes différentes.
Le codage « base64 », utilisé en informatique, permet de représenter et de transmettre des messages et d'autres données telles que des images, en utilisant 64 caractères: les 26 lettres majuscules, les 26 lettres minuscules, les chiffres de 0 à 9 et deux autres caractères spéciaux.
\emph{Les parties {\rm A, B} et {\rm C} sont indépendantes.}
Partie A
Dans cette partie, on s'intéresse aux séquences de 4 caractères en base64.
Par exemple, « gP3g » est une telle séquence.
Dans une séquence, l'ordre est à prendre en compte: les séquences « m5C2 » et « 5C2m » ne sont pas identiques.
Déterminer le nombre de séquences possibles.
Déterminer le nombre de séquences si l'on impose que les 4 caractères sont
différents deux à deux.
Déterminer le nombre de séquences ne comportant pas de lettre A majuscule
En déduire le nombre de séquences comportant au moins une lettre A majuscule.
Déterminer le nombre de séquences comportant exactement une fois la lettre A majuscule.
Déterminer le nombre de séquences comportant exactement deux fois la lettre A majuscule.
Partie B
On s'intéresse à la transmission d'une séquence de 250 caractères d'un ordinateur à un autre. On suppose que la probabilité qu'un caractère soit mal transmis est égale à 0,01 et que les transmissions des différents caractères sont indépendantes entre elles.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de caractères mal transmis.
On admet que la variable aléatoire X suit la loi binomiale. Donner ses paramètres.
Déterminer la probabilité que tous les caractères soient bien transmis. On donnera
l'expression exacte, puis une valeur approchée à 10^{-3} près.
Que pensez-vous de l'affirmation suivante: « La probabilité que plus de 16
caractères soient mal transmis est négligeable » ?
Partie C
On s'intéresse maintenant à la transmission de 4 séquences de 250 caractères.
On note X_1,\: X_2,\: X_3 et X_4 les variables aléatoires correspondant aux nombres de caractères mal transmis lors de la transmission de chacune des 4 séquences.
On admet que les variables aléatoires X_1,\: X_2,\: X_3 et X_4 sont indépendantes entre elles et suivent la même loi que la variable aléatoire X définie en partie B.
On note S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4.
Déterminer, en justifiant, l'espérance et la variance de la variable aléatoire S.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Soient E et F les ensembles E = \{1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6~;~7\} et
F = \{0~;~1~;~2~;~3~;~ 4~;~5~;~6~;~7~;~8~;~9\}.
Affirmation n°1 : Il y a davantage de 3-uplets d'éléments distincts de E que de combinaisons à 4 éléments de F.
Dans le repère orthonormé ci-contre, on a représenté la fonction carré, notée f, ainsi que le carré ABCD de côté 3.
Affirmation n°2 : La zone hachurée et le carré ABCD ont la même aire.
On considère l'intégrale J ci-dessous :
J = \displaystyle\int_1^2 x \ln (x) \text{d}x.
Affirmation n°3 : Une intégration par parties permet d'obtenir: J = \dfrac{7}{11}.
Sur \R, on considère l'équation différentielle
(E) :\quad y' = 2y - \e^x.
Affirmation n°4 : La fonction f définie sur \R par f(x) = \e^x + \e^{2x} est solution de l'équation différentielle (E).
Soit x donné dans [0 ; 1[. On considère la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par:
u_n = (x - 1)\e^n + \cos (n).
Affirmation n°5 : La suite (u_n) diverge vers -\infty.
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right) d'unité 1 cm, on considère les points : A(3~;~-1~;~1) ; B(4~;~-1~;~0) ;
C(0 ~;~3~;~2) ; D(4~;~3~;~-2) et S(2~;~1~;~4).
Dans cet exercice on souhaite montrer que SABDC est une pyramide à base ABDC trapézoïdale de sommet S, afin de calculer son volume.
Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
Montrer que les points A, B, C et D sont coplanaires.
Montrer que le quadrilatère ABDC est un trapèze de bases [AB] et [CD].
On rappelle qu'un trapèze est un quadrilatère ayant deux côtés opposés parallèles appelés bases.
Démontrer que le vecteur \vect{n}(2~;~1~;~2) est un vecteur normal au plan (ABC).
En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
Déterminer une représentation paramétrique de la droite \Delta passant par le point S et orthogonale au plan (ABC).
On note I le point d'intersection de la droite \Delta et du plan (ABC).
Montrer que le point I a pour coordonnées \left(\dfrac23~;~\dfrac13~;~\dfrac83~\right), puis montrer que \mathrm{SI} = 2 \text{cm}.
Vérifier que le projeté orthogonal H du point B sur la droite (CD) a pour coordonnées H(3~;~3~;~-1) et montrer que HB = 3\sqrt 2 cm.
Calculer la valeur exacte de l'aire du trapèze ABDC.
On rappelle que l'aire d'un trapèze est donnée par la formule
\mathcal{A} = \dfrac{b + B}{2} \times h
où b et B sont les longueurs des bases du trapèze et h sa hauteur.
Déterminer le volume de la pyramide SABDC.
On rappelle que le volume V d'une pyramide est donné par la formule
V = \dfrac13 \times aire de la base \times hauteur
Un sac opaque contient huit jetons numérotés de 1 à 8, indiscernables au toucher.
À trois reprises, un joueur pioche un jeton dans ce sac, note son numéro, puis le remet dans le sac.
Dans ce contexte, on appelle « tirage » la liste ordonnée des trois numéros obtenus.
Par exemple, si le joueur pioche le jeton numéro 4, puis le jeton numéro 5, puis le jeton numéro 1, alors le tirage correspondant est (4 ; 5 ; 1).
Déterminer le nombre de tirages possibles.
Déterminer le nombre de tirages sans répétition de numéro.
En déduire le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro.
On note X_1 la variable aléatoire égale au numéro du premier jeton pioché, X_2 celle égale au numéro du deuxième jeton pioché et X_3 celle égale au numéro du troisième jeton pioché.
Puisqu'il s'agit d'un tirage avec remise, les variables aléatoires X_1, X_2, et X_3 sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité.
Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire X_1
Déterminer l'espérance de la variable aléatoire X_1
On note S = X_1 + X_2 + X_3 la variable aléatoire égale à la somme des numéros des trois jetons piochés.
Déterminer l'espérance de la variable aléatoire S.
Déterminer P(S = 24).
Si un joueur obtient une somme supérieure ou égale à 22, alors il gagne un lot.
Justifier qu'il existe exactement 10 tirages permettant de gagner un lot.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) qui comprend cinq questions. Les cinq questions sont indépendantes.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse exacte.
Aucune justification n'est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de réponse ne rapporte, ni n'enlève aucun point.
La solution f de l'équation différentielle y'=-3y+7 telle que f(0)=1 est la fonction définie sur \R par :
La courbe d'une fonction f définie sur [0~;~+\infty[ est donnée ci-dessous.
Un encadrement de l'intégrale I = \displaystyle\int_1^5 f(x) \:\text{d}x est :
On considère la fonction g définie sur \R par g(x) = x^2 \ln \left(x^2 + 4\right) .
Alors \displaystyle\int_0^2 g'(x)\:\text{d}x vaut, à 10^{-1} près :
Une professeure enseigne la spécialité mathématiques dans une classe de 31 élèves de terminale.
Elle veut former un groupe de 5 élèves. De combien de façons différentes peut-elle former
un tel groupe de 5 élèves ?
La professeure s'intéresse maintenant à l'autre spécialité des 31 élèves de son groupe :
10 élèves ont choisi la spécialité physique-chimie ;
20 élèves ont choisi la spécialité SES ;
1 élève a choisi la spécialité LLCE espagnol.
Elle veut former un groupe de 5 élèves comportant exactement 3 élèves ayant choisi la
spécialité SES. De combien de façons différentes peut-elle former un tel groupe ?
On admet que les fonctions f et g sont dérivables et on note f' et g' leurs fonctions dérivées respectives.
On donne le tableau de variations complet de la fonction f sur l'intervalle [0~;~+\infty[.
Justifier la limite de f en +\infty.
Justifier les variations de la fonction f.
Résoudre l'équation f(x) = 0.
Déterminer la limite de g en +\infty.
Démontrer que, pour tout réel x appartenant à [0~;~+\infty[ on a : g'(x) = (- 0,03x + 0,29)\text{e}^{0,2x}.
Étudier les variations de la fonction g et dresser son tableau de variations sur [0~;~+\infty[.
Préciser une valeur approchée à 10^{-2} près du maximum de g.
Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution non nulle et déterminer, à 10^{-2} près, une valeur approchée de cette solution.
Partie B : trajectoires d'une balle de golf
Pour frapper la balle, un joueur de golf utilise un instrument appelé « club » de golf.
On souhaite exploiter les fonctions f et g étudiées en Partie A pour modéliser de deux façons différentes la trajectoire d'une balle de golf. On suppose que le terrain est parfaitement plat.
On admettra ici que 13,7 est la valeur qui annule la fonction f et une approximation de la valeur qui annule la fonction g.
On donne ci-dessous les représentations graphiques de f et g sur l'intervalle [0 ; 13,7].
Pour x représentant la distance horizontale parcourue par la balle en dizaine de yards après la frappe, (avec 0 < x < 13,7), f(x) (ou g(x) selon le modèle) représente la hauteur correspondante de la balle par rapport au sol, en dizaine de yards (1 yard correspond à environ 0,914 mètre).
On appelle « angle de décollage » de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe (\mathcal{C}_f ou \mathcal{C}_g selon le modèle) en son point d'abscisse 0. Une mesure de l'angle de décollage de la balle est
un nombre réel d tel que \tan (d) est égal au coefficient directeur de cette tangente.
De même, on appelle « angle d'atterrissage » de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente
à la courbe (\mathcal{C}_f ou \mathcal{C}_g selon le modèle) en son point d'abscisse 13,7. Une mesure de l'angle d'atterrissage de la balle est un nombre réel a tel que \tan (a) est égal à l'opposé du coefficient directeur de cette tangente.
Tous les angles sont mesurés en degré.
Première modélisation : on rappelle qu'ici, l'unité étant la dizaine de yards, x représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et f(x) la hauteur correspondante de la balle.
Selon ce modèle :
Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
Vérifier que f'(0) = 0,822.
Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).
Quelle propriété graphique de la courbe \mathcal{C}_f permet de justifier que les angles de décollage et d'atterrissage de la balle sont égaux ?
Seconde modélisation : on rappelle qu'ici, l'unité étant la dizaine de yards, x représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et g(x) la hauteur correspondante de la balle.
Selon ce modèle :
Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
On précise que g'(0) = 0,29 et g'(13,7) \approx -1,87.
Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).
Justifier que 62 est une valeur approchée, arrondie à l'unité près, d'une mesure en degré de l'angle d'atterrissage de la balle.
Tableau : extrait d'une feuille de calcul donnant une mesure en degré d'un angle quand on connait sa tangente :
Partie C : interrogation des modèles
À partir d'un grand nombre d'observations des performances de joueurs professionnels, on a obtenu les résultats moyens suivants:
Quel modèle, parmi les deux étudiés précédemment, semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel ? La réponse sera justifiée.
Les questions 1. à 5. de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante
On considère un cube ABCDEFGH. Le point I est le milieu du segment [EF], le point J est le milieu du segment [BC] et le point K est le milieu du segment [AE].
Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé \left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}},~ \vect{\text{AE}}\right).
Donner les coordonnées des points I et J.
Montrer que les vecteurs \vect{\text{IJ}},~\vect{\text{AE}} et \vect{\text{AC}} sont coplanaires.
On considère le plan \mathcal P d'équation x + 3y - 2z + 2 = 0 ainsi que les droites d_1 et d_2 définies par les représentations paramétriques ci-dessous:
d_1\quad : \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&3 + t\\
y &=& 8 - 2t\\
z &=& - 2 + 3t\\
\end{array}\right. , t \in \R\quad \text{et}\quad
d_2\quad : \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&4 + t\\
y &=&1 + t\\
z &=&8 + 2t\\
\end{array}\right. , t \in \R.
Les droites d_1 et d_2 sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
Montrer que la droite d_2 est parallèle au plan \mathcal P.
Montrer que le point L(4 ; 0 ; 3) est le projeté orthogonal du point M(5 ; 3 ; 1) sur le plan \mathcal P.
Exercice A
Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l'exercice choisi: exercice A ou exercice B.
Exercice A
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
On justifiera chaque réponse.
Affirmation 1 : Pour tous réels a et b, \left(\text{e}^{a+b}\right)^2 = \text{e}^{2a} + \text{e}^{2b}.
Affirmation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f définie sur \R par f(x) = - 2 + (3 - x)\text{e}^x admet pour équation réduite y = 2x + 1.
Affirmation 4 : L'équation 1 - x + \text{e}^{-x} = 0 admet une seule solution appartenant à l'intervalle [0 ; 2].
Affirmation 5 : La fonction g définie sur \R par g(x) = x^2 - 5x + \text{e}^x est convexe.
Exercice B 5 points}
Dans le plan muni d'un repère, on considère ci-dessous la courbe \mathcal{C}_f représentative d'une fonction f, deux fois dérivable sur l'intervalle ]0~;~ +\infty[.
La courbe \mathcal{C}_f admet une tangente horizontale T au point A(1 ; 4).
Préciser les valeurs f(1) et f'(1).
On admet que la fonction f est définie pour tout réel x de l'intervalle ]0~;~ +\infty[ par:
f(x) = \dfrac{a + b \ln x}{x}\quad
\text{où }\quad a \text{ et}\quad b \text{ sont deux nombres réels}.
Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, on a :
f'(x) = \dfrac{b - a - b\quad \ln x}{x^2}.
En déduire les valeurs des réels a et b.
Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction f est définie pour tout réel x de l'intervalle ]0~;~ +\infty[ par:
f(x) = \dfrac{4 + 4\ln x}{x}.
Déterminer les limites de f en 0 et en +\infty.
Déterminer le tableau de variations de f sur l'intervalle ]0~;~ +\infty[.
Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, on a :
f''(x) = \dfrac{- 4 + 8\ln x}{x^3}.
Montrer que la courbe \mathcal{C}_f possède un unique point d'inflexion B dont on précisera les coordonnées.
Une société de jeu en ligne propose une nouvelle application pour smartphone nommée « Tickets coeurs! ».
Chaque participant génère sur son smartphone un ticket comportant une grille de taille 3 \times 3 sur laquelle sont placés trois cœurs répartis au hasard, comme par exemple ci-dessous.
Le ticket est gagnant si les trois cœurs sont positionnés côte à côte sur une même ligne, sur une
même colonne ou sur une même diagonale.
Justifier qu'il y a exactement 84 façons différentes de positionner les trois cœurs sur une grille.
Montrer que la probabilité qu'un ticket soit gagnant est égale à \dfrac{2}{21}.
Lorsqu'un joueur génère un ticket, la société prélève 1 € sur son compte en banque. Si le ticket est gagnant, la société verse alors au joueur 5 €. Le jeu est-il favorable au joueur?
Un joueur décide de générer 20 tickets sur cette application. On suppose que les générations des tickets sont indépendantes entre elles.
Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui compte le nombre de tickets gagnants parmi les 20 tickets générés.
Calculer la probabilité, arrondie à 10^{-3}, de l'évènement (X\quad =\quad 5).
Calculer la probabilité, arrondie à 10^{-3}, de l'évènement (X \geqslant 1) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
EXERCICE au choix du candidat 5 points
Le candidat doit traiter UN SEUL des deux exercices A ou B
Il indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B
EXERCICE -- A
Dans cet exercice, on s'intéresse à la croissance du bambou Moso de taille maximale 20 mètres.
Le modèle de croissance de Ludwig von Bertalanffy suppose que la vitesse de croissance pour un tel bambou est proportionnelle à l'écart entre sa taille et la taille maximale.
Partie I : modèle discret
Dans cette partie, on observe un bambou de taille initiale 1 mètre.
Pour tout entier naturel n, on note u_n la taille, en mètre, du bambou n jours après le début de l'observation. On a ainsi u_0 = 1.
Le modèle de von Bertalanffy pour la croissance du bambou entre deux jours consécutifs se traduit par l'égalité :
u_{n+1} = u_n + 0,05\left(20 - u_n\right)\quad \text{pour tout entier naturel}\quad n.
Vérifier que u_1 = 1,95.
Montrer que pour tout entier naturel n, u_{n+1} = 0,95u_n + 1.
On pose pour tout entier naturel n, v_n = 20 - u_n.
Démontrer que la suite \left(v_n\right) est une suite géométrique dont on précisera le terme initial v_0 et la raison.
En déduire que, pour tout entier naturel n, u_n = 20 - 19 \times 0,95^n.
Déterminer la limite de la suite \left(u_n\right).
Partie II : modèle continu
Dans cette partie, on souhaite modéliser la taille du même bambou Moso par une fonction donnant sa taille, en mètre, en fonction du temps t exprimé en jour.
D'après le modèle de von Bertalanffy, cette fonction est solution de l'équation différentielle
(E)\quad y' = 0,05(20 - y)
où y désigne une fonction de la variable t, définie et dérivable sur [0~;~+\infty[ et y' désigne sa fonction dérivée.
Soit la fonction L définie sur l'intervalle [0~;~+\infty[ par
L(t) = 20 - 19\e^{-0,05t}.
Vérifier que la fonction L est une solution de (E) et qu'on a également L(0) = 1.
On prend cette fonction L comme modèle et on admet que, si on note L' sa fonction dérivée,
L'(t) représente la vitesse de croissance du bambou à l'instant t.
Comparer L'(0) et L'(5).
Calculer la limite de la fonction dérivée L' en +\infty.
Ce résultat est-il en cohérence avec la description du modèle de croissance exposé au début de l'exercice ?
EXERCICE -- B
Soit la fonction f définie sur l'intervalle ]1~;~ +\infty[ par
f(x) = x - \ln (x - 1).
On considère la suite \left(u_n\right) de terme initial u_0 = 10 et telle que u_{n+1} = f\left(u_n\right) pour tout entier naturel n.
Partie I :
La feuille de calcul ci-dessous a permis d'obtenir des valeurs approchées des premiers termes de la suite \left(u_n\right).
Quelle formule a été saisie dans la cellule B3 pour permettre le calcul des valeurs approchées de \left(u_n\right) par recopie vers le bas ?
À l'aide de ces valeurs, conjecturer le sens de variation et la limite de la suite \left(u_n\right).
Partie II :
On rappelle que la fonction f est définie sur l'intervalle ]1~;~ +\infty[ par
f(x) = x - \ln (x - 1).
Calculer \displaystyle\lim_{x \to 1} f(x). On admettra que \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty.
Soit f' la fonction dérivée de f. Montrer que pour tout x \in ]1~;~ +\infty[, f'(x) = \dfrac{x - 2}{x - 1}.
En déduire le tableau des variations de f sur l'intervalle ]1~;~ +\infty[, complété par les limites.
Justifier que pour tout x
\geqslant\quad 2, f(x) \geqslant\quad 2.
Partie III :
En utilisant les résultats de la partie II, démontrer par récurrence que u_n \geqslant\quad 2 pour tout entier naturel n.
Montrer que la suite \left(u_n\right) est décroissante.
En déduire que la suite \left(u_n\right) est convergente. On note \ell sa limite.
On admet que \ell vérifie f(\ell) = \ell. Donner la valeur de \ell.
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