On considère une fonction f définie sur l'intervalle ]0~;~ +\infty[. On admet qu'elle est deux fois dérivable sur l'intervalle ]0~;~ +\infty[. On note f' sa fonction dérivée et f'' sa fonction dérivée seconde.
Dans un repère orthogonal, on a tracé ci-dessous:
- la courbe représentative de f, notée \mathcal{C}_f sur l'intervalle ]0 ; 3] ;
- la droite T_{\text{A}},tangente à \mathcal{C}_f au point A(1 ; 2) ;
- la droite T_{\text{B}} tangente à \mathcal{C}_f au point B(e ; e).
On précise par ailleurs que la tangente T_{\text{A}} passe par le point C(3 ; 0).
On répondra aux questions suivantes en les justifiant à l'aide du graphique.
- Déterminer le nombre dérivé f'(1).
- Combien de solutions l'équation f'(x) = 0 admet-elle dans l'intervalle ]0 ; 3] ?
- Quel est le signe de f''(0,2) ?
On admet dans cette partie que la fonction f est définie sur l'intervalle ]0~;~ +\infty[ par
f(x) = x[2(\ln x)^2 - 3\ln x + 2 ]
où \ln désigne la fonction logarithme népérien.
- Résoudre dans \R l'équation 2X^2- 3X + 2 = 0.
En déduire que \mathcal{C}_f ne coupe pas l'axe des abscisses. - Déterminer, en justifiant, la limite de f en +\infty.
On admettra que la limite de f en 0 est égale à 0. - On admet que pour tout x appartenant à ]0~;~ +\infty[, f'(x) = 2(\ln x)^2 + \ln x - 1.
- Montrer que pour tout x appartenant à ]0~;~ +\infty[, f''(x)= \dfrac 1x(4\ln x + 1).
- Étudier la convexité de la fonction f sur l'intervalle ]0~;~ +\infty[ et préciser la valeur exacte de l'abscisse du point d'inflexion.
- Montrer que la courbe \mathcal{C}_f est au-dessus de la tangente T_{\text{B}} sur l'intervalle ]1~;~ +\infty[.
- Justifier que la tangente T_{\text{B}} a pour équation réduite y = 2x - \e.
- À l'aide d'une intégration par parties, montrer que
\displaystyle\int_1^{\e} x\ln x\quad \text{d}x = \dfrac{\e^2 + 1}{4}. - On note \mathcal{A} l'aire du domaine hachuré sur la figure, délimité par la courbe \mathcal{C}_f, la tangente T_{\text{B}}, et les droites d'équation x = 1 et x = \e.
On admet que \displaystyle\int_1^{\e} x(\ln x)^2 \text{d}x = \dfrac{\e^2 - 1}{4}.
En déduire la valeur exacte de \mathcal{A} en unité d'aire.
Voir la correction
PartieA ; 1. On donne la courbe de f, avec la tangente T_A en A(1 ; 2) passant par C(3 ; 0). Déterminer f'(1).
f'(1) est le coefficient directeur de T_A : \dfrac{0-2}{3-1} = -1.
PartieA ; 2. Combien de solutions l'équation f'(x) = 0 admet-elle sur ]0 ; 3] ?
f'(x)=0 correspond aux points où la tangente est horizontale : d'après le graphique, cela se produit 2 fois sur ]0~;~3].
PartieA ; 3. Quel est le signe de f''(0,2) ?
Sur [0~;~0{,}5], la courbe semble concave d'après le graphique, donc f''(0{,}2)<0.
PartieB ; 1. On admet que f(x) = x[2(ln x)^{2} - 3ln x + 2] sur ]0 ; +\infty[. Résoudre 2X^{2} - 3X + 2 = 0 dans \mathbb{R}, et en déduire que la courbe de f ne coupe pas l'axe des abscisses.
\Delta = (-3)^{2}-4\times2\times2 = 9-16 = -7<0 : l'équation 2X^{2}-3X+2=0 n'a pas de solution réelle.
\begin{aligned}f(x) = 0 &\iff x[2(\ln x)^{2}-3\ln x+2] = 0 \end{aligned} Comme x>0, cela équivaut à 2(\ln x)^{2}-3\ln x+2=0, soit, en posant X=\ln x, à 2X^{2}-3X+2=0, qui n'a pas de solution.
L'équation f(x)=0 n'a donc pas de solution : la courbe de f ne coupe pas l'axe des abscisses.
PartieB ; 2. Déterminer, en justifiant, la limite de f en +\infty (on admet que la limite en 0 est 0).
f(x) = x(\ln x)^{2}\left(2-\dfrac{3}{\ln x}+\dfrac{2}{(\ln x)^{2}}\right).
\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty, donc \lim\limits_{x\to+\infty}x(\ln x)^{2}=+\infty, et \lim\limits_{x\to+\infty}\left(2-\dfrac{3}{\ln x}+\dfrac{2}{(\ln x)^{2}}\right)=2.
Par produit : \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.
PartieB ; 3.a On admet que f'(x) = 2(ln x)^{2} + ln x - 1. Montrer que f''(x) = (1/x)(4ln x + 1).
f''(x) = 2\times2\ln x\times\dfrac1x+\dfrac1x = \dfrac{1}{x}(4\ln x+1).
PartieB ; 3.b Étudier la convexité de f sur ]0 ; +\infty[ et préciser l'abscisse exacte du point d'inflexion.
Sur ]0~;~+\infty[, \dfrac1x>0, donc f''(x) est du signe de 4\ln x+1.
\begin{aligned}4\ln x+1 = 0 &\iff \ln x = -\dfrac14 \\ &\iff x = e^{-\dfrac{1}{4}} \end{aligned} 4\ln x+1>0 \iff x>e^{-\dfrac{1}{4}}.
f est donc concave sur \left]0~;~e^{-\dfrac{1}{4}}\right] et convexe sur \left[e^{-\dfrac{1}{4}}~;~+\infty\right[, avec un point d'inflexion d'abscisse exacte e^{-\dfrac{1}{4}}\approx0{,}779.
PartieB ; 3.c Montrer que la courbe de f est au-dessus de la tangente T_B sur ]1 ; +\infty[.
Comme e^{-\dfrac{1}{4}}<1, f est convexe sur [1~;~+\infty[ : sur cet intervalle, la courbe est donc au-dessus de toutes ses tangentes, en particulier T_B.
PartieC ; 1. Justifier que la tangente T_B (au point d'abscisse e) a pour équation réduite y = 2x - e.
f'(e) = 2(\ln e)^{2}+\ln e-1 = 2+1-1 = 2 et \begin{aligned}f(e) &= e(2\times1-3+2) \\ &= e\times1 \\ &= e\end{aligned}
La tangente en e a pour équation y=f'(e)(x-e)+f(e) = 2(x-e)+e = 2x-e.
PartieC ; 2. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que l'intégrale de x ln x entre 1 et e vaut (e^{2} + 1)/4.
On pose u(x)=\ln x et v'(x)=x (donc u'(x)=\dfrac1x et v(x)=\dfrac{x^{2}}{2}).
\begin{aligned}\displaystyle \displaystyle\int\limits_1^{e}x\ln x\,\mathrm{d}x &= \left[\ln x\times\dfrac{x^{2}}{2}\right]_1^{e} - \displaystyle\int\limits_1^{e}\dfrac{x}{2}\,\mathrm{d}x \\ &= \dfrac{e^{2}}{2} - \left[\dfrac{x^{2}}{4}\right]_1^{e} \\ &= \dfrac{e^{2}}{2}-\dfrac{e^{2}}{4}+\dfrac14 \\ &= \dfrac{e^{2}+1}{4}\end{aligned}
PartieC ; 3. On admet que l'intégrale de x(ln x)^{2} entre 1 et e vaut (e^{2} - 1)/4. En déduire l'aire A du domaine entre la courbe de f, la tangente T_B et les droites x=1 et x=e.
Sur [1~;~e], la courbe est au-dessus de T_B, donc \begin{aligned}\displaystyle \mathcal{A} &= \displaystyle\int\limits_1^{e}[f(x)-(2x-e)]\,\mathrm{d}x \\ &= \displaystyle\int\limits_1^{e}[2x(\ln x)^{2}-3x\ln x+e]\,\mathrm{d}x\end{aligned}
Par linéarité : \begin{aligned}\mathcal{A} &= 2\times\dfrac{e^{2}-1}{4} - 3\times\dfrac{e^{2}+1}{4} + \left[ex\right]_1^{e} \\ &= \dfrac{-e^{2}-5}{4}+(e^{2}-e)\end{aligned}
\mathcal{A} = \dfrac{3e^{2}-4e-5}{4} unités d'aire (soit environ 1,57 u.a.).