Homothétie : Tous les exercices

1.Justifier que AM = 5,5 m.

Le point A appartient au segment [TM], donc AM = MT - AT = 7{,}7 - 2{,}2 = 5,5 m.

2.Montrer que la longueur AB est égale à 4,8 m.

Le triangle ABM est rectangle en A. D'après le théorème de Pythagore :
MB^{2} = AB^{2} + AM^{2}
\begin{aligned}AB^{2} &= MB^{2} - AM^{2} \\ &= 7{,}3^{2} - 5{,}5^{2} \\ &= 53{,}29 - 30{,}25 \\ &= 23{,}04\end{aligned}
Donc AB = \sqrt{23{,}04} = 4,8 m.

3.Calculer la mesure de l'angle ABM, arrondie au degré.

Dans le triangle ABM rectangle en A, d'après SOH-CAH-TOA, la tangente de l'angle ABM est égale au côté opposé divisé par le côté adjacent :
\begin{aligned}\tan(ABM) &= \dfrac{AM}{AB} \\ &= \dfrac{5{,}5}{4{,}8}\end{aligned}
À la calculatrice : ABM = \arctan\left(\dfrac{5{,}5}{4{,}8}\right) \approx 49^{\circ}.

4.Montrer que les droites (TE) et (BM) sont parallèles.

Les points E, A, B sont alignés et les points T, A, M sont alignés dans le même ordre.
D'une part, \begin{aligned}\dfrac{AE}{AB} &= \dfrac{1{,}92}{4{,}8} \\ &= 0{,}4\end{aligned}
D'autre part, \begin{aligned}\dfrac{AT}{AM} &= \dfrac{2{,}2}{5{,}5} \\ &= 0{,}4\end{aligned}
On a donc \dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AT}{AM}.
Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (TE) et (BM) sont parallèles.

5.Choisir le rapport de l'homothétie de centre A qui transforme le triangle AET en ABM.

L'homothétie transforme E en B et T en M, qui sont situés de l'autre côté du centre A : le rapport est donc négatif.
\begin{aligned}\dfrac{AM}{AT} &= \dfrac{5{,}5}{2{,}2} \\ &= 2{,}5\end{aligned}
Le rapport est -2,5 (Proposition 3).

1.Un magasin relève les prix de cinq vêtements : 12 €, 15 €, 10 €, 7 € et 13 €. Affirmation A : la moyenne des prix est 11,40 €. Affirmation B : la médiane des prix est 10 €. Ces affirmations sont-elles vraies ou fausses ?

Affirmation A : la moyenne vaut \begin{aligned}\dfrac{12+15+10+7+13}{5} &= \dfrac{57}{5} \\ &= 11{,}4\end{aligned} €. L'affirmation A est vraie.
Affirmation B : en rangeant les prix dans l'ordre croissant, on obtient 7~;~10~;~12~;~13~;~15. La valeur centrale (la 3e sur 5) est 12 €, donc la médiane est 12 € et non 10 €. L'affirmation B est fausse.

2.Lors d'un entraînement, une élève parcourt 20 m en 6 secondes. Affirmation C : sa vitesse moyenne est de 14 km/h. Vrai ou faux ?

La vitesse moyenne est \begin{aligned}v &= \dfrac{\text{distance}}{\text{temps}} \\ &= \dfrac{20}{6} \\ &\approx 3{,}33\end{aligned} m/s.
Pour convertir en km/h, on multiplie par 3,6 (puisque 1 m/s = 3{,}6 km/h) : 3{,}33\times3{,}6 \approx 12 km/h.
La vitesse moyenne de l'élève est donc d'environ 12 km/h, et non 14 km/h. L'affirmation C est fausse.

3.Une urne contient 15 boules indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 15. Affirmation D : la probabilité de tirer une boule portant un nombre premier est \dfrac{7}{15}. Vrai ou faux ?

Les nombres premiers compris entre 1 et 15 sont 2, 3, 5, 7, 11 et 13 : il y en a 6.
La probabilité de tirer un nombre premier est donc \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}, et non \dfrac{7}{15}. L'affirmation D est fausse.

4.Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport (-3). Affirmation E : l'aire du triangle A'B'C' est égale à 3 fois l'aire du triangle ABC. Vrai ou faux ?

Une homothétie de rapport k multiplie les longueurs par |k|, et donc les aires par k^2.
Ici k=-3, donc les aires sont multipliées par (-3)^2 = 9, et non par 3.
L'aire du triangle A'B'C' est donc égale à 9 fois celle du triangle ABC, et non à 3 fois. L'affirmation E est fausse.

1.D'après des chercheurs, la probabilité qu'une personne subisse une attaque mortelle de requin au cours de sa vie est l'une des trois valeurs suivantes : 2,7\times10^{-7}, 2,7\times10^{0} ou 2,7\times10^{7}. Laquelle ?

Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Or 2,7\times10^{0}=2,7 et 2,7\times10^{7} sont bien supérieurs à 1 : seule 2,7\times10^{-7} (un nombre très petit, proche de 0) peut être une probabilité.

2.Calculer \dfrac35 - \dfrac25\times\dfrac74.

On commence par le produit : \begin{aligned}\dfrac25\times\dfrac74 &= \dfrac{2\times7}{5\times4} \\ &= \dfrac{14}{20} \\ &= \dfrac{7}{10}\end{aligned}
On met ensuite les deux fractions au même dénominateur : \dfrac35 = \dfrac{6}{10}, donc \begin{aligned}\dfrac35-\dfrac25\times\dfrac74 &= \dfrac{6}{10}-\dfrac{7}{10} \\ &= -\dfrac{1}{10}\end{aligned}

3.Un pantalon vendu 80 € est affiché à 60 € sur un site. Quel est le pourcentage de réduction ?

La réduction représente 80-60=20 € sur un prix de départ de 80 €.
Le taux de réduction est donc \begin{aligned}\dfrac{20}{80} &= \dfrac{1}{4} \\ &= \dfrac{25}{100}\end{aligned} soit 25 %.

4.ABCD est un parallélogramme de centre E. Que peut-on dire de l'homothétie de centre A qui transforme B en F, où F est le milieu de [AB] ?

Dans un parallélogramme ABCD, les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu commun E : E est donc le milieu de [AC].
F étant le milieu de [AB], l'homothétie de centre A qui envoie B sur son milieu F a pour rapport \dfrac12 ; cette même homothétie envoie alors C, par le même rapport, sur le milieu de [AC], c'est-à-dire sur E.

5.Déterminer la médiane de la série de valeurs : 11 ; 17 ; 8 ; 14 ; 3 ; 20 ; 5 ; 10 ; 12.

On range d'abord les 9 valeurs par ordre croissant : 3 ; 5 ; 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 14 ; 17 ; 20.
Comme il y a 9 valeurs (nombre impair), la médiane est la 5e valeur de cette liste triée, soit 11.

1.Une urne contient 7 jetons verts, 4 rouges, 3 bleus et 2 jaunes, indiscernables au toucher. On tire un jeton au hasard. À quel évènement correspond une probabilité de \dfrac{7}{16} : « obtenir un jeton rouge ou jaune », « obtenir un jeton qui n'est pas vert » ou « obtenir un jeton vert » ?

L'urne contient 7+4+3+2 = 16 jetons en tout, dont 7 verts.
La probabilité d'obtenir un jeton vert est donc \dfrac{7}{16} : c'est l'évènement « obtenir un jeton vert ».

2.Toujours avec cette urne, quelle est la probabilité de ne pas tirer un jeton bleu : \dfrac{13}{16}, \dfrac{3}{16} ou \dfrac{3}{4} ?

La probabilité de tirer un jeton bleu est \dfrac{3}{16} (il y a 3 jetons bleus sur 16).
La probabilité de ne pas tirer un jeton bleu est l'évènement contraire : 1-\dfrac{3}{16} = \dfrac{13}{16}.

3.Une figure est composée de vingt motifs numérotés de 1 à 20, disposés régulièrement autour d'un point O, avec un angle \widehat{AOB}=36^{\circ} (A et B étant deux points symétriques par rapport à une droite (d) passant par O). Quelle est l'image du motif 20 par la symétrie d'axe (d) : le motif 17, le motif 15 ou le motif 12 ?

Les vingt motifs sont répartis régulièrement tout autour de O, séparés d'un angle de 360^{\circ}\div20 = 18^{\circ} chacun, et la droite (d) est un axe de symétrie de la figure.
En comptant les motifs symétriques par rapport à (d) de part et d'autre de celui-ci, le motif symétrique du motif 20 est le motif 17.

4.Par quelle rotation de centre O le motif 3 est-il l'image du motif 1 : un angle de 36^{\circ}, de 72^{\circ} ou de 90^{\circ} ?

Les vingt motifs étant répartis tous les 18^{\circ} autour de O, passer du motif 1 au motif 3 correspond à un déplacement de deux motifs, soit un angle de 2\times18 = 36^{\circ}.

5.Le motif 11 est l'image du motif 1 par l'homothétie de centre O et de rapport 2. L'aire du motif 11 est-elle égale au double de l'aire du motif 1, à 4 fois cette aire, ou à sa moitié ?

Dans une homothétie de rapport k, les longueurs sont multipliées par |k| et les aires par k^{2}.
Ici k=2, donc les aires sont multipliées par 2^{2}=4 : l'aire du motif 11 est 4 fois l'aire du motif 1.