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A.1Quelle est la nature de la suite (u_{n}) et sa raison ?

On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours 20 individus : (u_n) est arithmétique de raison 20.

A.2À combien peut-on estimer le nombre de marmottes en juin 2025 ?

Juin 2025 correspond à u_6 (puisque 2025=2019+6) : u_6 = u_0+6\times20 = 200+120 = 320 marmottes.

A.3Ce premier modèle semble-t-il adapté, sachant que la population réelle en 2025 était de 355 ?

L'écart entre le modèle (320) et la réalité (355) est de 35 individus, soit environ 10 % de 355 : cet écart est important, ce premier modèle ne semble donc pas bien adapté à la situation.

B.1De quel pourcentage la population a-t-elle augmenté entre 2019 et 2020 ?

\dfrac{220-200}{200} = \dfrac{20}{200} = 0{,}10 = 10 %.

B.2.aQuelle est la nature de la suite (v_{n}) ? Préciser sa raison et son premier terme.

v_{n+1}=1{,}1\times v_n : on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par 1,1. (v_n) est géométrique de raison 1,1, de premier terme v_0=200 (population en 2019).

B.2.bExprimer v_{n} en fonction de n.

(v_n) étant géométrique : \begin{aligned}v_n &= v_0\times1{,}1^{n} \\ &= 200\times1{,}1^{n}\end{aligned}.

B.3.aSelon ce nouveau modèle, à combien peut-on estimer le nombre de marmottes en juin 2025 ?

Juin 2025 correspond à n=6 : d'après le tableur, v_6 = 354 marmottes.

B.3.bCe nouveau modèle semble-t-il pertinent, sachant que la population réelle en 2025 était de 355 ?

354 est très proche de 355 (écart inférieur à 0,3 %) : ce second modèle semble donc pertinent.

B.3.cEn juin de quelle année la population aura-t-elle dépassé 400 individus, selon ce modèle ?

D'après le tableur, la première valeur dépassant 400 est v_8=429 (colonne H) : la population dépassera 400 individus en juin 2027 (2019+8).

1.D'après des chercheurs, la probabilité qu'une personne subisse une attaque mortelle de requin au cours de sa vie est l'une des trois valeurs suivantes : 2,7\times10^{-7}, 2,7\times10^{0} ou 2,7\times10^{7}. Laquelle ?

Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Or 2,7\times10^{0}=2,7 et 2,7\times10^{7} sont bien supérieurs à 1 : seule 2,7\times10^{-7} (un nombre très petit, proche de 0) peut être une probabilité.

2.Calculer \dfrac35 - \dfrac25\times\dfrac74.

On commence par le produit : \begin{aligned}\dfrac25\times\dfrac74 &= \dfrac{2\times7}{5\times4} \\ &= \dfrac{14}{20} \\ &= \dfrac{7}{10}\end{aligned}
On met ensuite les deux fractions au même dénominateur : \dfrac35 = \dfrac{6}{10}, donc \begin{aligned}\dfrac35-\dfrac25\times\dfrac74 &= \dfrac{6}{10}-\dfrac{7}{10} \\ &= -\dfrac{1}{10}\end{aligned}

3.Un pantalon vendu 80 € est affiché à 60 € sur un site. Quel est le pourcentage de réduction ?

La réduction représente 80-60=20 € sur un prix de départ de 80 €.
Le taux de réduction est donc \begin{aligned}\dfrac{20}{80} &= \dfrac{1}{4} \\ &= \dfrac{25}{100}\end{aligned} soit 25 %.

4.ABCD est un parallélogramme de centre E. Que peut-on dire de l'homothétie de centre A qui transforme B en F, où F est le milieu de [AB] ?

Dans un parallélogramme ABCD, les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu commun E : E est donc le milieu de [AC].
F étant le milieu de [AB], l'homothétie de centre A qui envoie B sur son milieu F a pour rapport \dfrac12 ; cette même homothétie envoie alors C, par le même rapport, sur le milieu de [AC], c'est-à-dire sur E.

5.Déterminer la médiane de la série de valeurs : 11 ; 17 ; 8 ; 14 ; 3 ; 20 ; 5 ; 10 ; 12.

On range d'abord les 9 valeurs par ordre croissant : 3 ; 5 ; 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 14 ; 17 ; 20.
Comme il y a 9 valeurs (nombre impair), la médiane est la 5e valeur de cette liste triée, soit 11.

1.Un tableur donne les températures moyennes mensuelles relevées à Tours en 2019 (en ^{\circ}C) : J 4,4 ; F 7,8 ; M 9,6 ; A 11,2 ; M 13,4 ; J 19,4 ; J 22,6 ; A 20,5 ; S 17,9 ; O 14,4 ; N 8,2 ; D 7,8. Quelle était la température moyenne en novembre 2019 ?

D'après le tableau, le mois de novembre correspond à la valeur 8,2 ^{\circ}C.

2.Déterminer l'étendue de cette série de températures.

L'étendue d'une série est la différence entre sa plus grande et sa plus petite valeur.
La température la plus élevée est 22{,}6~^{\circ}C (juillet) et la plus basse est 4{,}4~^{\circ}C (janvier).
L'étendue est donc 22{,}6-4{,}4 = 18,2 ^{\circ}C.

3.Quelle formule peut-on saisir dans la cellule prévue pour la moyenne annuelle, afin qu'elle calcule automatiquement la moyenne des douze températures mensuelles ?

On peut saisir une formule utilisant la fonction moyenne du tableur, du type =MOYENNE(...) appliquée à la plage des douze cellules contenant les températures mensuelles (on pourrait aussi utiliser la fonction SOMME puis diviser par 12).

4.Vérifier que la température moyenne annuelle à Tours en 2019 est bien 13,1~^{\circ}C.

En admettant que les mois ont sensiblement la même durée, la moyenne annuelle est la moyenne simple des 12 valeurs mensuelles.
\begin{aligned}\dfrac{4{,}4+7{,}8+9{,}6+11{,}2+13{,}4+19{,}4+22{,}6+20{,}5+17{,}9+14{,}4+8{,}2+7{,}8}{12} &= \dfrac{157{,}2}{12} \\ &= 13{,}1\end{aligned}
On obtient bien 13,1 ^{\circ}C, ce qui confirme la valeur annoncée.

5.En 2009, la température moyenne annuelle à Tours était de 11,9~^{\circ}C. Le pourcentage d'augmentation entre 2009 et 2019, arrondi à l'unité, est-il de 7 %, 10 % ou 13 % ?

Le taux d'évolution entre 2009 et 2019 se calcule par \dfrac{\text{valeur d'arrivée}-\text{valeur de départ}}{\text{valeur de départ}}, soit \begin{aligned}\dfrac{13{,}1-11{,}9}{11{,}9} &= \dfrac{1{,}2}{11{,}9} \\ &\approx 0{,}1008\end{aligned}
Cela représente une augmentation d'environ 10{,}08~\%, soit 10 % arrondi à l'unité.

1.Sur 9 mois (avril à décembre 2020), les précipitations relevées à Nouméa (en mm) sont : 147 ; 199 ; 40 ; 67 ; 47 ; 54 ; 104 ; 45 ; 63. Calculer la moyenne, arrondie au mm.

La moyenne est \begin{aligned}\dfrac{147+199+40+67+47+54+104+45+63}{9} &= \dfrac{766}{9} \\ &\approx 85{,}1\end{aligned} soit 85 mm au mm près.

2.Quelle est l'étendue de cette série ?

L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : 199-40 = 159 mm.

3.Déterminer la médiane de cette série.

En rangeant les 9 valeurs dans l'ordre croissant : 40 ; 45 ; 47 ; 54 ; 63 ; 67 ; 104 ; 147 ; 199.
La série comporte 9 valeurs, donc la médiane est la 5e valeur : 63 mm.

4.Quel est le pourcentage de mois où les précipitations dépassent 100 mm, arrondi à l'unité ?

Trois mois dépassent 100 mm (147, 199 et 104), sur 9 relevés au total : \begin{aligned}\dfrac{3}{9}\times100 &= \dfrac{100}{3} \\ &\approx 33{,}3\end{aligned} soit 33 % à l'unité près.

1.aUn sablier est formé de deux cylindres C_1 et C_2 (hauteur 4,2 cm, diamètre 1,5 cm), d'un cylindre central C_3 et de deux demi-sphères. Au départ, le sable remplit le cylindre C_2 aux deux tiers. Montrer que le volume de sable est environ 4,95 cm^{3}.

Le rayon du cylindre C_2 est \begin{aligned}r &= \dfrac{1{,}5}{2} \\ &= 0{,}75\end{aligned} cm.
Le volume total de C_2 est \begin{aligned}V &= \pi\times r^2\times h \\ &= \pi\times0{,}75^2\times4{,}2\end{aligned} cm^{3}.
Le sable occupe les deux tiers de ce volume : V_{\text{sable}} = \dfrac23\times\pi\times0{,}75^2\times4{,}2 \approx 4,95 cm^{3}.

1.bOn retourne le sablier ; le débit d'écoulement du sable est constant, égal à 1,98 cm^{3}/min. Calculer le temps d'écoulement du sable dans le cylindre inférieur.

Le temps d'écoulement est \begin{aligned}t &= \dfrac{V_{\text{sable}}}{\text{débit}} \\ &= \dfrac{4{,}95}{1{,}98} \\ &\approx 2{,}5\end{aligned} minutes.
Or 2{,}5 minutes = 2 minutes +0{,}5\times60 secondes = 2 min 30 s.

2.aSur un échantillon de sabliers identiques, on mesure plusieurs fois le temps d'écoulement et on obtient un tableau d'effectifs (temps entre 2 min 22 s et 2 min 38 s). Combien de tests ont été réalisés au total ?

En additionnant tous les effectifs du tableau (1+1+2+6+3+7+6+3+1+2+3+2+3), on obtient 40 tests au total.

2.bUn sablier est mis en vente si l'étendue des temps est inférieure à 20 s, si la médiane est comprise entre 2 min 29 s et 2 min 31 s, et si la moyenne est comprise entre 2 min 28 s et 2 min 32 s. Ce sablier sera-t-il éliminé ?

Étendue : la valeur maximale est 2 min 38 s et la valeur minimale 2 min 22 s, soit une étendue de 38-22 = 16 s, bien inférieure à 20 s.
Médiane : avec 40 valeurs, la médiane est la moyenne entre la 20e et la 21e valeur de la série rangée dans l'ordre croissant. En cumulant les effectifs, on trouve que la 20e valeur est 2 min 29 s et la 21e est 2 min 30 s, donc la médiane vaut 2 min 29,5 s, qui est bien comprise entre 2 min 29 s et 2 min 31 s.
Moyenne : en sommant tous les temps (en secondes après 2 min) pondérés par leurs effectifs et en divisant par 40, on obtient une moyenne d'environ 2 min 30,1 s, bien comprise entre 2 min 28 s et 2 min 32 s.
Les trois conditions étant remplies, le sablier ne sera pas éliminé.