Mascotte Logimaths Logimaths
← Retour
Annales officielles · Logimaths

Proportionnalité : Tous les exercices

7 exercices officiels tirés des annales, un par sujet.

📄 Télécharger le sujet (PDF) ✅ Télécharger le corrigé (PDF)
Brevet 2026 : Antilles et Guyane Voir le sujet complet → ✅ Voir le corrigé⬇ Corrigé (PDF)

Un centre de loisirs organise pour les jeunes d'une commune des activités pendant les vacances.

Pour s'inscrire dans ce centre de loisirs, plusieurs tarifs sont proposés :

  • Tarif A : on paie 5,50 € par demi-journée passée dans le centre de loisirs ;
  • Tarif B : on paie un abonnement annuel de 15 € puis 3,50 € pour chaque demi-journée passée dans le centre ;
  • Tarif C : on paie un forfait annuel de 64 € donnant accès à autant de demi-journées que l'on veut.

  1. Quel est le prix pour 12 demi-journées avec le tarif B ?
  2. On désigne par x le nombre de demi-journées passées dans le centre de loisirs. On considère les trois fonctions f,\quad g, et h suivantes :

    f : x \longmapsto 15 + 3,5x\quad g : x \longmapsto 64\quad h : x \longmapsto 5,5x

    Sans justifier, associer chacune de ces fonctions au tarif qu'elle représente.
  3. Le graphique ci-dessous représente les fonctions f,\quad g, et h. Sans justifier, associer à chaque représentation graphique (d_1), (d_2) et (d_3) la fonction f, g ou h correspondante.

    Prixen e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 20 30 40 50 60 70 80 ( d 2 ) ( d 3 ) ( d 1 )
  4. La droite (d_1) représente-t-elle une situation de proportionnalité ?

    Détailler la réponse en précisant la démarche.
  5. Lire graphiquement le nombre de demi-journées à partir duquel le tarif B devient plus avantageux que le tarif A. Aucune justification n'est demandée.
  6. On a réalisé dans un tableur le tableau de valeurs correspondant au tarif B suivant le nombre de demi-journées de présence.

    ABCDEFGHIJKLMNOPQ
    1Nombre de demi-journées d'activités12345678910111213141516
    2Tarif B en €18,52225,52932,53639,54346,55053,55760,56467,571


    1. Parmi les trois formules proposées ci-dessous, recopier celle qui a été saisie dans la cellule \textsf{B2}, puis étirée vers la droite pour compléter le tableau.

      =15+3,5*x=15+3,5*1=15+3,5*B1
    2. En utilisant le tableau de valeurs ci-dessus, déterminer le nombre de demi-journées à partir duquel le tarif C devient plus avantageux que le tarif B. Aucune justification n'est demandée.
Voir la correction

1.Quel est le prix pour 12 demi-journées avec le tarif B ?

15 + 3{,}50 \times 12 = 15 + 42 = 57 €.

2.Associer chacune des fonctions f, g et h au tarif qu'elle représente.

f : x \mapsto 15 + 3,5x représente le tarif B (abonnement 15 € puis 3,50 € par demi-journée).
g : x \mapsto 64 représente le tarif C (forfait fixe de 64 €).
h : x \mapsto 5,5x représente le tarif A (5,50 € par demi-journée).

3.Associer à chaque droite (d1), (d2), (d3) la fonction correspondante.

(d1) part de 15 sur l'axe des prix : c'est f.
(d2) est horizontale à 64 : c'est g.
(d3) passe par l'origine : c'est h.

4.La droite (d1) représente-t-elle une situation de proportionnalité ?

Une situation de proportionnalité est représentée par une droite qui passe par l'origine du repère.
La droite (d1) coupe l'axe des ordonnées à 15, elle ne passe pas par l'origine.
Donc (d1) ne représente pas une situation de proportionnalité.

5.Lire graphiquement le nombre de demi-journées à partir duquel le tarif B devient plus avantageux que le tarif A.

Les droites (d1) et (d3) se coupent entre 7 et 8 demi-journées (pour un prix d'environ 41 €).
Le tarif B devient plus avantageux à partir de 8 demi-journées.

6.aQuelle formule a été saisie dans la cellule B2 puis étirée vers la droite ?

On saisit = 15 + 3,5*B1 dans la cellule B2.

6.bÀ partir de combien de demi-journées le tarif C devient-il plus avantageux que le tarif B ?

Dans le tableau, le tarif B vaut 64 € pour 14 demi-journées (égalité avec le tarif C), puis 67,50 € pour 15.
Le tarif C devient plus avantageux à partir de 15 demi-journées.

Brevet 2026 : Métropole Voir le sujet complet →

Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.

Partie A On a tracé ci-contre la courbe représentative de la fonction qui donne le volume d'une boule en \mathrm{cm}^{3} en fonction de son rayon en cm.

  1. Déterminer graphiquement l'image de 3,6 par cette fonction.
  2. Le volume d'une boule est égal à 660 \mathrm{cm}^{3}.

    Lire graphiquement son rayon.

Rayonencm 1 2 3 4 5 6 7 8 Volumeencm 3 100 200 300 400 500 600 700 800 0

Partie B On souhaite fabriquer avec une imprimante 3D, des boules pleines en plastique, de rayon de 2,5 \text{cm}.

  1. Montrer que le volume d'une boule, arrondi à l'unité, est égal à 65 \mathrm{cm}^{3}.

    On rappelle que le volume V d'une boule de rayon R est donné par la formule :

    V=\dfrac{4}{3} \times \pi \times R^{3}
  2. Pour utiliser cette imprimante, on dispose d'une bobine de 1000 \mathrm{cm}^{3} de plastique.

    Combien de boules peut-on fabriquer au maximum ?
  3. Sachant que la masse volumique de ce plastique est égale à 0,9 \mathrm{g/cm}^{3}, calculer la masse d'une boule.
Brevet 2025 : Métropole Voir le sujet complet → ✅ Voir le corrigé⬇ Corrigé (PDF)

Pour chaque question, quatre réponses sont proposées mais une seule est exacte. Cocher la bonne réponse sans justification.

Une réponse correcte apporte 4 points, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte aucun point.

  1. 25 % de 340 s'obtient en effectuant le calcul suivant :

    340 \times \dfrac{25}{100}340 + \dfrac{25}{100}340 \times \dfrac{100}{25}340 + \dfrac{100}{25}
  2. 3^5 est égal à :

    3+3+3+3+33\times 53 - 53 \times 3\times 3\times 3\times 3
  3. Le tableau suivant correspond à une situation de proportionnalité :
    192
    N6


    N = 12,5N = 23N = 3,5N = 57
  4. Le volume du cube de côté 3 cm est égal à :

    3cm

    9 cm^318 cm^327 cm^381 cm^3
  5. La solution de l'équation 25x + 4 = 108 - x est :

    x = 3x = 4x = 5x = 6
\textbf ANNEXE 2 - À rendre avec la copie
Voir la correction

1.Dans un repère, un point A est placé sur la grille. Quelles sont ses coordonnées ?

D'après le repère, A(4 ; 3).

2.Un sac de 32 billes contient 4 billes vertes. Quelle est la probabilité de tirer une bille verte au hasard ?

Il y a 4 billes vertes sur 32 : la probabilité est \dfrac{4}{32} = \dfrac18.

3.Quelle est la solution de l'équation 5x - 4 = 6 ?

\begin{aligned}5x-4 = 6 &\iff 5x = 10 \\ &\iff x =\end{aligned} 2.

4.Dans la liste 13, 5, 9, 11, 15, 8, 14, 16, 17, quelle est la médiane ?

En rangeant dans l'ordre croissant : 5, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 17 : la valeur du milieu (5e sur 9) est 13.

5.Dans une configuration où (DB) est parallèle à (EC), avec A, D, B alignés et A, E, C alignés, quelle égalité donne le théorème de Thalès ?

\dfrac{AD}{AE} = \dfrac{AB}{AC} (les rapports des longueurs sur chaque droite sécante sont égaux).

Brevet 2025 : Asie Voir le sujet complet → ✅ Voir le corrigé⬇ Corrigé (PDF)

Dans la figure ci-contre qui n'est pas représentée en vraie grandeur:

  • Les points G, C et E sont alignés ;
  • Les points F, C et D sont alignés ;
  • Les droites (GF) et (DE) sont parallèles.
  • Le triangle CDE est rectangle en D
  • CD = 21,6 \text{cm}, CE = 29,1 \text{cm}, FC = 17,2 \text{cm}.

F G D E C

  1. Montrer que la longueur DE est égale à 19,5 \text{cm}.
  2. Calculer l'aire du triangle CDE.
  3. Calculer la longueur GF arrondie au millimètre près.
  4. On trace une droite (d) perpendiculaire à (FC) avec un logiciel de géométrie dynamique. La droite (d) coupe le segment [GC] en A et le segment [FC] en B. En affichant l'aire du triangle ABC à l'aide du logiciel, on obtient 23,4 \mathrm{cm}^{2}.

    F G D E C d Aire ABC = 23 . 4cm 2 B A

    1. Montrer que l'aire du triangle ABC est égale à \dfrac{1}{9} de l'aire du triangle CDE.
    2. On admet que les triangles ABC et EDC sont semblables.

      Déterminer la longueur AB.
Voir la correction

1.Sur une figure : G, C, E alignés ; F, C, D alignés ; (GF) // (DE) ; CDE rectangle en D ; CD = 21,6 cm, CE = 29,1 cm, FC = 17,2 cm. Montrer que DE = 19,5 cm.

Dans le triangle CDE rectangle en D, Pythagore donne CE^2 = CD^2+DE^2, soit 29{,}1^2 = 21{,}6^2+DE^2.
\begin{aligned}DE^2 &= 846{,}81-466{,}56 \\ &= 380{,}25\end{aligned} donc DE = \sqrt{380{,}25} = 19,5 cm.

2.Calculer l'aire du triangle CDE.

CDE est rectangle en D, donc [CD] et [DE] sont ses côtés de l'angle droit : aire = \dfrac{CD\times DE}{2} = \dfrac{21{,}6\times19{,}5}{2} = 210,6 cm^{2}.

3.Calculer la longueur GF arrondie au millimètre près.

G, C, E alignés et F, C, D alignés, avec (GF) // (DE) : configuration de Thalès, \begin{aligned}\dfrac{GF}{DE} &= \dfrac{FC}{CD} \\ &= \dfrac{CG}{CE}\end{aligned}
\dfrac{GF}{19{,}5} = \dfrac{17{,}2}{21{,}6}, donc GF = 19{,}5\times\dfrac{17{,}2}{21{,}6} \approx 15,5 cm.

4.aUne droite (d) perpendiculaire à (FC) coupe [GC] en A et [FC] en B ; l'aire du triangle ABC mesure 23,4 cm^{2} (logiciel). Montrer que cette aire vaut le neuvième de l'aire de CDE.

\begin{aligned}\dfrac19\times\mathcal{A}_{CDE} &= \dfrac19\times210{,}6 \\ &= 23{,}4\end{aligned} cm^{2} : on retrouve exactement l'aire de ABC donnée par le logiciel. L'aire de ABC est bien le neuvième de celle de CDE.

4.bOn admet que les triangles ABC et EDC sont semblables. Déterminer la longueur AB.

(AB) et (DE) sont toutes deux perpendiculaires à (FC), donc parallèles : ABC et CDE forment une configuration de Thalès, donc sont semblables, de rapport k tel que k^2 = \dfrac19 (rapport des aires).
k étant positif (rapport de longueurs), \begin{aligned}k &= \sqrt{\dfrac19} \\ &= \dfrac13\end{aligned}
AB correspond à DE dans le rapport k : AB = \dfrac13\times DE = \dfrac13\times19{,}5 = 6,5 cm.

Brevet 2024 : Amérique du Nord Voir le sujet complet → ✅ Voir le corrigé⬇ Corrigé (PDF)

M. et Mme Martin veulent construire une terrasse en béton dans leur jardin. Ils souhaitent que leur terrasse ait une hauteur de 15 \mathrm{~cm}. Les représentations ci-dessous ne sont pas à l'échelle.

Terrasseenbéton A D I J G H D E F C 15cm IJ=15cm Vueenperspectivedelaterrasse

Rappel: Levolumed’unprismeestdonnéparlaformule: V = Aire base × Hauteur

Vuededessusdelaterrasse E J G H 6m 3m F 10m EFGHestunrectangle

  1. Montrer que FJ = 4 m.
  2. Afin de pouvoir couler le béton, M. et Mme Martin doivent délimiter la terrasse en installant des planches tout autour. Quelle longueur de planches doivent-ils acheter au minimum ?
  3. M. et Mme Martin souhaitent réaliser 4 \mathrm{~m}^{3} de béton.

    1. Montrer que le volume de la terrasse est bien inférieur à 4 \mathrm{m}^{3}.
    2. Sachant que pour faire 1 \mathrm{m}^{3} de béton, il faut 250 \text{kg} de ciment, quelle masse de ciment (en kg) doivent-ils acheter pour réaliser 4 \mathrm{m}^{3} de béton ?
    3. Pour faire du béton, on ajoute de l'eau à un mélange de ciment, de gravier et de sable.

      Dans ce mélange, les masses de ciment - gravier - sable sont dans le ratio 2: 7: 5.

      Déterminer (en kg), la masse de gravier et la masse de sable nécessaires pour réaliser les 4 \mathrm{m}^{3} de béton.
  4. M. et Mme Martin souhaitent peindre la surface supérieure de leur terrasse.

    À l'aide des documents 1,2 et 3 , déterminer le type et le nombre de pots nécessaires pour effectuer ces travaux avec un coût minimum.



    Document 1 : Pots de peinture proposés

    Pot APot B
    Contenance (en litres)510
    Prix (en euros)79,90129,90


    Document 2 : L'offre du mois

    Moins50% surledeuxièmearticle identique

    Document 3 :

    Deux couches de peinture sont nécessaires.

    1 litre de peinture permet de réaliser une couche de 5 \mathrm{m}^{2}.
Voir la correction

1.M. et Mme Martin construisent une terrasse en forme de pentagone EFGHJ (obtenu en complétant un rectangle EFGH, avec EH = 3 m, HJ = 10 m vu de dessus, et un triangle rectangle GFJ accolé). Sachant que EFGH est un rectangle avec HG = 6 m, montrer que FJ = 4 m.

EFGH est un rectangle, donc les côtés opposés sont égaux : \begin{aligned}EF &= HG \\ &= 6\end{aligned} m.
Comme HJ = 10 m et que F est situé entre les extrémités de ce côté, FJ = HJ - EF = 10-6 = 4 m.

2.Pour couler le béton, les Martin doivent installer des planches tout autour de la terrasse. Quelle longueur totale de planches doivent-ils acheter au minimum ?

Le triangle GFJ est rectangle en F (car (GF) est perpendiculaire à (FJ), les deux étant des côtés du rectangle ou de sa prolongation). D'après le théorème de Pythagore : GJ^2 = GF^2+FJ^2.
Or \begin{aligned}GF &= EH \\ &= 3\end{aligned} m (côtés opposés du rectangle EFGH), donc \begin{aligned}GJ^2 &= 3^2+4^2 \\ &= 9+16 \\ &= 25\end{aligned} d'où GJ = 5 m.
Le périmètre du pentagone est EF+FJ+JG+GH+HE = 6+4+5+6+3 = 24 m de planches à acheter au minimum.

3.aMontrer que le volume de la terrasse (hauteur 15 cm) est bien inférieur à 4 m^{3}.

L'aire de la base du prisme (le pentagone EFGHJ) se décompose en l'aire du rectangle EFGH et celle du triangle GFJ : \begin{aligned}\mathcal{A} &= EF\times EH + \dfrac{GF\times FJ}{2} \\ &= 6\times3+\dfrac{3\times4}{2} \\ &= 18+6 \\ &= 24\end{aligned} m^{2}.
Le volume du prisme est \begin{aligned}V &= \mathcal{A}\times h \\ &= 24\times0{,}15 \\ &= 3{,}6\end{aligned} m^{3}.
Comme 3{,}6 < 4, le volume de la terrasse est bien inférieur à 4 m^{3}.

3.bSachant qu'il faut 250 kg de ciment par m^{3} de béton, quelle masse de ciment doivent-ils acheter pour réaliser 4 m^{3} de béton ?

Pour 4 m^{3} de béton, il faut 4\times250 = 1 000 kg de ciment.

3.cDans le mélange, les masses de ciment, gravier et sable sont dans le ratio 2 : 7 : 5. Déterminer la masse de gravier et la masse de sable nécessaires pour les 4 m^{3} de béton.

Le ratio 2 : 7 : 5 signifie que pour 2 parts de ciment, il faut 7 parts de gravier et 5 parts de sable.
Comme 1 000 kg de ciment correspondent à 2 parts, une part vaut 1\,000\div2 = 500 kg.
La masse de gravier est donc 500\times7 = 3 500 kg, et la masse de sable est 500\times5 = 2 500 kg.

4.Les Martin veulent peindre la surface supérieure de la terrasse en deux couches. La peinture est vendue en pot de 5 L à 79,90 € (pot A) ou en pot de 10 L à 129,90 € (pot B), avec une offre « 50 % sur le deuxième article identique ». Sachant qu'1 L de peinture couvre 5 m^{2} en une couche, déterminer la solution la moins chère.

L'aire de la terrasse est de 24 m^{2} (question 3.a). Avec deux couches, la surface totale à peindre est 24\times2 = 48 m^{2}.
Le volume de peinture nécessaire est \dfrac{48}{5} = 9{,}6 L.
Avec deux pots A (soit 10 L, suffisant pour 9,6 L), en profitant de l'offre : \begin{aligned}79{,}90+\dfrac{79{,}90}{2} &= 79{,}90+39{,}95 \\ &= 119{,}85\end{aligned} €.
Avec un seul pot B (10 L, suffisant également) : 129,90 €.
La solution la moins chère est donc d'acheter deux pots A, pour un coût de 119,85 €.

Brevet 2024 : Asie Voir le sujet complet → ✅ Voir le corrigé⬇ Corrigé (PDF)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée. Pour chaque question, quatre réponses (A, B, C et D) sont proposées. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse.

Question 1

Lequel de ces quatre nombres est premier ?

Réponse ARéponse BRéponse CRéponse D
1213754

Question 2

L'aire totale du patron d'un cube d'arête 5 cm est égale à...

Réponse ARéponse BRéponse CRéponse D
125 cm^2150 cm^2120 cm^2100 cm^2

Question 3

Une forme factorisée de l'expression littérale 4x^2 - 9 est...

Réponse ARéponse BRéponse CRéponse D
(4x- 3)(4x +3)(2x- 3)(2x +3)(2x- 3)^2(4x- 9)(4x +9)

Question 4

Un écran de télévision est au format 16 : 9 ce qui signifie que la longueur et la largeur de l'écran sont dans le ratio 16 : 9.

Dans ce cas, si la longueur de l'écran est de 110 cm, sa largeur est d'environ ...

Réponse ARéponse BRéponse CRéponse D
62 cm103 cm196 cm94 cm

Question 5

On considère la série de valeurs : 4,1 3,67 4,23 4,5 3,4

Quelle est la médiane de cette série ?

Réponse ARéponse BRéponse CRéponse D
0,834,14,233,98
Voir la correction

QCM(une seule réponse exacte par question, aucune justification n'était demandée sur la copie). 1. Parmi les nombres 1, 21, 37 et 54, lequel est un nombre premier ? Réponses proposées : A. 1 B. 21 C. 37 D. 54

1 n'est pas premier : il n'a qu'un seul diviseur (lui-même).
21 est divisible par 1, 3, 7 et 21 : il a donc plus de deux diviseurs.
54 est divisible par 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 et 54 : il a lui aussi plus de deux diviseurs.
37 n'admet que deux diviseurs : 1 et 37. C'est donc le seul nombre premier de la liste. Réponse C.

2.Un cube a pour arête 5 cm. Quelle est l'aire totale de son patron ? Réponses proposées : A. 125 cm^{2} B. 150 cm^{2} C. 120 cm^{2} D. 100 cm^{2}

Le patron d'un cube est constitué de 6 faces carrées, chacune de côté 5 cm.
L'aire d'une face est 5^2 = 25 cm^{2}, donc l'aire totale du patron est 6\times25 = 150 cm^{2}. Réponse B.

3.Quelle est une forme factorisée de l'expression 4x^2-9 ? Réponses proposées : A. (4x-3)(4x+3) B. (2x-3)(2x+3) C. (2x-3)^2 D. (4x-9)(4x+9)

On reconnaît une différence de deux carrés : 4x^2-9 = (2x)^2 - 3^2.
D'après l'identité remarquable a^2-b^2=(a-b)(a+b), on obtient (2x-3)(2x+3). Réponse B.

4.Un écran de télévision est au format 16:9 (rapport longueur/largeur). Sa longueur mesure 110 cm. Quelle est sa largeur, arrondie ? Réponses proposées : A. 62 cm B. 103 cm C. 196 cm D. 94 cm

On cherche la largeur \ell telle que \dfrac{110}{\ell} = \dfrac{16}{9}, ce qui revient à résoudre le tableau de proportionnalité longueur/largeur = \dfrac{16}{9} = 110/\ell.
Par produit en croix : \ell = \dfrac{110\times9}{16} = 61,875, soit environ 62 cm. Réponse A.

5.On donne la série de valeurs : 4,1 ; 3,67 ; 4,23 ; 4,5 ; 3,4. Quelle est la médiane de cette série ? Réponses proposées : A. 0,83 B. 4,1 C. 4,23 D. 3,98

On range d'abord les valeurs dans l'ordre croissant : 3,4 ; 3,67 ; 4,1 ; 4,23 ; 4,5.
Il y a 5 valeurs (nombre impair), la médiane est donc la valeur du milieu, en position \dfrac{5+1}{2}=3 : c'est 4,1. Réponse B.

Brevet 2023 : Nouvelle-Calédonie Voir le sujet complet → ✅ Voir le corrigé⬇ Corrigé (PDF)

Suite à la hausse du prix de l'électricité, Olivier souhaite investir dans une installation de panneaux solaires pour réduire ses factures. Il décide de se rendre au salon de l'habitat qui se déroule à Nouméa. Il rencontre trois commerçants qui lui proposent des tarifs différents pour la même installation de 6 kW, mais lequel choisir?

Partie 1

Un premier commerçant propose des prix où tout est compris (installation + pose) répertoriés dans le tableau de proportionnalité suivant:

Puissance de l'installation (en kW)36936
Coût (en francs CFP)500000100000015000006000000
  1. Faire une phrase en expliquant pourquoi Olivier souhaite investir dans des panneaux solaires
  2. Calculerlecoefficientdeproportionnalitéenvousaidantdutableau.Onpréciserales étapes du calcul. Arrondir à l'unité.
  3. Représenter le coût en fonction de la puissance de l'installation en plaçant les points dans le repère ci-dessous.

    05101520253035 0 1000000 2000000 3000000 4000000 5000000 6000000 P uissancedel’installation(enkW) C oûtenfrancsCFP)

Partie 2

Un deuxième commerçant propose un prix pour l'installation de 140000 francs CFP par kW (kilowatt) auquel il ajoute 100000 francs CFP pour la pose.

  1. Parmi les expressions suivantes, entourer celle qui correspond au coût total (installation et pose).

    La variable x correspondant au nombre de kW de l'installation:

    100000x + 140000140000 x + 100000240000x
  2. Calculer le coût pour une installation solaire de 6 kW avec la pose en précisant l'unité.

    On précisera les étapes du calcul.

Partie 3

Un troisième commerçant propose le devis présenté dans le tableau ci-dessous pour l'installation et la pose d'une installation solaire de 6 kW.

  1. Compléter le devis. Aucune justification n'est demandée.

    DésignationPrix unitaireQuantitéMontant (en francs CFP)
    Installation
    Onduleur1500001150000
    Panneaux photovoltaïques...18450000
    Support métallique1500018270000
    Câbles 6 m10000...50000
    Main d'oeuvre
    Pose140000
    CONSUEL25000
    TOTAL...
    Remise 10 %...
    Prix à payer976500
  2. Faire une phrase expliquant le choix qu'Olivier pourrait faire entre le premier, le deuxième ou le troisième commerçant pour que ce soit le moins cher.
Voir la correction

Partie1 ; 1. Olivier veut faire installer des panneaux solaires chez lui. Pourquoi souhaite-t-il investir dans une telle installation ?

Le prix de l'électricité ayant augmenté, Olivier souhaite installer des panneaux solaires afin de produire sa propre électricité et ainsi réduire ses factures.

Partie1 ; 2. Un premier commerçant propose un tarif proportionnel à la puissance de l'installation : 3 kW pour 500 000 F CFP, 6 kW pour 1 000 000 F CFP, 9 kW pour 1 500 000 F CFP et 36 kW pour 6 000 000 F CFP. Calculer le coefficient de proportionnalité, arrondi à l'unité.

  • On vérifie d'abord que les couples sont proportionnels : \begin{aligned}\dfrac{1\,000\,000}{6} &= \dfrac{1\,500\,000}{9} \\ &= \dfrac{6\,000\,000}{36} \\ &\approx 166\,667\end{aligned} et \dfrac{500\,000}{3} \approx 166\,667 également.
  • Le coefficient de proportionnalité, qui permet de passer de la puissance (en kW) au coût (en F CFP), est donc \dfrac{500\,000}{3} \approx 166 667 (arrondi à l'unité).

Partie1 ; 3. Représenter, dans un repère, le coût de l'installation en fonction de la puissance, pour ce premier commerçant.

Il s'agit de placer les quatre points de coordonnées (3~;~500\,000), (6~;~1\,000\,000), (9~;~1\,500\,000) et (36~;~6\,000\,000), l'axe des abscisses portant la puissance (en kW) et l'axe des ordonnées le coût (en F CFP). Ces quatre points sont alignés avec l'origine du repère, ce qui traduit la situation de proportionnalité.

Partie2 ; 4. Un deuxième commerçant facture 140 000 F CFP par kW installé, plus 100 000 F CFP de pose. En notant x le nombre de kW installés, laquelle des trois expressions 100\,000x+140\,000, 140\,000x+100\,000 ou 240\,000x donne le coût total ?

Le prix dépend du nombre de kW x à raison de 140 000 F CFP chacun, auquel s'ajoutent 100 000 F CFP fixes pour la pose : c'est donc l'expression 140\,000x + 100\,000 qui donne le coût total.

Partie2 ; 5. Calculer, avec ce deuxième commerçant, le coût total d'une installation de 6 kW avec la pose.

  • Coût de l'installation (6 kW à 140 000 F CFP le kW) : 6 \times 140\,000 = 840\,000 (F CFP).
  • En ajoutant la pose : 840\,000 + 100\,000 = 980\,000.
  • Le coût total chez le deuxième commerçant est donc de 980 000 F CFP.

Partie3 ; 6. Un troisième commerçant présente un devis à compléter : onduleur 150 000 F CFP (1 unité, 450 000 F CFP de panneaux photovoltaïques pour 18 unités), support métallique 15 000 F CFP l'unité (18 unités, 270 000 F CFP), câbles à 10 000 F CFP l'unité (montant 50 000 F CFP), pose 140 000 F CFP, CONSUEL 25 000 F CFP, remise de 10 % et prix à payer de 976 500 F CFP. Compléter les cases manquantes (prix unitaire des panneaux, quantité de câbles, total, remise).

  • Prix unitaire d'un panneau photovoltaïque : 450\,000 \div 18 = 25 000 F CFP.
  • Quantité de câbles : 50\,000 \div 10\,000 = 5 câbles.
  • Montant total avant remise : 150\,000 + 450\,000 + 270\,000 + 50\,000 + 140\,000 + 25\,000 = 1 085 000 F CFP.
  • Montant de la remise de 10 % : 1\,085\,000 \times 0{,}1 = 108 500 F CFP.
  • Prix à payer : 1\,085\,000 - 108\,500 = 976\,500 F CFP, ce qui correspond bien à la valeur donnée.

Partie3 ; 7. En comparant les trois devis (1 000 000 F CFP, 980 000 F CFP et 976 500 F CFP pour 6 kW), quel commerçant Olivier devrait-il choisir pour payer le moins cher ?

Le premier commerçant demande 1 000 000 F CFP, le deuxième 980 000 F CFP et le troisième 976 500 F CFP. Comme 976\,500 < 980\,000 < 1\,000\,000, c'est le troisième commerçant qui propose le devis le moins cher : Olivier devrait donc choisir cette offre.