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1.Justifier que la mesure de l'angle EAD est égale à 30^{\circ}.

Le triangle ABF est équilatéral, donc l'angle FAB mesure 60^{\circ}.
ABCD est un carré, donc l'angle BAD (entre les côtés [AB] et [AD]) mesure 90^{\circ}.
Les points F, A, E sont alignés, donc les angles FAB, BAD et DAE se partagent l'angle plat : \widehat{FAB} + \widehat{BAD} + \widehat{DAE} = 180^{\circ}.
On a donc \widehat{DAE} = 180 - 60 - 90 = 30^{\circ}.

2.Donner les valeurs de J, K, M et N pour un triangle et un carré de 4 cm de côté.

Avec l'échelle 10 pas = 1 cm, un côté de 4 cm correspond à 40 pas.
Bloc triangle : J = 40 (avancer de 40 pas) et K = 120 (angle extérieur d'un triangle équilatéral : 180 - 60).
Bloc carré : M = 40 (avancer de 40 pas) et N = 90 (angle extérieur d'un carré).

3.Écrire le numéro de la figure obtenue grâce au programme principal.

Le programme répète 6 fois : dessiner un Triangle, avancer, tourner de 30^{\circ}, dessiner un Carré, avancer, tourner de 30^{\circ}.
Chaque répétition ajoute donc un triangle et un carré, avec une rotation totale de 30 + 30 = 60^{\circ}.
Sur les 6 répétitions, la rotation totale est de 6 \times 60 = 360^{\circ} : le motif se referme en formant une couronne de 6 triangles et 6 carrés alternés, régulièrement espacés tous les 30^{\circ}.
C'est la figure qui comporte le plus grand nombre de triangles et de carrés alternés régulièrement : la réponse est la Figure 3.

PartieA ; 1. Un script Scratch « triangle équilatéral » répète « avancer de … pas » et « tourner de … degrés ». Compléter les lignes pour tracer un triangle équilatéral de côté 50 pas.

On répète 3 fois : avancer de 50 pas, tourner de 120^{\circ} (l'angle extérieur du triangle équilatéral).

PartieA ; 2. Deux programmes utilisent ce bloc « triangle équilatéral » répété 6 fois, en tournant soit de 60^{\circ}, soit de 120^{\circ}, entre chaque triangle. Lequel dessine l'hexagone complet (6 triangles autour d'un centre commun) ?

Après le bloc « triangle équilatéral » (3 rotations de 120^{\circ}, soit 360^{\circ} au total), le lutin revient à son point de départ, orienté comme au début.
Pour que le triangle suivant soit la rotation du précédent d'un sixième de tour (angle de \dfrac{360}{6}=60^{\circ}), il faut tourner de 60^{\circ} entre chaque triangle : c'est le programme A.

PartieB. Un autre script trace un hexagone régulier de 50 pas de côté en répétant A fois un motif « avancer/tourner ». Recopier le bloc en complétant A et les deux instructions manquantes.

On répète 6 fois : avancer de 50 pas, puis tourner à gauche de 60^{\circ} (angle extérieur de l'hexagone régulier, \dfrac{360}{6}=60^{\circ}).

Ondonne un programme utilisant un logiciel de programmation par blocs. Le script principal, lancé au clic sur le drapeau vert, place le lutin en (-100~;~0), l'oriente à 90^{\circ} (vers la droite), efface tout, donne à la variable « côté » la valeur 80, puis exécute un bloc « Motif ». Le bloc « Motif » fait avancer le lutin de « côté » pas puis tourner de 120^{\circ} vers la gauche, trois fois de suite, puis avancer de « côté » pas et tourner de 120^{\circ} vers la droite, trois fois de suite. Aucune justification n'était demandée dans cet exercice ; on en donne malgré tout ici. 1. À quelles coordonnées le lutin se positionne-t-il juste après avoir cliqué sur le drapeau vert (juste après le bloc « aller à ») ?

Le bloc « aller à x : -100 y : 0 » place directement le lutin aux coordonnées (-100~;~0).

2.En prenant 1 cm pour 20 pas, décrire la figure obtenue en exécutant le script principal.

3.Le script principal est modifié de trois façons différentes : le script 1 trace le motif, avance de 100 pas, puis répète cela trois fois ; le script 2 trace le motif, puis le retrace en multipliant la valeur de « côté » par 1,2 à chaque fois, trois fois de suite (sans se déplacer entre deux tracés) ; le script 3 trace le motif, tourne de 120^{\circ} vers la gauche, puis répète cela trois fois. Trois figures A, B et C sont proposées : la figure A montre trois motifs de tailles croissantes autour d'un même point de départ ; la figure B montre trois motifs identiques alignés côte à côte, espacés régulièrement ; la figure C montre trois motifs identiques disposés en rosace autour d'un même point, tournés les uns par rapport aux autres. Associer chaque script à sa figure (sans justifier).

Le script 1 trace le motif, se décale de 100 pas vers la droite, puis recommence : les trois motifs sont donc identiques et alignés côte à côte, ce qui correspond à la figure B.
Le script 2 trace le motif avec un côté de 80 pas, puis, sans se déplacer, le retrace avec un côté multiplié par 1,2 (soit 96 pas), puis une troisième fois avec un côté encore multiplié par 1,2 (soit 115,2 pas) : les trois motifs sont donc de tailles croissantes autour du même point, ce qui correspond à la figure A.
Le script 3 trace le motif, tourne de 120^{\circ} autour du point de départ, puis recommence deux fois : les trois motifs sont donc identiques mais tournés les uns par rapport aux autres, en rosace, ce qui correspond à la figure C.

4.a.On s'intéresse maintenant au script 2. Combien de fois le bloc « Motif » est-il exécuté ?

Le bloc « Motif » est exécuté trois fois de suite (la boucle « répéter 3 fois » l'exécute une fois à chaque tour).

4.b.Quelle est la valeur de la variable « côté » à la fin de ce script ?

À chaque tour de la boucle, la variable « côté » est multipliée par 1,2, et la boucle s'exécute 3 fois.
La valeur finale de la variable est donc 80\times1,2^3 = 138,24.
Ce côté de 138,24 pas n'est cependant pas utilisé pour tracer un motif supplémentaire, puisque la boucle s'arrête après le troisième tour.

1.aUne piscine propose un tarif A à 5,90 € l'entrée. Calculer le prix total pour 10 entrées avec le tarif A.

Avec le tarif A, le prix de 10 entrées est 5{,}90 \times 10 = 59 €.

1.bLe tarif B coûte 4,40 € l'entrée, avec en plus une carte d'abonnement annuelle de 30 €. Calculer le prix total pour 10 entrées avec le tarif B.

Avec le tarif B, le prix de 10 entrées est 4{,}40 \times 10 + 30 = 44 + 30 = 74 €.

2.On note f(x) et g(x) les prix, en euros, payés respectivement avec le tarif A et le tarif B pour x entrées. Donner les expressions de f(x) et de g(x).

Le tarif A est proportionnel au nombre d'entrées : f(x) = 5{,}90x. Le tarif B ajoute un forfait fixe de 30 € au prix proportionnel des entrées : g(x) = 4{,}40x + 30.

3.aRésoudre l'équation 5{,}90x = 4{,}40x + 30.

On regroupe les termes en x d'un côté de l'égalité : 5{,}90x - 4{,}40x = 30, soit 1{,}5x = 30.
On en déduit x = \dfrac{30}{1{,}5} = 20.
L'ensemble des solutions de cette équation est \{20\}.

3.bQuel est le nombre d'entrées pour lequel les tarifs A et B donnent le même prix à payer ?

D'après la résolution de l'équation précédente, les deux tarifs donnent le même prix pour 20 entrées.

4.aLe nombre d'entrées relevé chaque mois de l'année est : 12 500, 13 700, 10 400, 13 600, 12 300, 11 700, 10 400, 11 600, 10 200, 13 800, 12 600 et 11 800. Calculer le nombre moyen d'entrées par mois.

La moyenne s'obtient en divisant la somme des douze valeurs mensuelles par 12.
La somme des entrées sur l'année est 12\,500 + 13\,700 + 10\,400 + 13\,600 + 12\,300 + 11\,700 + 10\,400 + 11\,600 + 10\,200 + 13\,800 + 12\,600 + 11\,800 = 144\,600.
Le nombre moyen d'entrées par mois est donc \dfrac{144\,600}{12} = 12 050 entrées.

4.bCalculer l'étendue du nombre d'entrées par mois.

L'étendue d'une série statistique est la différence entre sa plus grande et sa plus petite valeur.
Le maximum mensuel est 13 800 (octobre) et le minimum est 10 200 (septembre), donc l'étendue vaut 13\,800 - 10\,200 = 3 600 entrées.

5.La piscine a la forme d'un pavé droit de 50 m de longueur, 25 m de largeur et 3 m de profondeur. En supposant qu'elle soit entièrement remplie, déterminer, en m^{3}, le volume d'eau évacué lors de la vidange.

Le volume d'un pavé droit est le produit de ses trois dimensions : longueur \times largeur \times hauteur.
Le volume d'eau à évacuer est donc 50 \times 25 \times 3 = 3 750 m^{3}.

1.aLe motif « Fleur » est composé de cinq pétales, chaque pétale ayant la forme d'un parallélogramme KLMN construit avec 35 pas de côté [KL], un angle de 120^{\circ} en L et un côté [LM] de 20 pas. Décrire les étapes de construction de ce parallélogramme à la règle graduée et au rapporteur (1 cm représentant 5 pas).

1.bLe bloc « Pétale » construit ce parallélogramme en partant du point K, orienté vers la droite, à l'aide d'une boucle « répéter 2 fois » contenant : avancer de … pas (ligne 4), tourner à gauche de … degrés (ligne 5), avancer de … pas (ligne 6), tourner à gauche de … degrés (ligne 7). Compléter ces quatre valeurs (aucune justification attendue).

2.aLe bloc « Fleur » construit le motif complet à partir de son centre, en répétant un certain nombre de fois le bloc « Pétale » suivi d'une rotation vers la droite de 72^{\circ}. Par quelle valeur doit-on compléter la ligne 2 (nombre de répétitions), sachant que le motif comporte cinq pétales (aucune justification attendue) ?

On complète la ligne 2 par la valeur 5, puisque le motif « Fleur » comporte cinq pétales, chacun tracé par une exécution du bloc « Pétale ».

2.bExpliquer le choix de la valeur 72^{\circ} dans la ligne 4 du bloc « Fleur ».

Le motif comporte 5 pétales répartis régulièrement tout autour du centre, ce qui correspond à un tour complet de 360^{\circ}.
Entre deux pétales consécutifs, le lutin doit donc tourner de 360\div5 = 72^{\circ} : c'est la raison du choix de cette valeur.

2.cOn modifie le motif « Fleur » pour obtenir 12 pétales identiques répartis régulièrement. Quelles modifications apporter aux lignes 2 et 4 du bloc « Fleur » (aucune justification attendue) ?

Avec 12 pétales à répartir sur un tour complet, la rotation entre deux pétales devient 360\div12 = 30^{\circ}.
Ligne 2 : répéter 12 fois.
Ligne 4 : tourner de 30 degrés.

1.Une urne contient 7 jetons verts, 4 rouges, 3 bleus et 2 jaunes, indiscernables au toucher. On tire un jeton au hasard. À quel évènement correspond une probabilité de \dfrac{7}{16} : « obtenir un jeton rouge ou jaune », « obtenir un jeton qui n'est pas vert » ou « obtenir un jeton vert » ?

L'urne contient 7+4+3+2 = 16 jetons en tout, dont 7 verts.
La probabilité d'obtenir un jeton vert est donc \dfrac{7}{16} : c'est l'évènement « obtenir un jeton vert ».

2.Toujours avec cette urne, quelle est la probabilité de ne pas tirer un jeton bleu : \dfrac{13}{16}, \dfrac{3}{16} ou \dfrac{3}{4} ?

La probabilité de tirer un jeton bleu est \dfrac{3}{16} (il y a 3 jetons bleus sur 16).
La probabilité de ne pas tirer un jeton bleu est l'évènement contraire : 1-\dfrac{3}{16} = \dfrac{13}{16}.

3.Une figure est composée de vingt motifs numérotés de 1 à 20, disposés régulièrement autour d'un point O, avec un angle \widehat{AOB}=36^{\circ} (A et B étant deux points symétriques par rapport à une droite (d) passant par O). Quelle est l'image du motif 20 par la symétrie d'axe (d) : le motif 17, le motif 15 ou le motif 12 ?

Les vingt motifs sont répartis régulièrement tout autour de O, séparés d'un angle de 360^{\circ}\div20 = 18^{\circ} chacun, et la droite (d) est un axe de symétrie de la figure.
En comptant les motifs symétriques par rapport à (d) de part et d'autre de celui-ci, le motif symétrique du motif 20 est le motif 17.

4.Par quelle rotation de centre O le motif 3 est-il l'image du motif 1 : un angle de 36^{\circ}, de 72^{\circ} ou de 90^{\circ} ?

Les vingt motifs étant répartis tous les 18^{\circ} autour de O, passer du motif 1 au motif 3 correspond à un déplacement de deux motifs, soit un angle de 2\times18 = 36^{\circ}.

5.Le motif 11 est l'image du motif 1 par l'homothétie de centre O et de rapport 2. L'aire du motif 11 est-elle égale au double de l'aire du motif 1, à 4 fois cette aire, ou à sa moitié ?

Dans une homothétie de rapport k, les longueurs sont multipliées par |k| et les aires par k^{2}.
Ici k=2, donc les aires sont multipliées par 2^{2}=4 : l'aire du motif 11 est 4 fois l'aire du motif 1.

1.aLe carré ABCD de centre O est partagé en quatre polygones superposables numérotés ①②③④. Quelle est l'image du polygone ① par la symétrie centrale de centre O ?

La symétrie centrale de centre O envoie chaque polygone sur celui qui lui est diamétralement opposé par rapport à O : l'image du polygone ① est le polygone ③.

1.bQuelle est l'image du polygone ④ par la rotation de centre O qui transforme ① en ② ?

Cette rotation de centre O (d'angle 90^{\circ}) transforme ① en ②, donc ② en ③, ③ en ④, et ④ en ①. L'image du polygone ④ par cette rotation est donc le polygone ①.

2.La figure est une partie de pavage utilisant le carré ABCD comme motif de base. Quelle transformation permet de passer du polygone ① au polygone ⑤ ?

Le polygone ⑤ occupe, dans le carré voisin, la même position que le polygone ① dans le carré ABCD : on passe de ① à ⑤ par la translation de vecteur \overrightarrow{AB}.

3.aOn veut recouvrir un tissu rectangulaire de 315 cm sur 270 cm avec des carrés identiques, sans découpe, de côté un nombre entier de centimètres. Montrer qu'on peut choisir des carrés de 9 cm de côté.

Il faut que le côté du carré soit un diviseur commun à 315 et à 270.
315 = 3^2\times5\times7 et 270 = 2\times3^3\times5.
Le nombre 3^2 = 9 est un diviseur commun à ces deux décompositions : on peut donc bien choisir des carrés de 9 cm de côté.

3.bCombien de carrés de 9 cm de côté seront alors imprimés sur le tissu ?

Dans la longueur : 315 \div 9 = 35 carrés. Dans la largeur : 270\div9 = 30 carrés.
Le nombre total de carrés imprimés est donc 35\times30 = 1 050 carrés.

1.Pour un décor de théâtre, on découpe dans une plaque rectangulaire ABCD (4 m sur 2 m) un triangle ADM rectangle en A, avec AD = 2 m et l'angle \widehat{ADM} = 60^{\circ} (M appartenant au côté [AB]). Montrer que AM mesure environ 3,46 m.

Dans le triangle ADM rectangle en A, [AD] est le côté adjacent à l'angle \widehat{ADM} et [AM] est le côté opposé à cet angle.
SOH-CAH-TOA : on utilise la tangente, \tan(\widehat{ADM}) = \dfrac{AM}{AD}, soit \tan(60^{\circ}) = \dfrac{AM}{2}.
Donc \begin{aligned}AM &= 2\times\tan(60^{\circ}) \\ &\approx 3{,}46\end{aligned}
AM mesure environ 3,46 m.

2.Le reste de la plaque (non utilisé pour les triangles) correspond au segment [MB] sur le côté [AB]. Calculer, au centième près, la proportion de la plaque qui n'est pas utilisée.

Comme M appartient à [AB] et AB = 4 m, on a \begin{aligned}MB &= AB-AM \\ &\approx 4-3{,}4641 \\ &\approx 0{,}5359\end{aligned} m.
La proportion de la plaque non utilisée est \dfrac{MB}{AB} \approx \dfrac{0{,}5359}{4} \approx 0,13 au centième près.

3.Pour que la superposition des triangles soit harmonieuse, il faut que les triangles AMD, PNM et PDN (obtenus par le découpage) soient semblables. Le démontrer.

Dans le triangle ADM, la somme des angles vaut 180^{\circ}. Il possède un angle droit en A et un angle de 60^{\circ} en D, donc son angle en M vaut 180-90-60 = 30^{\circ}.
Le triangle DPN est rectangle en P (par construction du découpage) et son angle en D mesure 90-60 = 30^{\circ} (angles complémentaires le long de la même droite (AB)).
Le triangle DPN a donc deux angles de mêmes mesures (90^{\circ} et 30^{\circ}) que le triangle ADM : DPN et ADM sont semblables.
De même, le triangle MPN est rectangle en P et son angle en M mesure 90-30 = 60^{\circ} : il a deux angles de mêmes mesures (90^{\circ} et 60^{\circ}) que ADM, donc MPN et ADM sont semblables.
Deux triangles semblables à un même troisième triangle étant semblables entre eux, les trois triangles AMD, PNM et PDN sont bien semblables.

4.Le coefficient d'agrandissement pour passer du triangle PDN au triangle AMD doit être inférieur à 1,5. Est-ce le cas ?

Le rapport d'agrandissement de PDN vers AMD peut se lire sur les hypoténuses correspondantes, \dfrac{DM}{DN}.
Dans le triangle ADM rectangle en A, \cos(\widehat{ADM}) = \dfrac{AD}{DM}, soit \cos(60^{\circ}) = \dfrac{2}{DM}, d'où \begin{aligned}DM &= \dfrac{2}{\cos(60^{\circ})} \\ &= 4\end{aligned} m.
Par ailleurs \begin{aligned}DN &= AM \\ &\approx 3{,}46\end{aligned} m (triangles semblables, côtés homologues).
Le rapport d'agrandissement est \begin{aligned}\dfrac{DM}{DN} &= \dfrac{4}{3{,}46} \\ &\approx 1{,}15\end{aligned}
Comme 1{,}15 < 1{,}5, le coefficient d'agrandissement est bien inférieur à 1,5 : Joanna peut être satisfaite.