Symétrie : Tous les exercices

Question 1. Le prix de 3 melons est 8,40 €. Combien coûtent 5 melons ?

Un melon coûte 8{,}40\div3 = 2{,}80 €, donc 5 melons coûtent 5\times2{,}80 = 14 €.

Question 2. Quelle transformation permet de passer de la figure 1 à la figure 2 (deux figures identiques, orientées différemment, sur une grille) ?

Les deux figures ont des orientations « miroir » l'une de l'autre : c'est une symétrie axiale (par rapport à une droite entre les deux figures).

Question 3. Un article coûte 350 €. Son prix augmente de 20 %. Quel est son nouveau prix ?

Augmenter de 20 %, c'est multiplier par 1+\dfrac{20}{100}=1{,}20 : 350\times1{,}2 = 420 €.

Question 4. ABC est un triangle rectangle en B avec AB = 6 cm, BC = 4,5 cm, AC = 7,5 cm. Quelle est l'aire du triangle ABC ?

Avec [AB] et [BC] comme côtés de l'angle droit : aire = \dfrac{6\times4{,}5}{2} = 13,5 cm^{2}.

Question 5. Donner la forme développée et réduite de (2x+3)(x-4).

(2x+3)(x-4) = 2x^2-8x+3x-12 = 2x^2-5x-12.

Question 6. Une pyramide a une base rectangulaire de 7 cm \times 4 cm et une hauteur de 12 cm. Quel est son volume ?

\begin{aligned}\mathcal{B} &= 7\times4 \\ &= 28\end{aligned} cm^{2}, donc V = \dfrac{\mathcal{B}\times h}{3} = \dfrac{28\times12}{3} = 112 cm^{3}.

1.Une urne contient 7 jetons verts, 4 rouges, 3 bleus et 2 jaunes, indiscernables au toucher. On tire un jeton au hasard. À quel évènement correspond une probabilité de \dfrac{7}{16} : « obtenir un jeton rouge ou jaune », « obtenir un jeton qui n'est pas vert » ou « obtenir un jeton vert » ?

L'urne contient 7+4+3+2 = 16 jetons en tout, dont 7 verts.
La probabilité d'obtenir un jeton vert est donc \dfrac{7}{16} : c'est l'évènement « obtenir un jeton vert ».

2.Toujours avec cette urne, quelle est la probabilité de ne pas tirer un jeton bleu : \dfrac{13}{16}, \dfrac{3}{16} ou \dfrac{3}{4} ?

La probabilité de tirer un jeton bleu est \dfrac{3}{16} (il y a 3 jetons bleus sur 16).
La probabilité de ne pas tirer un jeton bleu est l'évènement contraire : 1-\dfrac{3}{16} = \dfrac{13}{16}.

3.Une figure est composée de vingt motifs numérotés de 1 à 20, disposés régulièrement autour d'un point O, avec un angle \widehat{AOB}=36^{\circ} (A et B étant deux points symétriques par rapport à une droite (d) passant par O). Quelle est l'image du motif 20 par la symétrie d'axe (d) : le motif 17, le motif 15 ou le motif 12 ?

Les vingt motifs sont répartis régulièrement tout autour de O, séparés d'un angle de 360^{\circ}\div20 = 18^{\circ} chacun, et la droite (d) est un axe de symétrie de la figure.
En comptant les motifs symétriques par rapport à (d) de part et d'autre de celui-ci, le motif symétrique du motif 20 est le motif 17.

4.Par quelle rotation de centre O le motif 3 est-il l'image du motif 1 : un angle de 36^{\circ}, de 72^{\circ} ou de 90^{\circ} ?

Les vingt motifs étant répartis tous les 18^{\circ} autour de O, passer du motif 1 au motif 3 correspond à un déplacement de deux motifs, soit un angle de 2\times18 = 36^{\circ}.

5.Le motif 11 est l'image du motif 1 par l'homothétie de centre O et de rapport 2. L'aire du motif 11 est-elle égale au double de l'aire du motif 1, à 4 fois cette aire, ou à sa moitié ?

Dans une homothétie de rapport k, les longueurs sont multipliées par |k| et les aires par k^{2}.
Ici k=2, donc les aires sont multipliées par 2^{2}=4 : l'aire du motif 11 est 4 fois l'aire du motif 1.

1.aLe carré ABCD de centre O est partagé en quatre polygones superposables numérotés ①②③④. Quelle est l'image du polygone ① par la symétrie centrale de centre O ?

La symétrie centrale de centre O envoie chaque polygone sur celui qui lui est diamétralement opposé par rapport à O : l'image du polygone ① est le polygone ③.

1.bQuelle est l'image du polygone ④ par la rotation de centre O qui transforme ① en ② ?

Cette rotation de centre O (d'angle 90^{\circ}) transforme ① en ②, donc ② en ③, ③ en ④, et ④ en ①. L'image du polygone ④ par cette rotation est donc le polygone ①.

2.La figure est une partie de pavage utilisant le carré ABCD comme motif de base. Quelle transformation permet de passer du polygone ① au polygone ⑤ ?

Le polygone ⑤ occupe, dans le carré voisin, la même position que le polygone ① dans le carré ABCD : on passe de ① à ⑤ par la translation de vecteur \overrightarrow{AB}.

3.aOn veut recouvrir un tissu rectangulaire de 315 cm sur 270 cm avec des carrés identiques, sans découpe, de côté un nombre entier de centimètres. Montrer qu'on peut choisir des carrés de 9 cm de côté.

Il faut que le côté du carré soit un diviseur commun à 315 et à 270.
315 = 3^2\times5\times7 et 270 = 2\times3^3\times5.
Le nombre 3^2 = 9 est un diviseur commun à ces deux décompositions : on peut donc bien choisir des carrés de 9 cm de côté.

3.bCombien de carrés de 9 cm de côté seront alors imprimés sur le tissu ?

Dans la longueur : 315 \div 9 = 35 carrés. Dans la largeur : 270\div9 = 30 carrés.
Le nombre total de carrés imprimés est donc 35\times30 = 1 050 carrés.

1.Pour un décor de théâtre, on découpe dans une plaque rectangulaire ABCD (4 m sur 2 m) un triangle ADM rectangle en A, avec AD = 2 m et l'angle \widehat{ADM} = 60^{\circ} (M appartenant au côté [AB]). Montrer que AM mesure environ 3,46 m.

Dans le triangle ADM rectangle en A, [AD] est le côté adjacent à l'angle \widehat{ADM} et [AM] est le côté opposé à cet angle.
SOH-CAH-TOA : on utilise la tangente, \tan(\widehat{ADM}) = \dfrac{AM}{AD}, soit \tan(60^{\circ}) = \dfrac{AM}{2}.
Donc \begin{aligned}AM &= 2\times\tan(60^{\circ}) \\ &\approx 3{,}46\end{aligned}
AM mesure environ 3,46 m.

2.Le reste de la plaque (non utilisé pour les triangles) correspond au segment [MB] sur le côté [AB]. Calculer, au centième près, la proportion de la plaque qui n'est pas utilisée.

Comme M appartient à [AB] et AB = 4 m, on a \begin{aligned}MB &= AB-AM \\ &\approx 4-3{,}4641 \\ &\approx 0{,}5359\end{aligned} m.
La proportion de la plaque non utilisée est \dfrac{MB}{AB} \approx \dfrac{0{,}5359}{4} \approx 0,13 au centième près.

3.Pour que la superposition des triangles soit harmonieuse, il faut que les triangles AMD, PNM et PDN (obtenus par le découpage) soient semblables. Le démontrer.

Dans le triangle ADM, la somme des angles vaut 180^{\circ}. Il possède un angle droit en A et un angle de 60^{\circ} en D, donc son angle en M vaut 180-90-60 = 30^{\circ}.
Le triangle DPN est rectangle en P (par construction du découpage) et son angle en D mesure 90-60 = 30^{\circ} (angles complémentaires le long de la même droite (AB)).
Le triangle DPN a donc deux angles de mêmes mesures (90^{\circ} et 30^{\circ}) que le triangle ADM : DPN et ADM sont semblables.
De même, le triangle MPN est rectangle en P et son angle en M mesure 90-30 = 60^{\circ} : il a deux angles de mêmes mesures (90^{\circ} et 60^{\circ}) que ADM, donc MPN et ADM sont semblables.
Deux triangles semblables à un même troisième triangle étant semblables entre eux, les trois triangles AMD, PNM et PDN sont bien semblables.

4.Le coefficient d'agrandissement pour passer du triangle PDN au triangle AMD doit être inférieur à 1,5. Est-ce le cas ?

Le rapport d'agrandissement de PDN vers AMD peut se lire sur les hypoténuses correspondantes, \dfrac{DM}{DN}.
Dans le triangle ADM rectangle en A, \cos(\widehat{ADM}) = \dfrac{AD}{DM}, soit \cos(60^{\circ}) = \dfrac{2}{DM}, d'où \begin{aligned}DM &= \dfrac{2}{\cos(60^{\circ})} \\ &= 4\end{aligned} m.
Par ailleurs \begin{aligned}DN &= AM \\ &\approx 3{,}46\end{aligned} m (triangles semblables, côtés homologues).
Le rapport d'agrandissement est \begin{aligned}\dfrac{DM}{DN} &= \dfrac{4}{3{,}46} \\ &\approx 1{,}15\end{aligned}
Comme 1{,}15 < 1{,}5, le coefficient d'agrandissement est bien inférieur à 1,5 : Joanna peut être satisfaite.

1.ABC est un triangle isocèle en C. Quelle transformation permet de compléter la figure pour obtenir un losange ACBD ?

Une symétrie centrale de centre le milieu de [AB] (ou, de façon équivalente, une symétrie axiale par rapport à la droite (AB)) permet d'obtenir le point D et donc le losange ACBD.

2.Une translation, répétée plusieurs fois, permet ensuite de prolonger la frise obtenue. De quelle translation s'agit-il ?

Il s'agit de la translation qui transforme C en B (ou, de manière équivalente, qui transforme A en D).