Fiche d'exercices Logimaths | 1ère spécialité
Fiche d'exercices : Fonction exponentielle
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Simplifier⭐
Écris chaque expression sous la forme e^k :
- A = e^4 \times e^{-7}
- B = \dfrac{e^5}{e^{-2}}
- C = (e^{-3})^2 \times e^{10}
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. A = e^{-3}.
2. \begin{aligned}B &= e^{5 - (-2)} \\ &= e^7\end{aligned}
3. \begin{aligned}C &= e^{-6 + 10} \\ &= e^4\end{aligned}
2. \begin{aligned}B &= e^{5 - (-2)} \\ &= e^7\end{aligned}
3. \begin{aligned}C &= e^{-6 + 10} \\ &= e^4\end{aligned}
Exercice 2 : Équations⭐
Résous :
- e^{3x} = e^{x + 8}
- e^{x^2} = e^{4}
- e^x = -2
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. Par injectivité : 3x = x + 8, soit x = 4.
2. x^2 = 4 : x = 2 ou x = −2.
3. Aucune solution : e^x > 0 toujours.
2. x^2 = 4 : x = 2 ou x = −2.
3. Aucune solution : e^x > 0 toujours.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Inéquations⭐⭐
Résous :
- e^{2x} \leq e^{x + 5}
- e^{-x} > 1 (écris 1 comme une exponentielle !)
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. exp strictement croissante : 2x \leq x + 5, soit x \leq 5.
2. e^{-x} > e^0 donne -x > 0, soit x < 0.
2. e^{-x} > e^0 donne -x > 0, soit x < 0.
Exercice 4 : Dériver⭐⭐
Dérive chaque fonction :
- f(x) = 3e^x + x^2
- g(x) = e^{5x} puis h(x) = e^{-2x}
- k(x) = x\,e^x (produit)
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. f'(x) = 3e^x + 2x.
2. g'(x) = 5e^{5x} et h'(x) = -2e^{-2x}.
3. \begin{aligned}k'(x) &= e^x + x\,e^x \\ &= (1 + x)\,e^x\end{aligned}
2. g'(x) = 5e^{5x} et h'(x) = -2e^{-2x}.
3. \begin{aligned}k'(x) &= e^x + x\,e^x \\ &= (1 + x)\,e^x\end{aligned}
Exercice 5 : Le signe, systématiquement⭐⭐
- Quel est le signe de e^{-3x} selon x ?
- Étudie le signe de (2x - 6)\,e^x selon x.
- Résous (x + 4)\,e^{2x} = 0.
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. Strictement positif pour tout x (une exponentielle, toujours).
2. Du signe de 2x - 6 : négatif avant 3, positif après.
3. e^{2x} \neq 0 : l'équation équivaut à x + 4 = 0, soit x = −4.
2. Du signe de 2x - 6 : négatif avant 3, positif après.
3. e^{2x} \neq 0 : l'équation équivaut à x + 4 = 0, soit x = −4.
Exercice 6 : Étude de fonction⭐⭐
Soit f(x) = (x - 1)\,e^x sur ℝ.
- Montre que f'(x) = x\,e^x.
- Dresse le tableau de variations de f.
- Donne le minimum de f.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. Produit ✔ : \begin{aligned}f'(x) &= e^x + (x - 1)\,e^x \\ &= x\,e^x\end{aligned}
2. f′ du signe de x : f décroît sur ]-\infty\,;\,0], croît sur [0\,;\,+\infty[.
3. Minimum f(0) = -1 en x = 0.
2. f′ du signe de x : f décroît sur ]-\infty\,;\,0], croît sur [0\,;\,+\infty[.
3. Minimum f(0) = -1 en x = 0.
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Modélisation⭐⭐⭐
Une culture bactérienne suit {N(t) = 200\,e^{0{,}5t}} (t en heures).
- Combien de bactéries au départ ? Au bout de 2 heures (on donne {e \approx 2{,}72}) ?
- Calcule N'(t) et vérifie que {N'(t) = 0{,}5\,N(t)}. Interprète cette égalité.
- Justifie que la population ne cesse jamais de croître.
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. N(0) = 200 ; \begin{aligned}N(2) &= 200\,e^1 \\ &\approx 544\end{aligned} bactéries.
2. \begin{aligned}N'(t) &= 200 \times 0{,}5\,e^{0{,}5t} \\ &= 0{,}5\,N(t)\end{aligned} La vitesse de croissance est proportionnelle à la population (chaque bactérie contribue autant à la reproduction) : c'est la signature de l'exponentielle.
3. N'(t) = 100\,e^{0{,}5t} > 0 pour tout t : N est strictement croissante.
2. \begin{aligned}N'(t) &= 200 \times 0{,}5\,e^{0{,}5t} \\ &= 0{,}5\,N(t)\end{aligned} La vitesse de croissance est proportionnelle à la population (chaque bactérie contribue autant à la reproduction) : c'est la signature de l'exponentielle.
3. N'(t) = 100\,e^{0{,}5t} > 0 pour tout t : N est strictement croissante.
Exercice 8 : Synthèse type bac⭐⭐⭐
Soit f(x) = (2 - x)\,e^x sur ℝ.
- Montre que f'(x) = (1 - x)\,e^x.
- Étudie les variations de f et donne son maximum.
- Résous f(x) = 0, puis dresse le tableau de signes de f.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. \begin{aligned}f'(x) &= -e^x + (2 - x)\,e^x \\ &= (1 - x)\,e^x\end{aligned} ✔
2. f′ du signe de 1 − x : f croît jusqu'à x = 1, maximum \begin{aligned}f(1) &= e \\ &\approx 2{,}72\end{aligned} puis décroît.
3. e^x \neq 0 donc f(x) = 0 ⟺ x = 2 : f est du signe de 2 − x, positive avant 2, négative après.
2. f′ du signe de 1 − x : f croît jusqu'à x = 1, maximum \begin{aligned}f(1) &= e \\ &\approx 2{,}72\end{aligned} puis décroît.
3. e^x \neq 0 donc f(x) = 0 ⟺ x = 2 : f est du signe de 2 − x, positive avant 2, négative après.