Fiche de cours Logimaths | 1ère spécialité

Fiche de cours : Fonction exponentielle

La fonction égale à sa propre dérivée : celle qui transforme les sommes en produits

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I. La définition

L'exponentielle en une phrase Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que f' = f et f(0) = 1 : c'est la fonction exponentielle, notée \exp(x) = e^x, avec \begin{aligned}e &= e^1 \\ &\approx 2{,}718\end{aligned}
Elle est SA PROPRE dérivée : en chaque point, la pente de la courbe égale la hauteur. C'est la fonction des phénomènes dont la vitesse de croissance est proportionnelle à la taille (populations, intérêts composés, radioactivité).

Deux propriétés vitales

e^x > 0 pour TOUT réel x : l'exponentielle ne s'annule jamais, ne devient jamais négative (même e^{-100} est un petit nombre strictement positif) ;
exp est strictement croissante sur ℝ (sa dérivée e^x est positive) : donc e^a = e^b \iff a = b et {e^a < e^b \iff a < b}.

🎛️ À toi de jouer : la courbe de exp, toujours au-dessus de l'axe

Fais glisser le point M le long de la courbe.
À droite, elle s'envole ; à gauche, elle s'écrase sur l'axe des abscisses sans jamais le toucher.
C'est le e^x > 0 de la propriété ci-dessus, vu à l'œil.

la courbe de exp l'asymptote y = 0

🔍 La loupe zoome vers l'axe : l'écart devient minuscule, mais jamais nul.

📊 Les quatre sœurs : e^x, −e^x, e^−x, −e^−x

Ce sont les mêmes points, retournés.
Un signe devant retourne la courbe par rapport à l'axe des abscisses ; un signe dans l'exposant, par rapport à l'axe des ordonnées ; les deux à la fois font le demi-tour autour de l'origine.
Dans les quatre cas, la droite y = 0 reste l'asymptote, et la courbe ne la touche jamais.

y = e^{x}positive, croissante : elle explose à droite

y = -e^{x}miroir par rapport à l'axe des abscisses

y = e^{-x}miroir par rapport à l'axe des ordonnées

y = -e^{-x}demi-tour autour de l'origine

Les quatre passent par un point de l'axe des ordonnées, à la hauteur \pm 1 : c'est e^0 = 1, au signe près.

🎛️ À toi de jouer : retourne la courbe toi-même

La fonction tracée est f(x) = a\,e^{bx}.
Le curseur a la retourne haut-bas, le curseur b la retourne gauche-droite.
Les quatre cas de la page précédente ne sont que quatre positions de ces deux curseurs : les boutons t'y emmènent directement.

a : b :

Mets a = 0 : il ne reste que la droite y = 0. C'est le seul cas où la courbe touche son asymptote, et justement ce n'est plus une exponentielle.

🎮 Entraîne-toi : vrai ou faux ?

Positivité stricte, croissance, valeurs clés : les réflexes de base.

II. Les règles de calcul (l'algèbre des exposants)

Sommes en produits Pour tous réels a, b et tout entier n :

e^{a+b} = e^a \times e^b (la propriété fondatrice) ;
e^{-a} = \dfrac{1}{e^a} et e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b} ;
(e^a)^n = e^{na} ;
e^0 = 1.

Tout se passe comme pour les puissances de 10 : les exposants s'additionnent au produit, se soustraient au quotient, se multiplient à la puissance.

Exemple rédigé : simplifier \begin{aligned}\dfrac{e^5 \times e^{-2}}{e^{-4}} &= e^{5 - 2 + 4} \\ &= e^7\end{aligned} \begin{aligned}(e^3)^2 \times e^{-6} &= e^6 \times e^{-6} \\ &= e^0 \\ &= 1\end{aligned}
Un seul but : tout ramener à UN SEUL exposant, puis compter.

🎛️ À toi de jouer : la somme des exposants devient un produit

Règle a et b.
Sur l'axe des abscisses, on ajoute : a puis b donnent a+b.
Sur l'axe des ordonnées, la lecture multiplie : e^a \times e^b tombe exactement sur e^{a+b}.

a : b :

Mets b = -a : la somme retombe à 0, et le produit à e^0 = 1. C'est la propriété e^{-a} = \tfrac{1}{e^a}.

🎮 Entraîne-toi : les règles des exposants

Produit = somme des exposants, quotient = différence, puissance = produit.

🎮 Entraîne-toi : trouver l'exposant

Réduis tout à e puissance k, puis donne k.

III. Dériver avec l'exponentielle

e^x et e^{ax}

(e^x)' = e^x (par définition !) ;
pour a réel : \left(e^{ax}\right)' = a\,e^{ax} (cas particulier de la dérivée de g(ax + b)) : ainsi (e^{3x})' = 3e^{3x} et {(e^{-x})' = -e^{-x}}.

Avec les opérations du chapitre Dérivation, dérivons f(x) = x\,e^x. C'est un produit, on pose donc :

u(x) = x, d'où u'(x) = 1 ;
v(x) = e^x, d'où v'(x) = e^x.

La formule (u \times v)' = u'v + uv' donne alors :\begin{aligned}(x\,e^x)' &= 1 \times e^x + x \times e^x \\ &= e^x + x\,e^x \\ &= (1 + x)\,e^x\end{aligned}On garde le coefficient 1 sur la première ligne : c'est u', il ne disparaît qu'au calcul suivant.

Étudier une fonction avec exponentielle Pour f(x) = (x + 2)\,e^x, même découpage : u(x) = x + 2 et v(x) = e^x, donc u'(x) = 1 et v'(x) = e^x :\begin{aligned}f'(x) &= 1 \times e^x + (x + 2) \times e^x \\ &= e^x + (x + 2)\,e^x \\ &= (x + 3)\,e^x\end{aligned}Comme e^x > 0 TOUJOURS, f′ est du signe de x + 3 : f décroît avant −3, croît après, minimum f(-3) = -e^{-3}.
Le réflexe qui fait gagner 5 minutes : l'exponentielle en facteur ne change jamais le signe.

🎮 Entraîne-toi : dériver e^{ax}

Le coefficient de x descend en facteur : (e^{ax})' = a\,e^{ax}.

IV. Exponentielle et suites géométriques

e^{na} : une suite géométrique Pour a fixé, la suite \begin{aligned}u_n &= e^{na} \\ &= (e^a)^n\end{aligned} est géométrique de raison q = e^a :

si a > 0 : q > 1, croissance exponentielle ;
si a < 0 : 0 < q < 1, décroissance vers 0.

C'est le pont entre les chapitres : une évolution de +5 % par an (géométrique, q = 1,05) se modélise aussi en continu par e^{at} : l'exponentielle est la version « temps continu » des suites géométriques.

⚠️ e^x n'est pas « x fois e » \begin{aligned}e^3 &= e \times e \times e \\ &\approx 20{,}1\end{aligned} pas 3e ≈ 8,15. Et e^{x+1} = e \times e^x : passer de x à x + 1 multiplie par e (≈ 2,72), il n'ajoute rien : c'est toute la violence de la croissance exponentielle.

👆 ▶ À toi : résous e^{2x} = e^{x+3}. Vérifie

L'exponentielle est strictement croissante : deux exponentielles sont donc égales si, et seulement si, leurs exposants le sont.\begin{aligned}e^{2x} = e^{x+3} &\iff 2x = x+3 && \quad \text{car } \text{exp est strictement croissante} \\ &\iff x = \mathbf{3}\end{aligned}Vérification (elle fait partie de la réponse, on ne la saute pas) : d'un côté e^{2 \times 3} = e^{6}, de l'autre e^{3+3} = e^{6}. Les deux membres valent le même nombre, donc x = 3 est bien la solution.

Sans la stricte croissance, on n'aurait pas le droit de passer des exponentielles aux exposants. C'est elle qui transforme l'équation en une équation ordinaire.

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