Fiche d'exercices Logimaths | 1ère spécialité
Fiche d'exercices : Produit scalaire
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : En coordonnées⭐
Dans un repère orthonormé, \vec{u}(2\,;\,-3), \vec{v}(4\,;\,1) et \vec{w}(-1\,;\,5).
- Calcule \vec{u} \cdot \vec{v} et \vec{u} \cdot \vec{w}.
- Calcule \|\vec{u}\|^2 puis \|\vec{v}\| (valeur exacte).
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. \begin{aligned}\vec{u} \cdot \vec{v} &= 8 - 3 \\ &= 5\end{aligned} et \begin{aligned}\vec{u} \cdot \vec{w} &= -2 - 15 \\ &= -17\end{aligned}
2. \begin{aligned}\|\vec{u}\|^2 &= 4 + 9 \\ &= 13\end{aligned} et \begin{aligned}\|\vec{v}\| &= \sqrt{16 + 1} \\ &= \sqrt{17}\end{aligned}
2. \begin{aligned}\|\vec{u}\|^2 &= 4 + 9 \\ &= 13\end{aligned} et \begin{aligned}\|\vec{v}\| &= \sqrt{16 + 1} \\ &= \sqrt{17}\end{aligned}
Exercice 2 : Avec l'angle⭐
- \|\vec{u}\| = 4, \|\vec{v}\| = 5, angle de 60°. Calcule \vec{u} \cdot \vec{v}.
- Même question avec un angle de 120°.
- Et avec un angle de 90° ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. 4 \times 5 \times \dfrac{1}{2} = 10.
2. 4 \times 5 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -10 (angle obtus : produit scalaire négatif).
3. 0 : vecteurs orthogonaux.
2. 4 \times 5 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -10 (angle obtus : produit scalaire négatif).
3. 0 : vecteurs orthogonaux.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Avec le projeté orthogonal⭐⭐
ABCD est un carré de côté 6, et I est le milieu de [BC].
- Calcule \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} (projette C sur (AB)).
- Calcule \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AI}.
- Calcule \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}.
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. Le projeté de C sur (AB) est B : {\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = 36}.
2. Le projeté de I sur (AB) est B aussi : 36 (même projeté, même produit scalaire !).
3. Côtés perpendiculaires : 0.
2. Le projeté de I sur (AB) est B aussi : 36 (même projeté, même produit scalaire !).
3. Côtés perpendiculaires : 0.
Exercice 4 : Orthogonalité⭐⭐
- \vec{u}(3\,;\,-2) et \vec{v}(4\,;\,6) sont-ils orthogonaux ?
- Détermine t pour que \vec{a}(t\,;\,2) et \vec{b}(3\,;\,-6) soient orthogonaux.
- Donne un vecteur orthogonal à \vec{w}(5\,;\,-7) sans calcul.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. 12 - 12 = 0 : oui.
2. 3t - 12 = 0 : t = 4.
3. (7\,;\,5) (le réflexe (−b ; a), ou son opposé).
2. 3t - 12 = 0 : t = 4.
3. (7\,;\,5) (le réflexe (−b ; a), ou son opposé).
Exercice 5 : Normes et polarisation⭐⭐
On sait que \|\vec{u}\| = 3, \|\vec{v}\| = 5 et {\|\vec{u} + \vec{v}\| = 7}.
- Calcule \vec{u} \cdot \vec{v} avec l'identité de polarisation (l'identité remarquable des vecteurs).
- Déduis-en \cos(\vec{u}, \vec{v}) puis l'angle.
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. \begin{aligned}\vec{u} \cdot \vec{v} &= \dfrac{1}{2}(49 - 9 - 25) \\ &= \dfrac{15}{2}\end{aligned}
2. \begin{aligned}\cos &= \dfrac{15/2}{3 \times 5} \\ &= \dfrac{1}{2}\end{aligned} : angle de 60° (π/3).
2. \begin{aligned}\cos &= \dfrac{15/2}{3 \times 5} \\ &= \dfrac{1}{2}\end{aligned} : angle de 60° (π/3).
Exercice 6 : Al-Kashi : trouver un côté, puis un angle⭐⭐
- Dans un triangle, b = 7, c = 8 et  = 60°. Calcule a.
- Dans un triangle de côtés a = 7, b = 3, c = 5, calcule \cos(\hat{A}) puis Â.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. \begin{aligned}a^2 &= 49 + 64 - 2 \times 7 \times 8 \times \dfrac{1}{2} \\ &= 113 - 56 \\ &= 57\end{aligned} \begin{aligned}a &= \sqrt{57} \\ &\approx 7{,}5\end{aligned}
2. \begin{aligned}\cos(\hat{A}) &= \dfrac{9 + 25 - 49}{2 \times 3 \times 5} \\ &= \dfrac{-15}{30} \\ &= -\dfrac{1}{2}\end{aligned} : Â = 120° (cosinus négatif = angle obtus).
2. \begin{aligned}\cos(\hat{A}) &= \dfrac{9 + 25 - 49}{2 \times 3 \times 5} \\ &= \dfrac{-15}{30} \\ &= -\dfrac{1}{2}\end{aligned} : Â = 120° (cosinus négatif = angle obtus).
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Triangle en coordonnées⭐⭐⭐
A(1 ; 2), B(5 ; 4) et C(2 ; 6) dans un repère orthonormé.
- Calcule les coordonnées de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}, puis \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}.
- Le triangle est-il rectangle en A ?
- Vérifie l'angle droit autrement, avec les longueurs (réciproque de Pythagore).
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. \overrightarrow{AB}(4\,;\,2), \overrightarrow{AC}(1\,;\,4) : produit scalaire \begin{aligned}4 + 8 &= 12 \\ &\neq 0\end{aligned}
2. Non : le produit scalaire en A n'est pas nul.
3. AB^2 = 20, AC^2 = 17, \begin{aligned}BC^2 &= 9 + 4 \\ &= 13\end{aligned} Aucune somme de deux carrés n'égale le troisième : pas d'angle droit du tout, cohérent.
2. Non : le produit scalaire en A n'est pas nul.
3. AB^2 = 20, AC^2 = 17, \begin{aligned}BC^2 &= 9 + 4 \\ &= 13\end{aligned} Aucune somme de deux carrés n'égale le troisième : pas d'angle droit du tout, cohérent.
Exercice 8 : Synthèse type bac : la force qui tire⭐⭐⭐
Un traîneau est tiré sur 50 m par une corde exerçant une force de 200 N, inclinée de 60° par rapport au sol. Le travail de la force est W = \vec{F} \cdot \vec{d} (en joules).
- Calcule W.
- Que devient W si la corde est horizontale (0°) ? Verticale (90°) ?
- Pourquoi tirer avec une corde très inclinée est-il inefficace ? Réponds avec le cosinus.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. \begin{aligned}W &= 200 \times 50 \times \cos(60°) \\ &= 10\,000 \times \dfrac{1}{2} \\ &= 5000\end{aligned} J.
2. Horizontale : W = 10\,000 J (cos = 1, le maximum) ; verticale : W = 0 J (cos = 0, la force ne fait pas avancer).
3. Seule la composante de la force ALIGNÉE avec le déplacement travaille : c'est exactement le facteur cos de l'angle, la définition géométrique du produit scalaire en action.
2. Horizontale : W = 10\,000 J (cos = 1, le maximum) ; verticale : W = 0 J (cos = 0, la force ne fait pas avancer).
3. Seule la composante de la force ALIGNÉE avec le déplacement travaille : c'est exactement le facteur cos de l'angle, la définition géométrique du produit scalaire en action.