Fiche de cours Logimaths | 1ère spécialité

Fiche de cours : Produit scalaire

Reconnaître un angle droit, calculer une longueur, retrouver un angle

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I. Trois définitions pour un même nombre

Le produit scalaire Le produit scalaire de deux vecteurs est un NOMBRE (pas un vecteur !), calculable de trois façons équivalentes :

avec l'angle : {\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})} ;
avec le projeté orthogonal H de C sur (AB) : \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}, ce qui vaut + AB × AH ou − AB × AH selon le sens (expliqué juste en dessous) ;
avec les coordonnées (repère orthonormé) : \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'.

Et \begin{aligned}\vec{u} \cdot \vec{u} &= \|\vec{u}\|^2 \\ &= x^2 + y^2\end{aligned}

D’où vient le ± du projeté \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AH} sont portés par la même droite (AB). Deux vecteurs colinéaires, il n’y a donc que deux possibilités : ils vont dans le même sens, ou en sens contraires. C’est tout le ±.

Même sens (H du côté de B, angle \widehat{BAC} aigu) : \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AH ;
sens contraires (H de l’autre côté de A, angle \widehat{BAC} obtus) : {\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -\,AB \times AH}.

Le signe est toujours celui de \cos\widehat{BAC} : positif si l’angle est aigu, négatif s’il est obtus, et nul si l’angle est droit ; dans ce dernier cas, H vient se confondre avec A, donc AH = 0.

🎯 Atelier : trois formules, un seul nombre

Attrape le bout du vecteur \vec{u} ou du vecteur \vec{v} avec le doigt ou la souris. Les trois calculs sont recalculés à chaque déplacement : ils donnent toujours le même résultat. C'est ça, le produit scalaire : un seul nombre, trois chemins pour y arriver.

avec les coordonnées

avec le projeté H

avec l'angle

Regarde le segment [OH] : il change de couleur quand H bascule de l'autre côté de O. C'est exactement le moment où le produit scalaire devient négatif.

Choisir la bonne formule

Les angles sont connus → formule du cosinus ;
la figure a des angles droits → projeté orthogonal ;
les coordonnées sont données → xx' + yy'.

Exemple express :\vec{u}(3\,;\,-2) et \vec{v}(4\,;\,5) : \begin{aligned}\vec{u} \cdot \vec{v} &= 12 - 10 \\ &= 2\end{aligned}

🎮 Entraîne-toi : le calcul en coordonnées

xx' + yy' : deux produits, une somme.

🎮 Entraîne-toi : les normes

‖u‖ = racine de x² + y² : Pythagore vectoriel.

🎮 Entraîne-toi : la formule du cosinus

‖u‖ × ‖v‖ × cos(angle). Les valeurs utiles : cos(0°) = 1, cos(60°) = 0,5, cos(90°) = 0, cos(120°) = −0,5, cos(180°) = −1.

II. L'orthogonalité

Le critère de l'angle droit \begin{aligned}\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 &\iff \vec{u} \perp \vec{v}\end{aligned} (vecteurs orthogonaux).
C'est LE critère algébrique de l'angle droit : en coordonnées, xx' + yy' = 0. Exemple : (2 ; 3) ⊥ (−3 ; 2) car −6 + 6 = 0. Astuce à retenir : (a ; b) est toujours orthogonal à (−b ; a).

⚠️ Un produit scalaire nul n'exige pas un vecteur nul Contrairement au produit de nombres, \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 n'impose PAS \vec{u} = \vec{0} ou \vec{v} = \vec{0} : deux vecteurs non nuls perpendiculaires suffisent. On ne « simplifie » jamais par un vecteur.

🧭 Atelier : fais tourner \vec{v} et cherche le zéro

\vec{u} ne bouge pas, \vec{v} tourne autour de O : sa longueur ne change jamais. Pourtant le produit scalaire, lui, passe du positif au négatif. Trouve les deux positions où il vaut exactement 0.

Angle :

Aux deux positions où la jauge tombe à zéro, aucun des deux vecteurs n'est nul : ils sont simplement perpendiculaires. C'est toute la différence avec un produit de nombres.

🎮 Entraîne-toi : orthogonaux ou pas ?

Produit scalaire nul = angle droit.

III. Les identités avec les normes

Développer des carrés de normes Ce sont les identités remarquables des vecteurs : on retrouve exactement (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 et {(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}, avec la norme au carré à la place du carré et le produit scalaire à la place du produit. Le produit scalaire se développe en effet comme un produit de nombres (bilinéarité, symétrie) :

\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2 ;
\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2 ;
d'où la polarisation : \vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right).

Utile quand on ne connaît QUE des longueurs : le produit scalaire s'en déduit sans angle ni coordonnées.

📏 Atelier : pourquoi la diagonale s'allonge

Déplace le bout de \vec{v}. Le parallélogramme se déforme, mais \|\vec{u}\| et \|\vec{v}\| ne changent pas de rôle : seule la diagonale \|\vec{u}+\vec{v}\| réagit. Ce qui la fait grandir ou rétrécir, c'est le double produit 2\,\vec{u} \cdot \vec{v}.

la diagonale au carré

‖u + v‖²

les deux côtés

‖u‖² + ‖v‖²

le terme qui fait tout

2 u·v

Les deux diagonales du parallélogramme sont \vec{u}+\vec{v}\, et \vec{u}-\vec{v} : quand l'une s'allonge, l'autre raccourcit. Elles sont de même longueur exactement lorsque \vec{u} \cdot \vec{v} = 0, c'est-à-dire quand le parallélogramme est un rectangle.

IV. Al-Kashi : le Pythagore des triangles quelconques

La formule d'Al-Kashi Dans un triangle ABC (côtés a = BC, b = AC, c = AB) :
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\hat{A})
Elle tourne avec les trois sommets, l’angle étant toujours celui opposé au côté cherché :
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos(\hat{B})
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\hat{C})
Et lue à l’envers, elle donne un angle à partir des trois côtés :
\cos(\hat{A}) = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
Si \hat{A} est droit, \cos(\hat{A}) = 0 et on retrouve Pythagore : Al-Kashi en est la généralisation à TOUS les triangles. Chaque côté au carré = somme des carrés des deux autres − 2 fois leur produit fois le cosinus de l’angle opposé.

🔺 Atelier : Al-Kashi, c'est Pythagore plus une correction

Les deux côtés b et c gardent la même longueur : seul l'angle bouge. Regarde la barre du bas : elle part toujours de b^2 + c^2, et le terme -2bc\cos(\hat{A}) vient en retirer ou en ajouter.

Â :

Un seul angle vaut zéro correction : 90°, parce que \cos(90°) = 0. Pythagore n'est donc pas un autre théorème, c'est le cas particulier d'Al-Kashi où le terme correcteur disparait.

Exemple rédigé b = 5, c = 8, Â = 60° (cos = 1/2) : \begin{aligned}a^2 &= 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \dfrac{1}{2} \\ &= 89 - 40 \\ &= 49\end{aligned} Donc a = 7.
Pour l’angle à partir des trois côtés, on lit la formule à l’envers (voir l’encadré ci-dessus).

👆 ▶ À toi : b = 3, c = 5, Â = 120° (cos = −1/2). Calcule a. Vérifie

\begin{aligned}a^2 &= 9 + 25 - 2 \times 3 \times 5 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) \\ &= 34 + 15 \\ &= 49\end{aligned} Donc a = 7 (l'angle obtus ALLONGE le troisième côté : le signe du cosinus fait tout).

🎮 Entraîne-toi : Al-Kashi

b² + c² − 2bc cos(Â) : attention au signe du cosinus.

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