Fiche d'exercices Logimaths | 1ère spécialité
Fiche d'exercices : Variables aléatoires
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Construire une loi⭐
On lance un dé équilibré. X vaut 1 si le résultat est pair, 3 s'il vaut 1, et 0 sinon.
- Dresse la loi de probabilité de X.
- Vérifie que la somme des probabilités vaut 1.
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. \begin{aligned}P(X = 1) &= \dfrac{3}{6} \\ &= \dfrac{1}{2}\end{aligned} (2, 4, 6) ; P(X = 3) = \dfrac{1}{6} ; \begin{aligned}P(X = 0) &= \dfrac{2}{6} \\ &= \dfrac{1}{3}\end{aligned} (3 et 5).
2. \dfrac{3}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{6} = 1 ✔.
2. \dfrac{3}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{6} = 1 ✔.
Exercice 2 : Compléter une loi⭐
La loi de X : P(X = −1) = 0,35 ; P(X = 2) = 0,4 ; P(X = 5) = p.
- Détermine p.
- Calcule P(X ≥ 2).
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. p = 1 − 0,35 − 0,4 = 0,25.
2. P(X ≥ 2) = 0,4 + 0,25 = 0,65.
2. P(X ≥ 2) = 0,4 + 0,25 = 0,65.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Espérance⭐⭐
X suit la loi : −2 (proba 0,3) ; 1 (proba 0,5) ; 4 (proba 0,2).
- Calcule E(X).
- Interprète ce nombre si X est un gain en euros par partie.
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. \begin{aligned}E(X) &= -0{,}6 + 0{,}5 + 0{,}8 \\ &= 0{,}7\end{aligned}
2. Sur un grand nombre de parties, le joueur gagne en moyenne 0,70 € par partie (certaines parties perdent, d'autres gagnent : c'est la moyenne à long terme).
2. Sur un grand nombre de parties, le joueur gagne en moyenne 0,70 € par partie (certaines parties perdent, d'autres gagnent : c'est la moyenne à long terme).
Exercice 4 : Le jeu de la roue⭐⭐
Une roue équilibrée a 10 secteurs : 1 secteur « +10 € », 3 secteurs « +2 € », 6 secteurs « −3 € » (gains algébriques, mise incluse).
- Dresse la loi du gain G.
- Calcule E(G). Le jeu est-il équitable ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. P(G = 10) = 0,1 ; P(G = 2) = 0,3 ; P(G = −3) = 0,6.
2. \begin{aligned}E(G) &= 1 + 0{,}6 - 1{,}8 \\ &= -0{,}2\end{aligned} € : défavorable au joueur (l'organisateur empoche 20 centimes par partie en moyenne).
2. \begin{aligned}E(G) &= 1 + 0{,}6 - 1{,}8 \\ &= -0{,}2\end{aligned} € : défavorable au joueur (l'organisateur empoche 20 centimes par partie en moyenne).
Exercice 5 : Régler la mise pour l'équité⭐⭐
On tire une carte d'un jeu de 32 : un as rapporte 8 €, une figure (12 cartes) rapporte 2 €, le reste ne rapporte rien. La mise est de m euros.
- Exprime l'espérance du gain BRUT (sans la mise).
- Quelle mise m rend le jeu équitable ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. \begin{aligned}E &= 8 \times \dfrac{4}{32} + 2 \times \dfrac{12}{32} + 0 \\ &= 1 + 0{,}75 \\ &= 1{,}75\end{aligned} €.
2. Équitable ⟺ gain net moyen nul ⟺ m = 1,75 € (la mise égale l'espérance brute).
2. Équitable ⟺ gain net moyen nul ⟺ m = 1,75 € (la mise égale l'espérance brute).
Exercice 6 : Variance et écart-type⭐⭐
X suit la loi : 0 (proba 0,4) ; 5 (proba 0,4) ; 10 (proba 0,2).
- Calcule E(X).
- Calcule E(X²) puis V(X) et σ(X).
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. \begin{aligned}E(X) &= 0 + 2 + 2 \\ &= 4\end{aligned}
2. \begin{aligned}E(X^2) &= 0 + 25 \times 0{,}4 + 100 \times 0{,}2 \\ &= 30\end{aligned} : \begin{aligned}V(X) &= 30 - 16 \\ &= 14\end{aligned} et \begin{aligned}\sigma(X) &= \sqrt{14} \\ &\approx 3{,}7\end{aligned}
2. \begin{aligned}E(X^2) &= 0 + 25 \times 0{,}4 + 100 \times 0{,}2 \\ &= 30\end{aligned} : \begin{aligned}V(X) &= 30 - 16 \\ &= 14\end{aligned} et \begin{aligned}\sigma(X) &= \sqrt{14} \\ &\approx 3{,}7\end{aligned}
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Même espérance, risques différents⭐⭐⭐
Placement A : gain de 5 € certain. Placement B : +50 € (proba 0,5) ou −40 € (proba 0,5).
- Vérifie que les deux placements ont la même espérance.
- Calcule l'écart-type de chacun.
- Lequel choisirais-tu, et pourquoi la réponse dépend-elle du profil du joueur ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. E(A) = 5 et \begin{aligned}E(B) &= 25 - 20 \\ &= 5\end{aligned} ✔
2. σ(A) = 0 (aucun aléa) ; pour B : \begin{aligned}E(B^2) &= 2500 \times 0{,}5 + 1600 \times 0{,}5 \\ &= 2050\end{aligned} \begin{aligned}V(B) &= 2050 - 25 \\ &= 2025\end{aligned} \sigma(B) = 45.
3. Même gain moyen, mais B est très dispersé : l'espérance ne suffit pas, l'écart-type mesure le RISQUE (l'aversion au risque est un choix personnel).
2. σ(A) = 0 (aucun aléa) ; pour B : \begin{aligned}E(B^2) &= 2500 \times 0{,}5 + 1600 \times 0{,}5 \\ &= 2050\end{aligned} \begin{aligned}V(B) &= 2050 - 25 \\ &= 2025\end{aligned} \sigma(B) = 45.
3. Même gain moyen, mais B est très dispersé : l'espérance ne suffit pas, l'écart-type mesure le RISQUE (l'aversion au risque est un choix personnel).
Exercice 8 : Synthèse type bac : la tombola⭐⭐⭐
Une tombola vend 200 tickets à 2 €. Lots : un lot à 100 €, quatre lots à 20 €, dix lots à 5 €. Soit G le gain algébrique d'un ticket (lot éventuel moins prix du ticket).
- Dresse la loi de G.
- Calcule E(G) et interprète.
- Quelle recette nette l'organisateur espère-t-il sur les 200 tickets ? Vérifie par un calcul direct.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. G = 98 (proba 1/200) ; G = 18 (4/200) ; G = 3 (10/200) ; G = −2 (185/200).
2. \begin{aligned}E(G) &= \dfrac{98 + 72 + 30 - 370}{200} \\ &= \dfrac{-170}{200} \\ &= -0{,}85\end{aligned} € : un ticket fait perdre en moyenne 85 centimes.
3. 200 \times 0{,}85 = 170 €. Direct : recette 400 € − lots (100 + 80 + 50 = 230 €) = 170 € ✔.
2. \begin{aligned}E(G) &= \dfrac{98 + 72 + 30 - 370}{200} \\ &= \dfrac{-170}{200} \\ &= -0{,}85\end{aligned} € : un ticket fait perdre en moyenne 85 centimes.
3. 200 \times 0{,}85 = 170 €. Direct : recette 400 € − lots (100 + 80 + 50 = 230 €) = 170 € ✔.