Fiche de cours Logimaths | 1ère spécialité
Fiche de cours : Variables aléatoires
Attacher un nombre au hasard : lois, espérance, variance
I. Variable aléatoire et loi de probabilité
Un nombre attaché à chaque issue
Une variable aléatoire X associe un NOMBRE à chaque issue d'une expérience aléatoire (le gain d'un jeu, le nombre de six, la taille d'une pièce…).
Sa loi de probabilité est le tableau qui donne P(X = x_i) pour chaque valeur possible x_i.
Règle d'or : la somme des probabilités du tableau vaut 1 (c'est le premier réflexe de vérification, et souvent la première question du bac).
Sa loi de probabilité est le tableau qui donne P(X = x_i) pour chaque valeur possible x_i.
Règle d'or : la somme des probabilités du tableau vaut 1 (c'est le premier réflexe de vérification, et souvent la première question du bac).
Exemple rédigé : construire une loi
On lance deux pièces ; X compte les « pile ».
Issues équiprobables : PP, PF, FP, FF : P(X = 0) = \dfrac{1}{4}, P(X = 1) = \dfrac{2}{4}, {P(X = 2) = \dfrac{1}{4}}. Somme : 1 ✔.
Issues équiprobables : PP, PF, FP, FF : P(X = 0) = \dfrac{1}{4}, P(X = 1) = \dfrac{2}{4}, {P(X = 2) = \dfrac{1}{4}}. Somme : 1 ✔.
🎮 Entraîne-toi : compléter une loi
Les probabilités du tableau somment à 1 : la valeur manquante s'en déduit.
II. L'espérance
La moyenne pondérée par les probabilités
E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n : chaque valeur compte au prorata de sa probabilité.
Interprétation (loi des grands nombres, en Terminale) : E(X) est la moyenne des valeurs de X sur un très grand nombre de répétitions. Pour un jeu d'argent, c'est le gain moyen par partie à long terme.
Interprétation (loi des grands nombres, en Terminale) : E(X) est la moyenne des valeurs de X sur un très grand nombre de répétitions. Pour un jeu d'argent, c'est le gain moyen par partie à long terme.
Jeu équitable
Un jeu est équitable quand l'espérance du GAIN ALGÉBRIQUE (gains moins mise) vaut 0 : personne n'est avantagé à long terme.
- E > 0 : favorable au joueur ;
- E < 0 : favorable à l'organisateur (le cas de TOUS les jeux de casino et de loterie : c'est leur modèle économique).
🎮 Entraîne-toi : calculer une espérance
Somme des « valeur × probabilité », signes compris.
🎮 Entraîne-toi : le jeu est-il équitable ?
Calcule E(gain) et regarde son signe.
III. Variance et écart-type
Mesurer la dispersion
La variance mesure l'écart quadratique moyen à l'espérance :
- définition : {V(X) = E\big((X - E(X))^2\big)} ;
- formule de calcul (la plus pratique) : V(X) = E(X^2) - E(X)^2 (« moyenne des carrés moins carré de la moyenne ») ;
- écart-type : \sigma(X) = \sqrt{V(X)}, dans la même unité que X.
Exemple rédigé
X vaut 0 (probabilité 0,5), 2 (0,3), 10 (0,2).
\begin{aligned}E(X) &= 0 + 0{,}6 + 2 \\ &= 2{,}6\end{aligned}
\begin{aligned}E(X^2) &= 0 + 4 \times 0{,}3 + 100 \times 0{,}2 \\ &= 21{,}2\end{aligned}
\begin{aligned}V(X) &= 21{,}2 - 2{,}6^2 \\ &= 14{,}44\end{aligned} et \sigma(X) = 3{,}8.
\begin{aligned}E(X) &= 0 + 0{,}6 + 2 \\ &= 2{,}6\end{aligned}
\begin{aligned}E(X^2) &= 0 + 4 \times 0{,}3 + 100 \times 0{,}2 \\ &= 21{,}2\end{aligned}
\begin{aligned}V(X) &= 21{,}2 - 2{,}6^2 \\ &= 14{,}44\end{aligned} et \sigma(X) = 3{,}8.
🧮 À la calculatrice : NumWorks, Casio et TI pas à pas
L'astuce : entre les valeurs de X dans une liste et les PROBABILITÉS comme effectifs : la moyenne affichée est E(X) et l'écart-type est σ(X). Vérifie l'exemple ci-dessus : tu dois retrouver E(X) = 2,6 et σ(X) = 3,8.Pour la variance, élève l'écart-type au carré : \begin{aligned}3{,}8^2 &= 14{,}44 \\ &= V(X)\end{aligned}
NumWorks (l'appli Statistiques)
- valeurs 0, 2, 10 dans la colonne V1 ; probabilités 0,5 ; 0,3 ; 0,2 dans N1 (les effectifs décimaux sont acceptés) ;
- onglet Stats : Moyenne = 2,6 = E(X) et écart-type σ = 3,8 = σ(X).
Casio Graph 35+E II (même chemin sur Graph 90+E)
- MENU, ouvre Statistiques : valeurs dans List 1, probabilités dans List 2 ;
- F2 CALC, F6 SET : 1Var Freq : List2, puis F1 1-VAR : \bar{x} = 2,6 et σx = 3,8.
TI-83 Premium CE (la TI standard au lycée, commandes en français)
- touche stats, Modifier : valeurs dans L1, probabilités dans L2 ;
- stats, menu CALC, Stats 1-Var : ListeX : L1, ListeEffectifs : L2, puis Calculer : \bar{x} = 2,6 et σx = 3,8.
🎮 Entraîne-toi : la variance
V(X) = E(X²) − E(X)² : moyenne des carrés moins carré de la moyenne.
IV. Les pièges du chapitre
⚠️ Gain algébrique = gains − mise
Dans un jeu à 2 € la partie où l'on peut « gagner 5 € », le gain algébrique est 5 − 2 = 3 € (et −2 € en cas de perte). Oublier de soustraire la mise transforme presque tous les jeux en « jeux favorables »… et fausse toute la question. Lis bien si le tableau donne le gain BRUT ou NET.
⚠️ E(X)² et E(X²) ne se confondent pas
Dans la formule de la variance, on calcule D'ABORD la moyenne des carrés E(X^2) (les valeurs au carré, les probabilités inchangées), PUIS on soustrait le carré de l'espérance. Une variance doit toujours sortir positive ou nulle : un résultat négatif signale une erreur de calcul, immédiatement.
👆 ▶ À toi : X vaut 1 (proba 0,5), 2 (0,3), 3 (0,2). Calcule E(X) puis V(X). Vérifie
\begin{aligned}E(X) &= 0{,}5 + 0{,}6 + 0{,}6 \\ &= 1{,}7\end{aligned}
\begin{aligned}E(X^2) &= 0{,}5 + 1{,}2 + 1{,}8 \\ &= 3{,}5\end{aligned} D'où \begin{aligned}V(X) &= 3{,}5 - 2{,}89 \\ &= 0{,}61\end{aligned} ✔ (positive).
\begin{aligned}E(X^2) &= 0{,}5 + 1{,}2 + 1{,}8 \\ &= 3{,}5\end{aligned} D'où \begin{aligned}V(X) &= 3{,}5 - 2{,}89 \\ &= 0{,}61\end{aligned} ✔ (positive).