Fiche de cours Logimaths | L1 Éco, ATIE
Fiche de cours : Les distributions à deux caractères
Croiser deux variables : tableaux de contingence, covariance, corrélation et droite de régression
I. Croiser deux variables : corrélation n'est pas causalité
Pourquoi étudier deux variables ensemble
Le chapitre précédent décrivait une seule variable à la fois (le salaire, le chômage, l'inflation…). Mais l'information économique prend tout son sens quand on croise deux variables : le revenu et la consommation des ménages, le niveau de diplôme et la catégorie socioprofessionnelle, l'ancienneté et le salaire… Ce chapitre donne les outils pour décrire, mesurer et modéliser le lien entre deux variables statistiques observées sur la même population.
⚠️ Corrélation n'est pas causalité
Constater que deux variables évoluent ensemble (une relation visible, une corrélation) ne prouve jamais que l'une cause l'autre. Deux pièges symétriques guettent :
- Une relation visible n'implique pas de causalité. Exemple : les ventes de crèmes glacées et le nombre de noyades augmentent toutes deux l'été. Elles sont corrélées, mais aucune ne cause l'autre : une troisième variable, la température, explique les deux.
- Une causalité peut ne pas être visible dans les données (effet retardé, effet masqué par d'autres facteurs, échantillon trop petit).
👆 ▶ À toi : dans une ville, le nombre de pompiers présents sur un incendie et le montant des dégâts sont fortement corrélés (plus il y a de pompiers, plus les dégâts sont élevés). Faut-il en conclure que les pompiers causent les dégâts ? Vérifie
Non : c'est un exemple classique de variable cachée. La gravité de l'incendie détermine à la fois le nombre de pompiers envoyés ET le montant des dégâts : elle cause les deux, ce qui les rend corrélés entre eux sans qu'aucun ne cause l'autre. Envoyer moins de pompiers ne réduirait évidemment pas les dégâts.
II. Tableaux de contingence
Effectifs conjoints et distributions marginales
Un tableau de contingence (ou tableau croisé) recense, pour chaque couple de modalités (x_i, y_j) de deux variables X et Y, l'effectif conjoint n_{ij} (le nombre d'individus qui présentent à la fois la modalité x_i et la modalité y_j).
- La distribution marginale de X s'obtient en sommant chaque ligne : n_{i\bullet} = \sum_j n_{ij} (colonne « Total » du tableau).
- La distribution marginale de Y s'obtient en sommant chaque colonne : n_{\bullet j} = \sum_i n_{ij} (ligne « Total »).
- L'effectif total N = \sum_i \sum_j n_{ij} se retrouve à la fois en sommant tous les totaux de ligne et tous les totaux de colonne.
Exemple chiffré : diplôme et catégorie socioprofessionnelle
200 salariés d'une entreprise sont répartis selon leur diplôme le plus élevé et leur catégorie socioprofessionnelle :
Les totaux de ligne (80, 70, 50) et de colonne (110, 90) sont les distributions marginales : par exemple, 80 salariés sur 200 ont le Bac comme diplôme le plus élevé, quelle que soit leur catégorie.
| Diplôme \ Catégorie | Employé | Cadre | Total |
|---|---|---|---|
| Bac | 60 | 20 | 80 |
| Bac+3 | 40 | 30 | 70 |
| Bac+5 | 10 | 40 | 50 |
| Total | 110 | 90 | 200 |
Fréquences conjointes, marginales et conditionnelles
On travaille souvent en fréquences (proportions), plus faciles à comparer entre deux populations de tailles différentes.
- Fréquence conjointe : f_{ij} = \dfrac{n_{ij}}{N} (part de la population totale qui a À LA FOIS x_i et y_j).
- Fréquence marginale : f_{i\bullet} = \dfrac{n_{i\bullet}}{N} (part de la population qui a x_i, sans tenir compte de Y).
- Fréquence conditionnelle de Y sachant X = x_i : f_{j|i} = \dfrac{n_{ij}}{n_{i\bullet}} (on ne divise plus par N, mais par le total de la SOUS-population qui a x_i).
Exemple chiffré : fréquences marginales et conditionnelle
Sur le tableau précédent : fréquence marginale du Bac+5 : \begin{aligned}f_{\text{Bac+5}\bullet} &= \frac{50}{200} \\ &= 0{,}25\end{aligned} soit 25 %. Fréquence marginale des Cadres : \begin{aligned}f_{\bullet\text{Cadre}} &= \frac{90}{200} \\ &= 0{,}45\end{aligned} soit 45 %.
Fréquence CONDITIONNELLE d'être Cadre SACHANT Bac+5 :\begin{aligned}f(\text{Cadre} \mid \text{Bac+5}) &= \dfrac{40}{50} \\ &= 0{,}80\end{aligned}80 % des titulaires d'un Bac+5 sont cadres, contre seulement 45 % de l'ensemble des salariés : le diplôme est donc fortement lié à la catégorie (voir la partie IV).
Fréquence CONDITIONNELLE d'être Cadre SACHANT Bac+5 :\begin{aligned}f(\text{Cadre} \mid \text{Bac+5}) &= \dfrac{40}{50} \\ &= 0{,}80\end{aligned}80 % des titulaires d'un Bac+5 sont cadres, contre seulement 45 % de l'ensemble des salariés : le diplôme est donc fortement lié à la catégorie (voir la partie IV).
Profils lignes et profils colonnes
Un profil ligne transforme chaque ligne du tableau en fréquences conditionnelles (chaque ligne somme alors à 100 %) : il compare la répartition de Y au sein de chaque modalité de X. Un profil colonne fait l'inverse (chaque colonne somme à 100 %).
profil ligne Bac+5 : \left(\frac{10}{50}\,;\,\frac{40}{50}\right) = (20\,\%\,;\,80\,\%)
profil colonne Cadre : \left(\frac{20}{90}\,;\,\frac{30}{90}\,;\,\frac{40}{90}\right) \approx (22\,\%\,;\,33\,\%\,;\,44\,\%)
Comparer les profils lignes entre eux (ou les profils colonnes entre eux) est la façon la plus rapide de lire un tableau à double entrée : si les profils lignes se ressemblent tous, les deux variables sont peu liées ; s'ils diffèrent nettement, elles le sont fortement.
👆 ▶ À toi : sur le tableau diplôme/catégorie, calcule le profil ligne du Bac (part d'employés et de cadres parmi les Bac). Vérifie
Profil ligne Bac : \left(\frac{60}{80}\,;\,\frac{20}{80}\right) = (75\,\%\,;\,25\,\%). À comparer au profil ligne Bac+5 (20 % ; 80 %) : les deux profils sont très différents : le diplôme influence nettement la catégorie socioprofessionnelle.
🎮 Entraîne-toi : lire un tableau de contingence
Calcule la fréquence conditionnelle demandée, en pourcentage.
III. Caractéristiques des distributions marginales et conditionnelles
Moyennes et variances marginales et conditionnelles
Quand une des deux variables est quantitative (par exemple le salaire), on peut calculer ses indicateurs habituels (chapitre 2) soit sur toute la population (moyenne et variance marginales), soit séparément sur chaque sous-population définie par l'autre variable (moyenne et variance conditionnelles).
- Moyenne conditionnelle de Y sachant X = x_i : la moyenne de Y calculée uniquement sur les individus qui ont x_i.
- Variance conditionnelle : la variance de Y calculée sur cette même sous-population : mesure la dispersion de Y à l'intérieur d'un groupe.
Exemple chiffré : salaire moyen par diplôme
Salaire mensuel moyen (en €) des 200 salariés de l'exemple, par diplôme :
Ces trois moyennes conditionnelles sont différentes : le salaire moyen dépend visiblement du diplôme.
| Diplôme | Effectif | Salaire moyen conditionnel |
|---|---|---|
| Bac | 80 | 1 800 € |
| Bac+3 | 70 | 2 200 € |
| Bac+5 | 50 | 3 000 € |
Lien entre moyennes conditionnelles et moyenne globale
La moyenne globale (marginale) de Y est la moyenne pondérée des moyennes conditionnelles, chaque groupe pesant selon son effectif :
\bar{y} = \dfrac{\sum_i n_{i\bullet}\, \bar{y}_i}{N}
où \bar{y}_i est la moyenne conditionnelle de Y dans le groupe x_i. C'est exactement la formule de la moyenne pondérée du chapitre 2, appliquée aux moyennes de groupe plutôt qu'à des valeurs individuelles.
Exemple chiffré : retrouver le salaire moyen global
\begin{aligned}\bar{y} &= \dfrac{80 \times 1\,800 + 70 \times 2\,200 + 50 \times 3\,000}{200} \\ &= \dfrac{144\,000 + 154\,000 + 150\,000}{200} \\ &= \dfrac{448\,000}{200} \\ &= 2\,240\end{aligned}Le salaire moyen global de l'entreprise est 2 240 € : une valeur intermédiaire, plus proche du salaire moyen des Bac+3 (le groupe le plus nombreux) que de celui des Bac+5.
🎮 Entraîne-toi : retrouver la moyenne globale à partir des moyennes conditionnelles
Moyenne pondérée par les effectifs de chaque groupe.
IV. Liens entre deux variables
Indépendance statistique
Deux variables X et Y sont statistiquement indépendantes quand connaître la modalité de X ne change RIEN à la répartition de Y : la fréquence conditionnelle est alors égale à la fréquence marginale, pour toutes les modalités :
f_{j|i} = f_{\bullet j} \quad \text{pour tous } i, j
En pratique, il suffit de comparer une fréquence conditionnelle à la fréquence marginale correspondante : si elles sont proches, X et Y sont peu (ou pas) liées ; si elles sont nettement différentes, elles sont liées. Sur l'exemple précédent : f(\text{Cadre}\mid\text{Bac+5}) = 80\,\% très différent de f(\text{Cadre}) = 45\,\% : diplôme et catégorie sont liés, pas indépendants.
🎮 Entraîne-toi : indépendantes, ou liées ?
Compare la fréquence conditionnelle donnée à la fréquence marginale.
La covariance
Quand X et Y sont deux variables quantitatives, la covariance mesure si elles varient dans le même sens (au-dessus de leur moyenne en même temps) ou en sens opposé.
\text{Cov}(X,Y) = \dfrac{1}{n}\sum_i (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) \quad \text{(formule de définition)}
Équivalente, plus rapide à la main :\text{Cov}(X,Y) = \dfrac{1}{n}\sum_i x_i y_i - \bar{x}\,\bar{y} \quad \text{(formule développée)}
- Cov(X,Y) > 0 : quand X augmente, Y a tendance à augmenter aussi (liaison positive).
- Cov(X,Y) < 0 : quand X augmente, Y a tendance à diminuer (liaison négative).
- Cov(X,Y) ≈ 0 : pas de liaison LINÉAIRE apparente.
Exemple chiffré : covariance revenu / consommation
Revenu Y et consommation C de 5 ménages (en centaines d'€) : Y : 10, 20, 30, 40, 50 ; C : 12, 18, 22, 28, 30. Moyennes : \bar{y} = 30, \bar{c} = 22. Écarts aux moyennes : Y - \bar{y} : -20, -10, 0, 10, 20 ; C - \bar{c} : -10, -4, 0, 6, 8.\begin{aligned}\text{Cov}(Y,C) &= \dfrac{(-20)(-10) + (-10)(-4) + 0 \times 0 + 10 \times 6 + 20 \times 8}{5} \\ &= \dfrac{200 + 40 + 0 + 60 + 160}{5} \\ &= \dfrac{460}{5} \\ &= 92\end{aligned}La covariance est positive : revenu et consommation augmentent bien ensemble, comme attendu.
🎮 Entraîne-toi : calculer une covariance
Formule de définition : moyenne des produits des écarts aux moyennes.
Le coefficient de corrélation linéaire
Le coefficient de corrélation linéaire r normalise la covariance par les écarts-types des deux variables : il devient sans unité et toujours compris entre −1 et 1.
r = \dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \times \sigma_Y}
| Valeur de r | Interprétation |
|---|---|
| r \approx 1 | liaison linéaire positive quasi parfaite |
| 0{,}7 \lesssim r < 1 | liaison linéaire positive forte |
| r \approx 0 | pas de liaison LINÉAIRE |
| -1 < r \lesssim -0{,}7 | liaison linéaire négative forte |
| r \approx -1 | liaison linéaire négative quasi parfaite |
Exemple chiffré : coefficient de corrélation revenu / consommation
Sur l'exemple précédent : \text{Var}(Y) = \frac{400+100+0+100+400}{5} = 200, donc \begin{aligned}\sigma_Y &= \sqrt{200} \\ &\approx 14{,}14\end{aligned} \text{Var}(C) = \frac{100+16+0+36+64}{5} = 43{,}2, donc \begin{aligned}\sigma_C &= \sqrt{43{,}2} \\ &\approx 6{,}57\end{aligned}\begin{aligned}r &= \dfrac{92}{14{,}14 \times 6{,}57} \\ &= \dfrac{92}{92{,}9} \\ &\approx 0{,}99\end{aligned}Un coefficient très proche de 1 : revenu et consommation sont presque parfaitement liés linéairement sur cet échantillon.
🎮 Entraîne-toi : calculer un coefficient de corrélation
r = covariance divisée par le produit des deux écarts-types.
⚠️ Les limites du coefficient de corrélation
- Il ne détecte QUE les liaisons linéaires. Deux variables parfaitement liées par une relation en cloche ou en U peuvent avoir r \approx 0 : toujours regarder le nuage de points, pas seulement r.
- Il est très sensible aux valeurs extrêmes : un seul individu atypique peut faire basculer r d'une valeur proche de 0 à une valeur proche de 1, ou l'inverse.
- Une corrélation forte peut être fallacieuse (« corrélation fortuite ») : sur une longue période, la consommation de fromage et le nombre de personnes qui se prennent les pieds dans leurs draps peuvent afficher une corrélation numérique élevée sans le moindre lien économique : avec suffisamment de séries de données, des coïncidences statistiques apparaissent par pur hasard.
👆 ▶ À toi : une étude trouve r = 0{,}02 entre le budget publicitaire mensuel d'une entreprise et son chiffre d'affaires. Peut-on en conclure que la publicité ne sert à rien ? Vérifie
r proche de 0 signale l'ABSENCE de liaison linéaire, pas l'absence de tout lien : l'effet de la publicité pourrait être non linéaire (utile jusqu'à un certain budget, puis stagnant), retardé dans le temps, ou masqué par d'autres facteurs (saison, concurrence). r \approx 0 ne suffit jamais, à lui seul, à conclure sur l'efficacité économique d'une action.
V. La droite de régression
Ajuster une droite par moindres carrés ordinaires
Quand le nuage de points suggère une liaison linéaire, on cherche la droite \hat{y} = a + b\,x qui s'ajuste le mieux au nuage : celle qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points observés et la droite (méthode des moindres carrés ordinaires, MCO). Cette droite a pour pente et ordonnée à l'origine :
b = \dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{\text{Var}(X)} \qquad\qquad a = \bar{y} - b\,\bar{x}
La pente b s'interprète toujours en unité de Y par unité de X : « quand X augmente d'une unité, Y augmente en moyenne de b unités ». L'ordonnée a est la valeur de Y prédite quand X = 0 (à interpréter avec prudence : souvent hors du domaine observé).
Exemple chiffré : la droite de régression revenu / consommation
\begin{aligned}b &= \dfrac{\text{Cov}(Y,C)}{\text{Var}(Y)} \\ &= \dfrac{92}{200} \\ &= 0{,}46\end{aligned}\begin{aligned}a &= \bar{c} - b\,\bar{y} \\ &= 22 - 0{,}46 \times 30 \\ &= 22 - 13{,}8 \\ &= 8{,}2\end{aligned}Droite de régression : \hat{c} = 8{,}2 + 0{,}46\,y (en centaines d'€).
Interprétation économique : la pente b = 0{,}46 est la propension marginale à consommer : pour 100 € de revenu supplémentaire, la consommation de ces ménages augmente en moyenne de 46 €. L'ordonnée a = 8{,}2 (soit 820 €) s'interprète comme une consommation incompressible, indépendante du revenu : c'est l'intuition derrière la fonction de consommation keynésienne.
Revenu mensuel et dépenses de consommation mensuelles de 5 ménages (en centaines d'€). La droite
en rose est ajustée par la méthode des moindres carrés ordinaires ; chaque segment pointillé
(bleu) relie un point observé à sa valeur ajustée sur la droite : sa longueur verticale
est le résidu de ce ménage.
🎮 Entraîne-toi : calculer la pente d'une droite de régression
Pente = covariance divisée par la variance de X.
Valeurs ajustées, résidus et qualité de l'ajustement
Pour chaque individu, la valeur ajustée \hat{y}_i = a + b\,x_i est ce que prédit la droite ; le résidu e_i = y_i - \hat{y}_i est l'écart entre la valeur observée et la valeur ajustée (visible sur le graphique ci-dessus, en pointillés). Le coefficient de détermination R^2 résume la qualité de l'ajustement : la part de la variance totale de Y « expliquée » par la droite.
R^2 = 1 - \dfrac{\text{SCR}}{\text{SCT}} \quad \text{avec} \quad \text{SCR} = \sum_i e_i^2, \quad \text{SCT} = \sum_i (y_i - \bar{y})^2
Dans le cas d'une régression à DEUX variables (une seule variable explicative), on a toujours R^2 = r^2 : le carré du coefficient de corrélation.- R^2 proche de 1 : la droite explique presque toute la variation de Y, les résidus sont petits.
- R^2 proche de 0 : la droite explique très peu, les résidus sont grands par rapport à la dispersion de Y.
Exemple chiffré : résidus et R² de la régression revenu / consommation
\begin{aligned}\text{SCR} &= (-0{,}8)^2 + 0{,}6^2 + 0^2 + 1{,}4^2 + (-1{,}2)^2 \\ &= 4{,}4\end{aligned}\begin{aligned}\text{SCT} &= (-10)^2 + (-4)^2 + 0^2 + 6^2 + 8^2 \\ &= 216\end{aligned}\begin{aligned}R^2 &= 1 - \dfrac{4{,}4}{216} \\ &\approx 0{,}98\end{aligned}On retrouve bien \begin{aligned}R^2 &\approx r^2 \\ &\approx 0{,}99^2 \\ &\approx 0{,}98\end{aligned} (aux arrondis près) : la droite explique environ 98 % de la variation de la consommation entre ces 5 ménages.
| Y | C observé | Ĉ ajusté | résidu |
|---|---|---|---|
| 10 | 12 | 12,8 | −0,8 |
| 20 | 18 | 17,4 | +0,6 |
| 30 | 22 | 22 | 0 |
| 40 | 28 | 26,6 | +1,4 |
| 50 | 30 | 31,2 | −1,2 |
⚠️ Prévoir avec la droite : attention à l'extrapolation
On peut utiliser la droite pour prévoir Y à partir d'une valeur de X : pour un ménage au revenu Y = 45 (centaines d'€), la consommation prédite est\begin{aligned}\hat{c} &= 8{,}2 + 0{,}46 \times 45 \\ &= 8{,}2 + 20{,}7 \\ &= 28{,}9\end{aligned}soit 2 890 €. Cette prévision est fiable car Y = 45 se situe DANS l'intervalle des revenus observés (10 à 50). Extrapoler en dehors du domaine observé est risqué : rien ne garantit que la relation reste linéaire au-delà. Prédire la consommation d'un ménage à Y = 500 (dix fois le revenu maximal observé) avec la même droite n'aurait aucune garantie de validité.
👆 ▶ À toi : avec la droite \hat{c} = 8{,}2 + 0{,}46\,y, peut-on raisonnablement prévoir la consommation d'un ménage au revenu de 48 centaines d'€ ? Et à 300 centaines d'€ ? Vérifie
Pour Y = 48 (dans l'intervalle observé 10-50) : la prévision \begin{aligned}\hat{c} &= 8{,}2 + 0{,}46 \times 48 \\ &= 30\end{aligned} est raisonnable. Pour Y = 300 (très loin en dehors du domaine observé) : c'est de l'extrapolation ; rien ne garantit que la relation reste linéaire à ce niveau de revenu (un ménage très aisé n'augmente pas forcément sa consommation proportionnellement), la prévision n'a donc aucune fiabilité assurée.