Fiche d'exercices Logimaths | L1 Éco, ATIE
Fiche d'exercices : Les distributions à deux caractères
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Corrélation ou causalité ?⭐
Pour chacune des situations suivantes, indique si l'on peut raisonnablement conclure à une causalité, ou si une variable cachée explique plutôt la corrélation observée :
- dans les pays riches, le nombre de médecins pour 1 000 habitants est corrélé positivement au PIB par habitant ;
- dans une ville, le nombre de parasols vendus et le nombre de coups de soleil déclarés aux urgences sont fortement corrélés ;
- une entreprise constate qu'augmenter le salaire de ses commerciaux augmente ensuite leur chiffre d'affaires individuel.
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. Un PIB par habitant élevé permet de financer davantage de formations médicales et d'hôpitaux : une causalité plausible (le PIB permet le nombre de médecins), même si la relation inverse existe aussi en partie (la santé soutient la productivité).
2. Variable cachée : le beau temps (fort ensoleillement) pousse à la fois à acheter des parasols et favorise les coups de soleil. Aucun des deux ne cause l'autre.
3. Ici l'ordre temporel (la hausse de salaire précède la hausse de chiffre d'affaires) rend une causalité plausible (motivation accrue), mais il faudrait écarter d'autres explications (période de forte demande, nouveaux produits…) avant de conclure avec certitude.
2. Variable cachée : le beau temps (fort ensoleillement) pousse à la fois à acheter des parasols et favorise les coups de soleil. Aucun des deux ne cause l'autre.
3. Ici l'ordre temporel (la hausse de salaire précède la hausse de chiffre d'affaires) rend une causalité plausible (motivation accrue), mais il faudrait écarter d'autres explications (période de forte demande, nouveaux produits…) avant de conclure avec certitude.
Exercice 2 : Lire un tableau de contingence⭐
150 étudiants d'une promotion de L1 sont répartis selon leur filière du bac et leur réussite au premier semestre :
| Filière \ Résultat | Admis | Ajourné | Total |
|---|---|---|---|
| Bac général | 72 | 18 | ? |
| Bac technologique | 24 | 36 | ? |
| Total | ? | ? | 150 |
- Complète tous les totaux manquants du tableau.
- Quelle est la fréquence marginale des étudiants issus d'un bac technologique ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. Total Bac général = 72 + 18 = 90. Total Bac technologique = 24 + 36 = 60 (90 + 60 = 150, cohérent). Total Admis = 72 + 24 = 96. Total Ajourné = 18 + 36 = 54 (96 + 54 = 150, cohérent).
2. \begin{aligned}f_{\text{Bac techno}} &= \frac{60}{150} \\ &= 0{,}40\end{aligned} soit 40 %.
2. \begin{aligned}f_{\text{Bac techno}} &= \frac{60}{150} \\ &= 0{,}40\end{aligned} soit 40 %.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Fréquences conditionnelles et profils lignes⭐⭐
Sur le tableau de l'exercice 2 (filière du bac × réussite au premier semestre) :
- Calcule la fréquence conditionnelle d'être Admis SACHANT Bac technologique.
- Calcule la fréquence conditionnelle d'être Admis SACHANT Bac général.
- Compare ces deux fréquences à la fréquence marginale de réussite (\frac{96}{150} = 0{,}64, soit 64 %). Que peux-tu en conclure sur le lien entre filière du bac et réussite ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. \begin{aligned}f(\text{Admis}\mid\text{Bac techno}) &= \frac{24}{60} \\ &= 0{,}40\end{aligned} soit 40 %.
2. \begin{aligned}f(\text{Admis}\mid\text{Bac général}) &= \frac{72}{90} \\ &= 0{,}80\end{aligned} soit 80 %.
3. Les deux fréquences conditionnelles (40 % et 80 %) sont très éloignées l'une de l'autre, et éloignées de la fréquence marginale (64 %) : la filière du bac et la réussite au premier semestre sont donc fortement liées, pas indépendantes, dans cette promotion.
2. \begin{aligned}f(\text{Admis}\mid\text{Bac général}) &= \frac{72}{90} \\ &= 0{,}80\end{aligned} soit 80 %.
3. Les deux fréquences conditionnelles (40 % et 80 %) sont très éloignées l'une de l'autre, et éloignées de la fréquence marginale (64 %) : la filière du bac et la réussite au premier semestre sont donc fortement liées, pas indépendantes, dans cette promotion.
Exercice 4 : Moyennes conditionnelles et moyenne globale⭐⭐
Le temps de trajet domicile-travail (en minutes) de 120 salariés d'une entreprise est connu par mode de transport :
| Mode | Effectif | Temps moyen |
|---|---|---|
| Voiture | 50 | 35 min |
| Transports en commun | 60 | 40 min |
| Vélo / marche | 10 | 15 min |
- Sans calcul, le temps de trajet moyen global sera-t-il plus proche de 35, 40 ou 15 minutes ? Justifie en une phrase.
- Calcule le temps de trajet moyen global de l'entreprise.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. Plus proche de 35 ou 40 minutes : ce sont les deux groupes les plus nombreux (50 et 60 sur 120 salariés), ils pèsent donc bien plus lourd dans la moyenne pondérée que le petit groupe à 15 minutes (seulement 10 salariés).
2. \begin{aligned}\bar{t} &= \dfrac{50 \times 35 + 60 \times 40 + 10 \times 15}{120} \\ &= \dfrac{1\,750 + 2\,400 + 150}{120} \\ &= \dfrac{4\,300}{120} \\ &\approx 35{,}8\end{aligned}Temps de trajet moyen global : environ 35,8 minutes, ce qui confirme l'intuition de la question 1.
2. \begin{aligned}\bar{t} &= \dfrac{50 \times 35 + 60 \times 40 + 10 \times 15}{120} \\ &= \dfrac{1\,750 + 2\,400 + 150}{120} \\ &= \dfrac{4\,300}{120} \\ &\approx 35{,}8\end{aligned}Temps de trajet moyen global : environ 35,8 minutes, ce qui confirme l'intuition de la question 1.
Exercice 5 : Covariance et sens de la liaison⭐⭐
Le nombre d'heures de publicité télévisée X et les ventes hebdomadaires Y (en centaines d'unités) d'un produit, sur 5 semaines : X : 2, 4, 6, 8, 10 ; Y : 8, 11, 15, 18, 23.
- Calcule les moyennes de X et de Y.
- Calcule la covariance entre X et Y (formule de définition).
- Le signe de la covariance était-il prévisible avant le calcul ? Justifie.
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. \begin{aligned}\bar{x} &= \frac{2+4+6+8+10}{5} \\ &= 6\end{aligned} \begin{aligned}\bar{y} &= \frac{8+11+15+18+23}{5} \\ &= 15\end{aligned}
2. Écarts : X - \bar{x} : -4, -2, 0, 2, 4 ; Y - \bar{y} : -7, -4, 0, 3, 8.\begin{aligned}\text{Cov}(X,Y) &= \dfrac{(-4)(-7) + (-2)(-4) + 0 + 2 \times 3 + 4 \times 8}{5} \\ &= \dfrac{28 + 8 + 0 + 6 + 32}{5} \\ &= \dfrac{74}{5} \\ &= 14{,}8\end{aligned}3. Oui, le signe POSITIF était prévisible : on s'attend économiquement à ce que plus de publicité entraîne plus de ventes (liaison positive), ce que confirme le calcul.
2. Écarts : X - \bar{x} : -4, -2, 0, 2, 4 ; Y - \bar{y} : -7, -4, 0, 3, 8.\begin{aligned}\text{Cov}(X,Y) &= \dfrac{(-4)(-7) + (-2)(-4) + 0 + 2 \times 3 + 4 \times 8}{5} \\ &= \dfrac{28 + 8 + 0 + 6 + 32}{5} \\ &= \dfrac{74}{5} \\ &= 14{,}8\end{aligned}3. Oui, le signe POSITIF était prévisible : on s'attend économiquement à ce que plus de publicité entraîne plus de ventes (liaison positive), ce que confirme le calcul.
Exercice 6 : Coefficient de corrélation et interprétation⭐⭐⭐
Sur l'exercice précédent (publicité X et ventes Y) : \text{Var}(X) = \frac{16+4+0+4+16}{5} = 8 et \text{Var}(Y) = \frac{49+16+0+9+64}{5} = 27{,}6.
- Calcule les écarts-types de X et de Y (arrondis au centième).
- Calcule le coefficient de corrélation linéaire r (arrondi au centième).
- Interprète la valeur trouvée.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. \begin{aligned}\sigma_X &= \sqrt{8} \\ &\approx 2{,}83\end{aligned} \begin{aligned}\sigma_Y &= \sqrt{27{,}6} \\ &\approx 5{,}25\end{aligned}
2. \begin{aligned}r &= \dfrac{14{,}8}{2{,}83 \times 5{,}25} \\ &= \dfrac{14{,}8}{14{,}86} \\ &\approx 0{,}996\end{aligned}3. r \approx 1 : la liaison linéaire entre le budget publicitaire et les ventes hebdomadaires est quasiment parfaite sur cet échantillon. Remarque : n = 5 est un TRÈS petit échantillon ; un tel r ne prouve pas que la publicité CAUSE les ventes (voir chapitre, partie I).
2. \begin{aligned}r &= \dfrac{14{,}8}{2{,}83 \times 5{,}25} \\ &= \dfrac{14{,}8}{14{,}86} \\ &\approx 0{,}996\end{aligned}3. r \approx 1 : la liaison linéaire entre le budget publicitaire et les ventes hebdomadaires est quasiment parfaite sur cet échantillon. Remarque : n = 5 est un TRÈS petit échantillon ; un tel r ne prouve pas que la publicité CAUSE les ventes (voir chapitre, partie I).
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Droite de régression, résidus et R²⭐⭐⭐
On reprend la publicité X et les ventes Y des exercices 5 et 6 : \bar{x} = 6, \bar{y} = 15, \text{Cov}(X,Y) = 14{,}8, \text{Var}(X) = 8
- Calcule la pente b et l'ordonnée à l'origine a de la droite de régression \hat{y} = a + b\,x.
- Calcule la valeur ajustée pour X = 6 heures de publicité, puis le résidu correspondant (rappel : Y = 15 pour X = 6).
- Utilise la droite pour prévoir les ventes si l'entreprise programme 12 heures de publicité. Cette prévision te semble-t-elle fiable ? Justifie en une phrase.
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. \begin{aligned}b &= \dfrac{14{,}8}{8} \\ &= 1{,}85\end{aligned}\begin{aligned}a &= 15 - 1{,}85 \times 6 \\ &= 15 - 11{,}1 \\ &= 3{,}9\end{aligned}Droite : \hat{y} = 3{,}9 + 1{,}85\,x.
2. \begin{aligned}\hat{y}(6) &= 3{,}9 + 1{,}85 \times 6 \\ &= 3{,}9 + 11{,}1 \\ &= 15\end{aligned}Résidu : \begin{aligned}e &= 15 - 15 \\ &= 0\end{aligned} (le point X = 6 est exactement sur la droite, puisque (\bar{x}, \bar{y}) appartient TOUJOURS à la droite de régression).
3. \begin{aligned}\hat{y}(12) &= 3{,}9 + 1{,}85 \times 12 \\ &= 3{,}9 + 22{,}2 \\ &= 26{,}1\end{aligned}Prévision : environ 2 610 unités vendues. X = 12 est situé juste au-delà du maximum observé (X = 10) : c'est une extrapolation légère, encore assez raisonnable, mais qui reste moins sûre qu'une prévision faite À L'INTÉRIEUR de l'intervalle observé (2 à 10).
2. \begin{aligned}\hat{y}(6) &= 3{,}9 + 1{,}85 \times 6 \\ &= 3{,}9 + 11{,}1 \\ &= 15\end{aligned}Résidu : \begin{aligned}e &= 15 - 15 \\ &= 0\end{aligned} (le point X = 6 est exactement sur la droite, puisque (\bar{x}, \bar{y}) appartient TOUJOURS à la droite de régression).
3. \begin{aligned}\hat{y}(12) &= 3{,}9 + 1{,}85 \times 12 \\ &= 3{,}9 + 22{,}2 \\ &= 26{,}1\end{aligned}Prévision : environ 2 610 unités vendues. X = 12 est situé juste au-delà du maximum observé (X = 10) : c'est une extrapolation légère, encore assez raisonnable, mais qui reste moins sûre qu'une prévision faite À L'INTÉRIEUR de l'intervalle observé (2 à 10).
Exercice 8 : Synthèse : limites de la corrélation et de la régression⭐⭐⭐
Un chercheur observe, sur les 40 dernières années, une forte corrélation positive (r ≈ 0,9) entre le nombre annuel de films dans lesquels un acteur célèbre est apparu et le nombre de personnes mortes noyées en piscine cette année-là.
- Peut-on en conclure que les films de cet acteur causent des noyades ? Nomme le phénomène statistique illustré par cet exemple.
- Un autre chercheur ajuste une droite de régression sur un nuage de points en forme de U (la variable Y diminue d'abord quand X augmente, puis remonte). Il trouve r \approx 0{,}05. A-t-il raison de conclure qu'il n'existe AUCUN lien entre X et Y ?
- Pour une droite de régression estimée sur des revenus allant de 1 000 à 3 000 €, quel risque prend-on à l'utiliser pour prévoir la consommation d'un ménage à 20 000 € de revenu ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. Non : c'est un exemple de corrélation fallacieuse (ou fortuite) : avec suffisamment de séries statistiques comparées sur assez d'années, des coïncidences numériques apparaissent par pur hasard, sans le moindre lien économique ou causal entre les deux phénomènes.
2. Non : r ne détecte QUE les liaisons LINÉAIRES. Un nuage en forme de U peut cacher un lien très fort et parfaitement régulier (une relation quadratique, par exemple), tout en donnant un r proche de 0 parce que la pente moyenne s'annule sur l'ensemble du nuage. Il faut toujours regarder le nuage de points, pas seulement la valeur de r.
3. 20 000 € est très largement en dehors de l'intervalle des revenus observés (1 000 à 3 000 €) : c'est de l'extrapolation extrême. Rien ne garantit que la relation linéaire estimée sur des revenus modestes reste valable à un niveau de revenu très supérieur (la propension à consommer diminue en général quand le revenu devient très élevé) : la prévision n'aurait aucune fiabilité assurée.
2. Non : r ne détecte QUE les liaisons LINÉAIRES. Un nuage en forme de U peut cacher un lien très fort et parfaitement régulier (une relation quadratique, par exemple), tout en donnant un r proche de 0 parce que la pente moyenne s'annule sur l'ensemble du nuage. Il faut toujours regarder le nuage de points, pas seulement la valeur de r.
3. 20 000 € est très largement en dehors de l'intervalle des revenus observés (1 000 à 3 000 €) : c'est de l'extrapolation extrême. Rien ne garantit que la relation linéaire estimée sur des revenus modestes reste valable à un niveau de revenu très supérieur (la propension à consommer diminue en général quand le revenu devient très élevé) : la prévision n'aurait aucune fiabilité assurée.