Fiche de cours Logimaths | L1 Éco, ATIE
Fiche de cours : Les distributions à un caractère
Au-delà de la moyenne : tendance centrale, dispersion, forme et concentration d'une série statistique
I. Résumer une distribution : quatre familles d'indicateurs
Pourquoi la moyenne ne suffit jamais
Deux entreprises peuvent avoir le même salaire moyen et des réalités salariales totalement différentes : l'une où tout le monde gagne à peu près pareil, l'autre où une poignée de très hauts salaires tire la moyenne vers le haut pendant que la majorité gagne beaucoup moins. Décrire correctement une distribution demande quatre familles d'indicateurs, complémentaires :
- Tendance centrale : autour de quelle valeur les observations se regroupent-elles ? (mode, médiane, moyenne…)
- Dispersion : les valeurs sont-elles resserrées ou étalées autour de ce centre ? (étendue, écart-type…)
- Forme : la distribution est-elle symétrique, ou étirée d'un côté ? (asymétrie, aplatissement)
- Concentration : la variable (souvent un revenu, un patrimoine, un chiffre d'affaires) est-elle également répartie entre les individus, ou accaparée par quelques-uns ? (courbe de Lorenz, indice de Gini)
Rappel du chapitre 1 : effectifs, fréquences, classes
Les indicateurs de ce chapitre se calculent sur un tableau de modalités avec leurs effectifs n_i (effectif total N = \sum n_i), ou sur une variable continue regroupée en classes (intervalles disjoints). La fréquence cumulée à la fin d'une classe (ou d'une modalité) donne la part des individus dont la valeur est inférieure à cette borne : c'est elle qui permet de localiser la médiane et les quartiles.
👆 ▶ À toi : le salaire moyen d'une entreprise est de 3 000 €, mais un seul salarié gagne 15 000 € et tous les autres environ 2 000 €. La moyenne suffit-elle à décrire cette distribution ? Vérifie
Non : la moyenne est tirée vers le haut par une seule valeur extrême, elle ne représente aucun salarié réel de cette entreprise. Il faut la compléter par la médiane (qui resterait proche de 2 000 €, peu sensible aux valeurs extrêmes) et par un indicateur de dispersion (écart-type très élevé, révélant l'hétérogénéité).
🎮 Entraîne-toi : à quelle famille appartient cet indicateur ?
Tendance centrale, dispersion, forme ou concentration ?
II. Indicateurs de tendance centrale
Le mode
Le mode est la modalité la plus fréquente, celle dont l'effectif est le plus élevé. Pour une variable continue regroupée en classes, on parle de classe modale (celle qui a le plus grand effectif). Exemple : si la classe [1 800 ; 2 100[ regroupe le plus de salariés, c'est la classe modale des salaires.
🎮 Entraîne-toi : trouver le mode
Repère la valeur la plus fréquente de la série.
La médiane
La médiane \text{Med} partage la série ordonnée en deux effectifs égaux : autant d'observations lui sont inférieures que supérieures.
- Données brutes (n valeurs individuelles, classées par ordre croissant) : si n est impair, la médiane est la valeur centrale ; si n est pair, c'est la moyenne des deux valeurs centrales.
- Tableau d'effectifs : on cherche la première modalité dont la fréquence cumulée croissante atteint ou dépasse 50 %.
- Données groupées en classes : on repère la classe médiane (celle où la fréquence cumulée franchit 50 %), puis on interpole linéairement à l'intérieur :
\text{Med} = b_{\text{inf}} + \dfrac{\frac{N}{2} - CFC_{\text{avant}}}{n_{\text{classe}}} \times \text{amplitude}
avec b_{\text{inf}} la borne inférieure de la classe médiane, CFC_{\text{avant}} l'effectif cumulé avant cette classe, n_{\text{classe}} son effectif.
Exemple chiffré : médiane du salaire (données groupées)
Reprenons le tableau des 100 salariés ([1\,200\,;\,1\,500[ : 10,\; [1\,500\,;\,1\,800[ : 20,\; [1\,800\,;\,2\,100[ : 40,\; [2\,100\,;\,2\,400[ : 20,\; [2\,400\,;\,2\,700[ : 10). Effectifs cumulés : 10, 30, 70, 90, 100. La moitié de l'effectif (50) est atteinte dans la classe [1\,800\,;\,2\,100[ (effectif cumulé avant : 30, effectif de la classe : 40, amplitude : 300) :\begin{aligned}\text{Med} &= 1\,800 + \dfrac{50 - 30}{40} \times 300 \\ &= 1\,800 + 150 \\ &= 1\,950\end{aligned}Le même raisonnement, appliqué à \frac{N}{4} = 25 et \frac{3N}{4} = 75, donne Q_1 = 1\,725 et Q_3 = 2\,175 (en €).
Salaire mensuel net (en €) de 100 salariés d'une entreprise, regroupé en 5 classes de même
amplitude (300 €). L'histogramme (haut) montre la forme de la distribution ;
la boîte à moustaches (bas), alignée sur la même échelle, résume sa tendance centrale et
sa dispersion en cinq valeurs : minimum, premier quartile, médiane, troisième
quartile, maximum.
Quartiles, déciles, centiles
Les quantiles généralisent la médiane : ils découpent la série ordonnée en parts d'effectifs égaux.
- Quartiles Q_1, Q_2, Q_3 (4 parts de 25 %) : Q_2 = \text{Med}.
- Déciles D_1, \dots, D_9 (10 parts de 10 %) : D_5 = \text{Med}.
- Centiles C_1, \dots, C_{99} (100 parts de 1 %).
- Si r n'est pas entier : le quantile est la valeur de rang immédiatement supérieur.
- Si r est entier : le quantile est la moyenne des valeurs de rang r et r+1.
👆 ▶ À toi : le troisième quartile du salaire d'une entreprise vaut 2 800 €. Que peux-tu en déduire ? Vérifie
Que 75 % des salariés gagnent moins de 2 800 € (et donc 25 % gagnent plus). C'est une lecture directe de la définition du quartile, sans aucun calcul supplémentaire.
🎮 Entraîne-toi : calculer un quartile (méthode du rang)
Ordonne la série, calcule le rang, puis lis la valeur.
La moyenne arithmétique
La moyenne arithmétique (simple) d'une série de n valeurs :
\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i} x_i
La moyenne pondérée, quand chaque valeur x_i a un effectif n_i (ou un poids) :\bar{x} = \dfrac{\sum_i n_i x_i}{N}
⚠️ Contrairement à la médiane, la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes : un seul très gros salaire suffit à la déplacer nettement, alors que la médiane n'en bouge presque pas.
🎮 Entraîne-toi : calculer une moyenne pondérée
Applique la formule sur un petit tableau modalités / effectifs.
Les autres moyennes : laquelle utiliser ?
La moyenne arithmétique n'est pas toujours pertinente : pour des taux d'évolution ou des grandeurs exprimées en rapport, d'autres moyennes donnent le résultat économiquement correct.
| Moyenne | Formule | Quand l'utiliser |
|---|---|---|
| Géométrique | \left(\prod_i x_i\right)^{1/n} | taux de croissance moyens (PIB, inflation) |
| Harmonique | \dfrac{n}{\sum_i \frac{1}{x_i}} | grandeurs en rapport à quantité fixe (vitesse, prix moyen d'achat) |
| Quadratique | \sqrt{\dfrac{\sum_i x_i^2}{n}} | écart quadratique moyen (sert au calcul de l'écart-type) |
Exemple : moyenne géométrique d'un taux de croissance
Le chiffre d'affaires d'une entreprise augmente de 10 % une année, puis diminue de 10 % l'année suivante. Est-il revenu à son niveau de départ ? La moyenne arithmétique des deux taux vaut \frac{10 - 10}{2} = 0 %, ce qui suggérerait un retour au point de départ. Mais chaque taux multiplie le chiffre d'affaires par un coefficient (1,10 puis 0,90) : c'est la moyenne géométrique des coefficients qui donne le taux moyen réel :\begin{aligned}g &= \sqrt{1{,}10 \times 0{,}90} - 1 \\ &= \sqrt{0{,}99} - 1 \\ &\approx -0{,}005\end{aligned}Un taux de croissance moyen d'environ -0{,}5 % : le chiffre d'affaires n'est PAS revenu à son niveau initial (il a même globalement reculé, puisque 1{,}10 \times 0{,}90 = 0{,}99 < 1).
👆 ▶ À toi : reprends l'exemple précédent. Retrouve, sans repasser par la moyenne géométrique, pourquoi le résultat final est inférieur au niveau de départ. Vérifie
Une hausse de 10 % multiplie par 1,10 ; la baisse de 10 % qui suit s'applique à cette NOUVELLE valeur, donc multiplie par 0,90 un montant déjà plus grand qu'au départ. Au global, le facteur est 1{,}10 \times 0{,}90 = 0{,}99, inférieur à 1 : la baisse de 10 % « efface » plus que la hausse de 10 % n'avait ajouté, en valeur absolue.
Exemple : moyenne harmonique d'une vitesse moyenne
Un livreur effectue deux trajets de même longueur : le premier à 40 km/h (embouteillages), le second à 60 km/h (route dégagée). La vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet n'est PAS \frac{40+60}{2} = 50 km/h (cela ne vaudrait que si les deux trajets duraient le même TEMPS, pas la même distance) : c'est la moyenne harmonique des deux vitesses qu'il faut utiliser :\begin{aligned}H &= \dfrac{2}{\frac{1}{40} + \frac{1}{60}} \\ &= \dfrac{2}{\frac{3}{120} + \frac{2}{120}} \\ &= \dfrac{2 \times 120}{5} \\ &= 48\end{aligned}Vitesse moyenne réelle : 48 km/h, plus proche de la vitesse la plus basse (le trajet lent dure plus longtemps, donc pèse davantage dans la moyenne).
III. Indicateurs de dispersion
Étendue et intervalle interquartile
L'étendue est l'écart entre la plus grande et la plus petite valeur : e = x_{\max} - x_{\min}. Très simple, mais entièrement dictée par les deux valeurs extrêmes.
L'intervalle interquartile (IIQ), plus robuste, mesure la dispersion des 50 % centraux de la série :
L'intervalle interquartile (IIQ), plus robuste, mesure la dispersion des 50 % centraux de la série :
\text{IIQ} = Q_3 - Q_1
Sur l'exemple précédent : \text{IIQ} = 2\,175 - 1\,725 = 450 €.
Variance et écart-type
La variance mesure la moyenne des écarts au carré entre chaque valeur et la moyenne : plus elle est grande, plus la série est dispersée.
V = \dfrac{1}{n}\sum_i (x_i - \bar{x})^2 \quad \text{(formule de définition)}
Équivalente, plus rapide à calculer à la main :V = \dfrac{1}{n}\sum_i x_i^2 - \bar{x}^2 \quad \text{(formule développée)}
La variance s'exprime dans le carré de l'unité de la variable (des €² pour un salaire) : peu lisible. On lui préfère l'écart-type, sa racine carrée, qui revient dans l'unité de départ :\sigma = \sqrt{V}
Exemple chiffré : variance et écart-type
Le chiffre d'affaires trimestriel (en milliers d'€) de 5 succursales : 40, 45, 50, 55, 60. Moyenne : \begin{aligned}\bar{x} &= \frac{40+45+50+55+60}{5} \\ &= 50\end{aligned} Écarts à la moyenne : -10, -5, 0, 5, 10. Formule de définition :\begin{aligned}V &= \dfrac{(-10)^2 + (-5)^2 + 0^2 + 5^2 + 10^2}{5} \\ &= \dfrac{250}{5} \\ &= 50\end{aligned}Formule développée, à titre de vérification (\sum x_i^2 = 1\,600 + 2\,025 + 2\,500 + 3\,025 + 3\,600 = 12\,750) :\begin{aligned}V &= \dfrac{12\,750}{5} - 50^2 \\ &= 2\,550 - 2\,500 \\ &= 50\end{aligned}On retrouve bien la même valeur : les deux formules sont équivalentes. Écart-type :\begin{aligned}\sigma &= \sqrt{50} \\ &\approx 7{,}07\end{aligned} (soit environ 7 070 €).
🎮 Entraîne-toi : calculer une variance
Formule de définition : moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
Le coefficient de variation
L'écart-type seul ne permet pas de comparer la dispersion de deux variables d'ordres de grandeur différents (un salaire en milliers d'euros, un âge en années). Le coefficient de variation rapporte l'écart-type à la moyenne, sans unité :
CV = \dfrac{\sigma}{\bar{x}} \times 100
Plus CV est élevé, plus la série est relativement dispersée par rapport à sa propre moyenne.
👆 ▶ À toi : dans une entreprise, le salaire moyen est de 2 500 € (écart-type 800 €) et l'âge moyen des salariés est de 40 ans (écart-type 8 ans). Laquelle des deux variables est relativement la plus dispersée ? Vérifie
Salaire : \begin{aligned}CV &= \frac{800}{2\,500} \times 100 \\ &= 32\end{aligned} %. Âge : \begin{aligned}CV &= \frac{8}{40} \times 100 \\ &= 20\end{aligned} %. Le salaire (32 % > 20 %) est relativement plus dispersé que l'âge, alors que comparer directement 800 € et 8 ans n'aurait aucun sens (unités différentes).
IV. Indicateurs de forme
Asymétrie (skewness)
Une distribution est symétrique quand mode, médiane et moyenne coïncident (à peu près). Comparer leur ordre indique le sens de l'asymétrie :
Les distributions de salaires ou de patrimoines sont presque toujours asymétriques à droite : une minorité de très hauts revenus tire la moyenne au-dessus de la médiane. Un indicateur chiffré, le coefficient de Yule, formalise cette comparaison :
| Ordre des trois indicateurs | Forme de la distribution |
|---|---|
| \text{mode} = \text{Med} = \bar{x} | symétrique |
| \text{mode} < \text{Med} < \bar{x} | asymétrique à droite (étalée vers les valeurs hautes) |
| \text{mode} > \text{Med} > \bar{x} | asymétrique à gauche (étalée vers les valeurs basses) |
\gamma = \dfrac{\bar{x} - \text{mode}}{\sigma}
positif pour une asymétrie à droite, négatif à gauche, proche de 0 pour une distribution symétrique.
Aplatissement (kurtosis)
L'aplatissement compare la « pointe » de la distribution à celle d'une courbe de référence (loi normale) : une distribution leptokurtique est plus pointue et concentrée autour du centre (queues plus épaisses), une distribution platikurtique est plus aplatie, plus étalée. Au niveau L1, cette lecture reste qualitative : observer la forme de l'histogramme suffit à qualifier la distribution.
👆 ▶ À toi : pour une série de notes d'amphi, mode = médiane = moyenne = 12/20. Pour les salaires d'une grande entreprise, mode = 1 900 €, médiane = 2 100 €, moyenne = 2 400 €. Compare les deux formes. Vérifie
Les notes forment une distribution symétrique (les trois indicateurs coïncident). Les salaires forment une distribution asymétrique à droite (mode < médiane < moyenne) : une minorité de hauts salaires tire la moyenne au-dessus de la médiane, qui reste elle-même au-dessus du salaire le plus fréquent.
🎮 Entraîne-toi : symétrique, ou asymétrique ?
Compare l'ordre du mode, de la médiane et de la moyenne.
V. Indicateurs de concentration
La courbe de Lorenz
La courbe de Lorenz représente, pour chaque part cumulée de la population (classée de la plus modeste à la plus riche, en abscisse), la part cumulée qu'elle détient de la variable étudiée : revenu, patrimoine, chiffre d'affaires… La diagonale d'équirépartition correspond au cas où chaque X % de la population détient exactement X % de la richesse totale (égalité parfaite). Plus la courbe réelle s'éloigne de la diagonale (en dessous), plus la répartition est inégalitaire.
Les 20 % les plus modestes détiennent seulement 5 % du revenu total, les 40 %
les plus modestes 15 %, etc. Plus la courbe s'écarte de la diagonale (aire ombrée),
plus les inégalités sont fortes.
L'indice de Gini
L'indice de Gini résume l'écart entre la courbe de Lorenz et la diagonale en un seul nombre, compris entre 0 et 1 :
\text{Gini} = 2 \times \text{aire de concentration}
où l'aire de concentration est l'aire comprise entre la diagonale et la courbe de Lorenz (rapportée à l'aire totale sous la diagonale).- Gini proche de 0 : courbe collée à la diagonale, répartition proche de l'égalité parfaite.
- Gini proche de 1 : courbe très éloignée de la diagonale, un tout petit nombre d'individus détient l'essentiel de la richesse.
La médiale
La médiale M est la valeur qui partage la masse totale de la variable en deux parts égales (et non le nombre d'individus, comme la médiane) : la moitié du revenu total est détenue par les individus dont le revenu est inférieur à M, l'autre moitié par ceux dont le revenu est supérieur.
⚠️ Pour une distribution asymétrique à droite (le cas typique des revenus), \text{médiale} > \text{médiane} : il faut aller assez haut dans l'échelle des revenus avant que la moitié de la masse totale soit franchie, car les premiers revenus (nombreux mais modestes) pèsent peu en masse.
⚠️ Pour une distribution asymétrique à droite (le cas typique des revenus), \text{médiale} > \text{médiane} : il faut aller assez haut dans l'échelle des revenus avant que la moitié de la masse totale soit franchie, car les premiers revenus (nombreux mais modestes) pèsent peu en masse.
👆 ▶ À toi : dans un pays, la courbe de Lorenz du revenu est presque collée à la diagonale. Que peux-tu en dire sur l'indice de Gini et sur les inégalités ? Vérifie
L'indice de Gini est proche de 0 : la répartition du revenu est proche de l'égalité parfaite, chaque tranche de population détient une part de revenu à peu près proportionnelle à son poids démographique. Les inégalités de revenu y sont faibles.