Fiche d'exercices Logimaths | L1 Éco, ATIE
Fiche d'exercices : Les distributions à un caractère
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Classer quatre indicateurs par famille⭐
Pour chacun des indicateurs suivants, précise s'il relève de la tendance centrale, de la dispersion, de la forme ou de la concentration :
- l'écart-type d'une série de salaires ;
- l'indice de Gini d'un pays ;
- la médiane d'une série de notes ;
- le coefficient d'asymétrie (skewness).
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. L'écart-type mesure un étalement autour de la moyenne : dispersion.
2. L'indice de Gini mesure l'inégalité de répartition d'une variable : concentration.
3. La médiane résume la série par une valeur centrale : tendance centrale.
4. Le coefficient d'asymétrie décrit si la distribution est étirée d'un côté : forme.
2. L'indice de Gini mesure l'inégalité de répartition d'une variable : concentration.
3. La médiane résume la série par une valeur centrale : tendance centrale.
4. Le coefficient d'asymétrie décrit si la distribution est étirée d'un côté : forme.
Exercice 2 : Mode et médiane sur des données brutes⭐
Voici la note sur 20 obtenue par 9 étudiants à un TD de statistiques : 8, 11, 14, 11, 9, 14, 11, 16, 10.
- Détermine le mode de cette série.
- Ordonne la série, puis détermine la médiane.
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. La valeur 11 apparaît 3 fois, plus que toute autre : mode = 11.
2. Série ordonnée : 8, 9, 10, 11, 11, 11, 14, 14, 16 (n = 9, impair). La médiane est la 5e valeur : médiane = 11.
2. Série ordonnée : 8, 9, 10, 11, 11, 11, 14, 14, 16 (n = 9, impair). La médiane est la 5e valeur : médiane = 11.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Quartiles par la méthode du rang⭐⭐
Le chiffre d'affaires journalier (en €) de 8 boutiques d'une même enseigne, relevé un samedi : 420, 380, 510, 460, 395, 530, 470, 405.
- Ordonne la série.
- Calcule le premier quartile Q1 (rang = n × 0,25).
- Calcule le troisième quartile Q3 (rang = n × 0,75).
- Calcule l'intervalle interquartile.
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. Série ordonnée : 380, 395, 405, 420, 460, 470, 510, 530 (n = 8).
2. Rang = 8 \times 0{,}25 = 2, entier : Q1 = moyenne des valeurs de rang 2 et 3 = \frac{395 + 405}{2} = 400 €.
3. Rang = 8 \times 0{,}75 = 6, entier : Q3 = moyenne des valeurs de rang 6 et 7 = \frac{470 + 510}{2} = 490 €.
4. \text{IIQ} = 490 - 400 = 90 €.
2. Rang = 8 \times 0{,}25 = 2, entier : Q1 = moyenne des valeurs de rang 2 et 3 = \frac{395 + 405}{2} = 400 €.
3. Rang = 8 \times 0{,}75 = 6, entier : Q3 = moyenne des valeurs de rang 6 et 7 = \frac{470 + 510}{2} = 490 €.
4. \text{IIQ} = 490 - 400 = 90 €.
Exercice 4 : Médiane et quartiles sur des données groupées (interpolation linéaire)⭐⭐
La durée d'attente en caisse (en minutes) de 150 clients d'un supermarché, un samedi après-midi, est regroupée en classes :
| Attente (min) | Effectif |
|---|---|
| [0 ; 2[ | 15 |
| [2 ; 4[ | 30 |
| [4 ; 6[ | 60 |
| [6 ; 8[ | 30 |
| [8 ; 10[ | 15 |
- Calcule les effectifs cumulés croissants.
- Détermine la classe médiane, puis calcule la médiane par interpolation linéaire.
- Calcule Q1 et Q3 par la même méthode, puis l'intervalle interquartile.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. Effectifs cumulés : 15, 45, 105, 135, 150.
2. \frac{N}{2} = 75 est franchi dans la classe [4 ; 6[ (cumulé avant : 45, effectif : 60) :\begin{aligned}\text{Med} &= 4 + \dfrac{75 - 45}{60} \times 2 \\ &= 4 + 1 \\ &= 5\end{aligned}3. \frac{N}{4} = 37{,}5 est franchi dans [2 ; 4[ (cumulé avant : 15, effectif : 30) :\begin{aligned}Q_1 &= 2 + \dfrac{37{,}5 - 15}{30} \times 2 \\ &= 2 + 1{,}5 \\ &= 3{,}5\end{aligned}\frac{3N}{4} = 112{,}5 est franchi dans [6 ; 8[ (cumulé avant : 105, effectif : 30) :\begin{aligned}Q_3 &= 6 + \dfrac{112{,}5 - 105}{30} \times 2 \\ &= 6 + 0{,}5 \\ &= 6{,}5\end{aligned}Intervalle interquartile : 6{,}5 - 3{,}5 = 3 minutes.
2. \frac{N}{2} = 75 est franchi dans la classe [4 ; 6[ (cumulé avant : 45, effectif : 60) :\begin{aligned}\text{Med} &= 4 + \dfrac{75 - 45}{60} \times 2 \\ &= 4 + 1 \\ &= 5\end{aligned}3. \frac{N}{4} = 37{,}5 est franchi dans [2 ; 4[ (cumulé avant : 15, effectif : 30) :\begin{aligned}Q_1 &= 2 + \dfrac{37{,}5 - 15}{30} \times 2 \\ &= 2 + 1{,}5 \\ &= 3{,}5\end{aligned}\frac{3N}{4} = 112{,}5 est franchi dans [6 ; 8[ (cumulé avant : 105, effectif : 30) :\begin{aligned}Q_3 &= 6 + \dfrac{112{,}5 - 105}{30} \times 2 \\ &= 6 + 0{,}5 \\ &= 6{,}5\end{aligned}Intervalle interquartile : 6{,}5 - 3{,}5 = 3 minutes.
Exercice 5 : Moyenne pondérée et moyenne géométrique⭐⭐
a) Une PME de 20 salariés se répartit selon le nombre de jours de télétravail par semaine : 4 salariés à 0 jour, 10 salariés à 1 jour, 6 salariés à 2 jours. Calcule le nombre moyen (pondéré) de jours de télétravail par semaine.
b) Le chiffre d'affaires d'une entreprise évolue ainsi sur deux années successives : + 20 % la première année, − 10 % la seconde. Calcule le taux de croissance annuel moyen (moyenne géométrique des coefficients multiplicateurs), puis compare-le à la moyenne arithmétique des deux taux. 📘 Revoir le cours : II. Indicateurs de tendance centrale
b) Le chiffre d'affaires d'une entreprise évolue ainsi sur deux années successives : + 20 % la première année, − 10 % la seconde. Calcule le taux de croissance annuel moyen (moyenne géométrique des coefficients multiplicateurs), puis compare-le à la moyenne arithmétique des deux taux. 📘 Revoir le cours : II. Indicateurs de tendance centrale
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
a) \begin{aligned}\bar{x} &= \dfrac{0 \times 4 + 1 \times 10 + 2 \times 6}{20} \\ &= \dfrac{0 + 10 + 12}{20} \\ &= \dfrac{22}{20} \\ &= 1{,}1\end{aligned}Les salariés télétravaillent en moyenne 1,1 jour par semaine.
b) Coefficients multiplicateurs : 1,20 puis 0,90.\begin{aligned}g &= \sqrt{1{,}20 \times 0{,}90} - 1 \\ &= \sqrt{1{,}08} - 1 \\ &\approx 0{,}039\end{aligned}Taux de croissance annuel moyen : ≈ + 3,9 %. La moyenne arithmétique des deux taux vaudrait \frac{20 - 10}{2} = 5 %, ce qui SURESTIME la croissance réelle : la moyenne géométrique tient compte du fait que chaque taux s'applique à un chiffre d'affaires déjà modifié par le taux précédent.
b) Coefficients multiplicateurs : 1,20 puis 0,90.\begin{aligned}g &= \sqrt{1{,}20 \times 0{,}90} - 1 \\ &= \sqrt{1{,}08} - 1 \\ &\approx 0{,}039\end{aligned}Taux de croissance annuel moyen : ≈ + 3,9 %. La moyenne arithmétique des deux taux vaudrait \frac{20 - 10}{2} = 5 %, ce qui SURESTIME la croissance réelle : la moyenne géométrique tient compte du fait que chaque taux s'applique à un chiffre d'affaires déjà modifié par le taux précédent.
Pour aller plus loin
Exercice 6 : Variance, écart-type et coefficient de variation : comparer deux magasins⭐⭐⭐
Deux magasins d'une même enseigne relèvent leur activité sur 4 jours :
- Magasin A, nombre de clients par jour : 180, 195, 205, 220.
- Magasin B, chiffre d'affaires quotidien (en centaines d'€) : 35, 45, 55, 65.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
Magasin A : moyenne = \frac{180+195+205+220}{4} = 200. Écarts : -20, -5, 5, 20\begin{aligned}V_A &= \dfrac{20^2 + 5^2 + 5^2 + 20^2}{4} \\ &= \dfrac{850}{4} \\ &= 212{,}5\end{aligned}\begin{aligned}\sigma_A &= \sqrt{212{,}5} \\ &\approx 14{,}58\end{aligned}
Magasin B : moyenne = \frac{35+45+55+65}{4} = 50. Écarts : -15, -5, 5, 15\begin{aligned}V_B &= \dfrac{15^2 + 5^2 + 5^2 + 15^2}{4} \\ &= \dfrac{500}{4} \\ &= 125\end{aligned}\begin{aligned}\sigma_B &= \sqrt{125} \\ &\approx 11{,}18\end{aligned}
Coefficients de variation : \begin{aligned}CV_A &= \frac{14{,}58}{200}\times 100 \\ &\approx 7{,}3\end{aligned} % ; \begin{aligned}CV_B &= \frac{11{,}18}{50}\times 100 \\ &\approx 22{,}4\end{aligned} %. Bien que l'écart-type ABSOLU de A soit plus grand, le magasin B est relativement le plus dispersé (22,4 % > 7,3 %) : son activité est plus irrégulière rapportée à son propre niveau moyen.
Magasin B : moyenne = \frac{35+45+55+65}{4} = 50. Écarts : -15, -5, 5, 15\begin{aligned}V_B &= \dfrac{15^2 + 5^2 + 5^2 + 15^2}{4} \\ &= \dfrac{500}{4} \\ &= 125\end{aligned}\begin{aligned}\sigma_B &= \sqrt{125} \\ &\approx 11{,}18\end{aligned}
Coefficients de variation : \begin{aligned}CV_A &= \frac{14{,}58}{200}\times 100 \\ &\approx 7{,}3\end{aligned} % ; \begin{aligned}CV_B &= \frac{11{,}18}{50}\times 100 \\ &\approx 22{,}4\end{aligned} %. Bien que l'écart-type ABSOLU de A soit plus grand, le magasin B est relativement le plus dispersé (22,4 % > 7,3 %) : son activité est plus irrégulière rapportée à son propre niveau moyen.
Exercice 7 : Lire et interpréter une asymétrie⭐⭐⭐
Dans une université, le temps de révision avant un examen (en heures) de 200 étudiants donne : mode = 8 h, médiane = 10 h, moyenne = 13 h.
- Quelle est la forme de cette distribution ? Justifie par l'ordre des trois indicateurs.
- Propose une explication économique plausible à cette asymétrie.
- Si l'on ne communiquait que la moyenne (13 h) aux étudiants, quel risque de mauvaise interprétation cela ferait-il courir ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. \text{mode} < \text{médiane} < \text{moyenne} (8 < 10 < 13) : distribution asymétrique à droite.
2. Par exemple : la majorité des étudiants révise un nombre d'heures « typique » proche de 8 à 10 h, mais une minorité d'étudiants très investis (ou très en difficulté) révise beaucoup plus longtemps, ce qui tire la moyenne vers le haut sans refléter le comportement de la majorité.
3. Un étudiant qui ne révise « que » 8 h pourrait croire, en comparant à la moyenne de 13 h, qu'il est en retard par rapport à ses camarades : la moyenne donne ici une image trompeuse, puisque la médiane (10 h) et surtout le mode (8 h, le comportement le plus répandu) montrent que la majorité révise en réalité beaucoup moins que 13 h.
2. Par exemple : la majorité des étudiants révise un nombre d'heures « typique » proche de 8 à 10 h, mais une minorité d'étudiants très investis (ou très en difficulté) révise beaucoup plus longtemps, ce qui tire la moyenne vers le haut sans refléter le comportement de la majorité.
3. Un étudiant qui ne révise « que » 8 h pourrait croire, en comparant à la moyenne de 13 h, qu'il est en retard par rapport à ses camarades : la moyenne donne ici une image trompeuse, puisque la médiane (10 h) et surtout le mode (8 h, le comportement le plus répandu) montrent que la majorité révise en réalité beaucoup moins que 13 h.
Exercice 8 : Synthèse : courbe de Lorenz, indice de Gini et médiale⭐⭐⭐
Dans le pays A, les 50 % des ménages les plus modestes détiennent 20 % du revenu national total (donc les 50 % les plus riches en détiennent 80 %). Dans le pays B, les 50 % les plus modestes détiennent 35 % du revenu total.
- Pour chaque pays, situe le point correspondant sur une courbe de Lorenz (en abscisse la part cumulée de population, en ordonnée la part cumulée de revenu), et compare sa position à la diagonale d'équirépartition.
- Lequel des deux pays a, au vu de cette seule information, l'indice de Gini le plus élevé ? Justifie.
- Dans le pays A, la médiale du revenu est-elle plutôt supérieure ou inférieure à la médiane ? Justifie sans calcul.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. Pays A : point (50 ; 20), très en dessous de la diagonale (qui passerait par (50 ; 50)). Pays B : point (50 ; 35), moins éloigné de la diagonale.
2. Plus un point de la courbe de Lorenz est éloigné (en dessous) de la diagonale, plus l'aire de concentration est grande, donc plus l'indice de Gini est élevé : le point du pays A (50 ; 20) est plus éloigné de la diagonale que celui du pays B (50 ; 35) : le pays A a l'indice de Gini le plus élevé, sa répartition du revenu est plus inégalitaire.
3. La médiale est supérieure à la médiane : dans le pays A, les 50 % de ménages les plus modestes (qui sont sous la médiane en nombre d'individus) ne détiennent que 20 % de la masse du revenu : il faut donc dépasser largement le revenu médian avant d'atteindre le point où la moitié de la masse totale du revenu est franchie, ce qui place la médiale au-dessus de la médiane.
2. Plus un point de la courbe de Lorenz est éloigné (en dessous) de la diagonale, plus l'aire de concentration est grande, donc plus l'indice de Gini est élevé : le point du pays A (50 ; 20) est plus éloigné de la diagonale que celui du pays B (50 ; 35) : le pays A a l'indice de Gini le plus élevé, sa répartition du revenu est plus inégalitaire.
3. La médiale est supérieure à la médiane : dans le pays A, les 50 % de ménages les plus modestes (qui sont sous la médiane en nombre d'individus) ne détiennent que 20 % de la masse du revenu : il faut donc dépasser largement le revenu médian avant d'atteindre le point où la moitié de la masse totale du revenu est franchie, ce qui place la médiale au-dessus de la médiane.