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Fiche de cours : Les indices

Indices élémentaires et synthétiques : Laspeyres, Paasche, Fisher, IPC et déflation

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I. Pourquoi indexer une grandeur ?

Comparer dans le temps ou dans l'espace Un indice permet de comparer une grandeur entre deux situations : deux dates (le prix d'un bien en 2015 et en 2024), deux lieux (le PIB par habitant de deux pays), ou encore l'évolution de grandeurs de natures différentes qu'on ne peut pas comparer directement en euros (les salaires et le prix du logement). On choisit une situation de référence (une date, un lieu…), à laquelle on attribue conventionnellement la valeur 100 : c'est la base de l'indice. Toute autre situation s'exprime alors relativement à cette base.

Indice élémentaire ou indice synthétique

Un indice élémentaire mesure l'évolution d'une seule grandeur simple (le prix du pain, la population d'une ville, le chiffre d'affaires d'une entreprise).
Un indice synthétique résume l'évolution d'un agrégat de grandeurs hétérogènes, qu'on ne peut pas additionner directement (des kilos de pain et des litres de lait, par exemple). C'est le cas de l'indice des prix à la consommation (IPC), de l'indice de la production industrielle, ou d'un indice boursier comme le CAC 40 : chacun regroupe des dizaines, voire des milliers, de grandeurs individuelles en un seul nombre.

Ce chapitre construit d'abord les indices élémentaires (parties II et III), puis explique comment les combiner en indices synthétiques (parties IV et V).

👆 ▶ À toi : parmi ces trois indicateurs, lesquels sont des indices ÉLÉMENTAIRES, et lequel est SYNTHÉTIQUE : (a) le prix au litre de l'essence sans plomb 95 ; (b) l'indice des prix à la consommation (IPC) ; (c) l'effectif d'une classe d'âge dans la population française. Vérifie

(a) et (c) sont des indices élémentaires : chacun suit UNE seule grandeur simple (un prix, un effectif). (b) est un indice synthétique : l'IPC résume l'évolution des prix de centaines de biens et services très différents (loyers, alimentation, énergie, santé…) en un seul nombre pondéré.

II. Les indices élémentaires

Indice élémentaire de variation Pour une grandeur V qui vaut V(0) à la date de référence 0 et V(t) à la date t, l'indice élémentaire de variation en base 100 à la date 0 est :

I(t/0) = 100 \times \dfrac{V(t)}{V(0)}

Par construction, I(0/0) = 100 : l'indice de la base vaut toujours 100.

Exemple chiffré : indice du prix d'un panier de courses Le prix d'un panier de courses hebdomadaire type passe de 45 € en 2020 (référence) à 52 € en 2024.\begin{aligned}I(2024/2020) &= 100 \times \dfrac{52}{45} \\ &\approx 115{,}6\end{aligned}L'indice vaut environ 115,6 : le prix du panier en 2024 représente 115,6 % de son prix en 2020.

Lien avec le taux de croissance L'indice et le taux de croissance t entre les deux dates (chapitre 1) portent exactement la même information, sous deux formes :

I(t/0) = 100 \times (1 + \tau) \qquad\qquad \tau (\text{en } \%) = I(t/0) - 100

Sur l'exemple précédent : \begin{aligned}\tau &= 115{,}6 - 100 \\ &= 15{,}6\end{aligned} : le prix du panier a augmenté d'environ 15,6 % entre 2020 et 2024. Un indice INFÉRIEUR à 100 traduit une baisse (taux négatif) : un indice de 92 correspond à un taux de 92 - 100 = -8 %, soit une baisse de 8 %.

🎮 Entraîne-toi : calculer un indice élémentaire

I(t/0) = 100 × valeur d'arrivée / valeur de départ.

🎮 Entraîne-toi : passer de l'indice au taux de croissance

τ (en %) = I(t/0) − 100.

Indice élémentaire de répartition Un indice ne compare pas toujours deux DATES : l'indice de répartition compare une partie à un tout, à une date donnée (comparaison structurelle, pas temporelle) :

I_{\text{répartition}} = 100 \times \dfrac{\text{grandeur partielle}}{\text{grandeur totale}}

Exemple : si les dépenses de logement représentent 720 € sur un budget mensuel total de 2 400 €, l'indice de répartition du logement dans le budget vaut 100 \times \frac{720}{2\,400} = 30 : le logement pèse pour 30 % du budget. La formule est la même que pour l'indice de variation, mais l'interprétation change : on compare une part à un ensemble, pas une valeur à elle-même dans le temps.

III. Propriétés des indices élémentaires

Réversibilité Un indice élémentaire est réversible : inverser le sens de la comparaison revient à inverser le rapport, si bien que le produit des deux indices (divisés par 100) vaut toujours 1 :

I(t/0) \times I(0/t) = 100^2

Sur l'exemple du panier (I(2024/2020) ≈ 115,6) : \begin{aligned}I(2020/2024) &= 100 \times \frac{45}{52} \\ &\approx 86{,}5\end{aligned} et bien 115{,}6 \times 86{,}5 \approx 100^2.

Transférabilité (enchaînement des indices) On peut enchaîner des indices calculés sur des sous-périodes successives pour retrouver l'indice sur la période globale, en divisant par 100 à chaque étape (propriété de circularité) :

I(2/0) = \dfrac{I(1/0) \times I(2/1)}{100}

où 1 est une date intermédiaire entre 0 et 2. C'est ce qui permet, par exemple, de reconstituer l'évolution d'un prix sur 10 ans à partir de ses évolutions annuelles successives, sans revenir à la valeur d'origine.

Exemple chiffré : enchaîner trois années Le prix d'un bien vaut 8 € en 2020, 8,80 € en 2021, puis 9,68 € en 2022.\begin{aligned}I(2021/2020) &= 100 \times \dfrac{8{,}80}{8} \\ &= 110\end{aligned}\begin{aligned}I(2022/2021) &= 100 \times \dfrac{9{,}68}{8{,}80} \\ &= 110\end{aligned}Par transférabilité :\begin{aligned}I(2022/2020) &= \dfrac{110 \times 110}{100} \\ &= 121\end{aligned}On retrouve bien le calcul direct : 100 \times \frac{9{,}68}{8} = 121. Chaque étape a fait croître le prix de 10 %, mais l'indice global n'est PAS 120 (10 + 10) : les taux de croissance ne s'additionnent pas, ils s'enchaînent par produit.

🎮 Entraîne-toi : enchaîner deux indices (transférabilité)

I(2/0) = I(1/0) × I(2/1) / 100.

Changement de base Pour comparer deux séries d'indices publiées avec des bases différentes, on doit d'abord les ramener à une base commune. Pour faire porter la référence 100 sur une nouvelle date b (au lieu de la date 0 d'origine) :

I'(t/b) = 100 \times \dfrac{I(t/0)}{I(b/0)}

(diviser CHAQUE valeur de la série par celle de la nouvelle date de référence, puis multiplier par 100).

Exemple chiffré : rebaser une série INSEE Une série de prix, base 100 en 2010 : I(2010) = 100, I(2015) = 125, I(2020) = 150. On veut la même série en base 100 en 2015 :\begin{aligned}I'(2010/2015) &= 100 \times \dfrac{100}{125} \\ &= 80\end{aligned}\begin{aligned}I'(2020/2015) &= 100 \times \dfrac{150}{125} \\ &= 120\end{aligned}La NOUVELLE série (base 2015) vaut donc 80 en 2010, 100 en 2015 et 120 en 2020 : l'évolution réelle des prix est inchangée (+50 % entre 2010 et 2020 dans les deux séries), seule l'échelle de lecture change.

👆 ▶ À toi : une série de production industrielle, base 100 en 2018, vaut I(2023/2018) = 108. On veut la rebaser en base 100 en 2023. Quelle est la nouvelle valeur de l'indice en 2018 ? Vérifie

\begin{aligned}I'(2018/2023) &= 100 \times \frac{100}{108} \\ &\approx 92{,}6\end{aligned} En base 2023, l'année 2018 vaut environ 92,6 : cohérent, puisque la production de 2018 était inférieure à celle de 2023 (108 % de 2018 = 100 % de 2023, donc 2018 pèse un peu moins de 100 % en base 2023).

IV. Les indices synthétiques : Laspeyres et Paasche

Pourquoi une simple moyenne d'indices ne suffit pas Pour suivre l'évolution du prix d'un panier de plusieurs biens, on ne peut pas se contenter de faire la moyenne simple des indices élémentaires de chaque bien : cela reviendrait à accorder le même poids à un bien acheté en très grande quantité (le pain) et à un bien acheté rarement (le caviar). Il faut pondérer chaque bien par son importance réelle dans les achats, c'est-à-dire par les quantités consommées : c'est ce que font les indices de Laspeyres et de Paasche.

L'indice de prix de Laspeyres L'indice de Laspeyres pondère chaque bien par les quantités de la période de BASE (les q_0, fixées une fois pour toutes) :

L_{\text{prix}}(t/0) = 100 \times \dfrac{\sum_i p_t^i \, q_0^i}{\sum_i p_0^i \, q_0^i}

On compare le coût du même panier (celui de la base) aux prix des deux périodes : seuls les prix changent au numérateur, les quantités restent celles de la base. C'est l'indice utilisé, en pratique, par la plupart des indices officiels de prix (dont l'IPC), car il ne nécessite de connaître les quantités qu'à UNE seule date.

L'indice de prix de Paasche L'indice de Paasche pondère au contraire chaque bien par les quantités de la période COURANTE (les q_t, celles réellement achetées à la date t) :

P_{\text{prix}}(t/0) = 100 \times \dfrac{\sum_i p_t^i \, q_t^i}{\sum_i p_0^i \, q_t^i}

On compare le coût du panier actuel aux prix des deux périodes. Paasche demande de connaître les quantités à CHAQUE date : plus coûteux à calculer, mais il tient compte du fait que les consommateurs adaptent leurs achats quand les prix changent (substitution).

Exemple chiffré : panier de 2 biens Un panier de consommation comprend deux biens A et B. Prix et quantités en 2020 (référence) et en 2024 :

Bien	p₀ (2020)	q₀ (2020)	pₜ (2024)	qₜ (2024)
A	2 €	10	2,50 €	8
B	5 €	4	6 €	5

Dépense totale en 2020 : \begin{aligned}\sum p_0 q_0 &= 2\times10 + 5\times4 \\ &= 40\end{aligned} €. Coût du panier DE BASE aux prix de 2024 : \begin{aligned}\sum p_t q_0 &= 2{,}5\times10 + 6\times4 \\ &= 49\end{aligned} €.\begin{aligned}L_{\text{prix}}(2024/2020) &= 100 \times \dfrac{49}{40} \\ &= 122{,}5\end{aligned}Coût du panier ACTUEL en 2020 : \begin{aligned}\sum p_0 q_t &= 2\times8 + 5\times5 \\ &= 41\end{aligned} €. Dépense totale en 2024 : \begin{aligned}\sum p_t q_t &= 2{,}5\times8 + 6\times5 \\ &= 50\end{aligned} €.\begin{aligned}P_{\text{prix}}(2024/2020) &= 100 \times \dfrac{50}{41} \\ &\approx 121{,}95\end{aligned}Les deux indices sont proches mais DIFFÉRENTS : en pondérant par les nouvelles quantités (davantage de bien B, plus cher, et moins de bien A), Paasche donne ici une hausse un peu plus faible que Laspeyres.

🎮 Entraîne-toi : calculer un indice de Laspeyres

Pondère par les quantités de la période de BASE (q₀).

🎮 Entraîne-toi : calculer un indice de Paasche

Pondère par les quantités de la période COURANTE (qₜ).

⚠️ Laspeyres, Paasche et le « biais de substitution » Laspeyres a tendance à surestimer la hausse du coût de la vie : en figeant le panier de la base, il ignore que les consommateurs substituent les biens devenus relativement plus chers par d'autres (moins de viande de bœuf, plus de volaille, par exemple). Paasche, à l'inverse, a tendance à sous-estimer cette hausse, car il applique aux DEUX périodes le panier déjà adapté aux nouveaux prix. Les indices officiels de prix (dont l'IPC) sont généralement de type Laspeyres, mais avec une base actualisée régulièrement pour limiter ce biais.

V. L'indice de Fisher et la reconstitution de la valeur

L'indice de Fisher L'indice de Fisher est la moyenne géométrique des indices de Laspeyres et de Paasche : il combine leurs biais opposés pour donner une estimation plus équilibrée :

F(t/0) = \sqrt{L(t/0) \times P(t/0)}

Sur l'exemple précédent : \begin{aligned}F_{\text{prix}} &= \sqrt{122{,}5 \times 121{,}95} \\ &\approx 122{,}2\end{aligned} : entre les deux, comme attendu.

Reconstituer l'indice de valeur L'indice de valeur mesure l'évolution de la dépense totale : V(t/0) = 100 \times \dfrac{\sum p_t q_t}{\sum p_0 q_0}. Il se décompose exactement en un effet-prix et un effet-quantité, à condition de croiser les deux pondérations :

\begin{aligned}V(t/0) &= \dfrac{L_{\text{prix}} \times P_{\text{qté}}}{100} \\ &= \dfrac{P_{\text{prix}} \times L_{\text{qté}}}{100}\end{aligned}

Pourquoi ? En écrivant les deux indices, le terme \sum p_t q_0 apparaît une fois au numérateur et une fois au dénominateur, et se simplifie :\begin{aligned}\dfrac{L_{\text{prix}} \times P_{\text{qté}}}{100} &= \dfrac{1}{100} \times 100\,\dfrac{\sum p_t q_0}{\sum p_0 q_0} \times 100\,\dfrac{\sum p_t q_t}{\sum p_t q_0} \\ &= 100 \times \dfrac{\sum p_t q_0}{\sum p_0 q_0} \times \dfrac{\sum p_t q_t}{\sum p_t q_0} \\ &= 100 \times \dfrac{\sum p_t q_t}{\sum p_0 q_0} && \quad \text{car } \textstyle\sum p_t q_0 \text{ se simplifie} \\ &= V(t/0)\end{aligned}C'est ce terme intermédiaire, le coût du panier de base aux prix de t, qui sert de pont entre l'effet-prix et l'effet-quantité. D'où la règle à retenir : on croise TOUJOURS un Laspeyres avec un Paasche, jamais deux indices de même type.

Remarque : \frac{L_{\text{prix}} \times L_{\text{qté}}}{100} ne redonne PAS l'indice de valeur : les deux indices de Laspeyres ont le même dénominateur \sum p_0 q_0 et des numérateurs \sum p_t q_0 et \sum p_0 q_t qui ne se simplifient avec rien. Le pont est rompu.

Exemple chiffré : reconstituer la dépense totale Sur le panier de biens A et B : \begin{aligned}L_{\text{qté}} &= 100 \times \frac{41}{40} \\ &= 102{,}5\end{aligned} et \begin{aligned}P_{\text{qté}} &= 100 \times \frac{50}{49} \\ &\approx 102{,}04\end{aligned}\begin{aligned}V(2024/2020) &= 100 \times \dfrac{50}{40} \\ &= 125\end{aligned}Vérification par reconstitution : \begin{aligned}\dfrac{L_{\text{prix}} \times P_{\text{qté}}}{100} &= \dfrac{122{,}5 \times 102{,}04}{100} \\ &\approx 125\end{aligned}La dépense totale a augmenté de 25 % : une partie vient de la hausse des prix (environ +22 %), une autre de l'ajustement des quantités achetées (environ +2 %).

⚠️ Propriétés perdues et effets de qualité Contrairement aux indices élémentaires, les indices synthétiques (Laspeyres, Paasche) perdent en général la réversibilité et la circularité : rien ne garantit que L(t/0) \times L(0/t) = 100^2, ni qu'enchaîner des Laspeyres successifs redonne le Laspeyres direct sur la période globale. De plus, quand la qualité d'un produit change dans le temps (un ordinateur bien plus performant vendu au même prix, par exemple), comparer les prix bruts surestime l'inflation : une partie de la hausse de prix, si elle existe, rémunère une amélioration réelle du produit, pas une perte de pouvoir d'achat. Les instituts statistiques corrigent ce biais par des méthodes de correction de la qualité, hors programme ici.

👆 ▶ À toi : si Laspeyres et Paasche donnaient EXACTEMENT le même résultat sur un panier de biens, qu'est-ce que cela signifierait sur le comportement des consommateurs entre les deux dates ? Vérifie

Cela signifierait qu'il n'y a EU AUCUNE substitution : les quantités relatives achetées de chaque bien seraient restées proportionnellement les mêmes entre les deux dates (q_0 et q_t proportionnels), si bien que pondérer par l'une ou l'autre revient au même. En pratique, c'est rarissime : c'est justement l'écart entre Laspeyres et Paasche qui MESURE l'ampleur de la substitution opérée par les consommateurs.

VI. Application : l'IPC et la déflation

L'indice des prix à la consommation (IPC) et l'inflation L'indice des prix à la consommation (IPC) est l'indice synthétique de type Laspeyres qui suit le coût d'un panier représentatif des biens et services achetés par les ménages, base 100 à une année de référence (rebasée périodiquement, cf. partie III). Le taux d'inflation entre deux dates est simplement le taux de croissance de l'IPC entre ces deux dates : \tau = I_{\text{IPC}}(t/0) - 100.

Déflater une série : euros courants et euros constants Une valeur exprimée en euros courants (ou « nominale ») utilise le prix de l'année où elle est mesurée ; elle mélange donc une évolution RÉELLE (plus de biens, plus de pouvoir d'achat) et une évolution due à l'INFLATION. Déflater une série consiste à retirer l'effet de l'inflation, pour obtenir des euros constants (ou « réels ») : la valeur exprimée avec le pouvoir d'achat d'une année de référence.

\text{Valeur réelle}(t) = \text{Valeur nominale}(t) \times \dfrac{100}{I_{\text{IPC}}(t/\text{réf})}

Exemple chiffré : la hausse du salaire qui n'en était pas une Un salaire nominal passe de 1 800 € en 2015 (référence) à 2 100 € en 2024. Sur la même période, l'IPC (base 100 en 2015) atteint 118 en 2024. On déflate le salaire de 2024 pour l'exprimer en euros de 2015 :\begin{aligned}\text{Salaire réel}(2024) &= 2\,100 \times \dfrac{100}{118} && \quad \text{car } I_{\text{IPC}}(2024) = 118 \\ &\approx 1\,779{,}7\end{aligned}Le salaire de 2015 servant de référence, il vaut déjà, lui, 1 800 € de 2015 (son indice des prix vaut 100, donc le déflater ne le change pas). Les deux montants sont désormais comparables :

Salaire mensuel d'un même salarié de 2015 à 2024. En euros courants (rose) : le montant effectivement versé, en hausse continue. En euros constants de 2015 (bleu ciel) : le même salaire déflaté par l'IPC, donc exprimé avec le pouvoir d'achat de 2015. Le pouvoir d'achat progresse jusqu'en 2020, puis décroche avec la poussée d'inflation de 2022 : en 2024, il est repassé SOUS son niveau de 2015, alors que le salaire versé, lui, a augmenté de près de 17 %.
L'axe vertical ne part pas de zéro (marque de rupture) : les écarts y paraissent donc plus grands qu'ils ne le sont en proportion.

Interprétation du résultat : le salaire nominal a augmenté d'environ \frac{2\,100 - 1\,800}{1\,800} \times 100 \approx 16{,}7 %, mais une fois déflaté, le salaire réel de 2024 (environ 1 779,70 €) est inférieur au salaire de 2015 (1 800 €) : le pouvoir d'achat de ce salarié a reculé d'environ 1,1 %, malgré les 300 € de plus lisibles chaque mois sur sa fiche de paie. La courbe bleue montre d'ailleurs que ce recul n'a rien de régulier : le pouvoir d'achat progresse jusqu'en 2020, puis décroche quand l'inflation s'accélère à partir de 2022. C'est exactement ce que mesure, à l'échelle nationale, le SMIC réel : le SMIC nominal déflaté par l'IPC.

Remarque : « déflater » n'a rien à voir avec la déflation (une baisse générale des prix). Déflater une série, c'est lui retirer l'effet de l'inflation pour la rendre comparable dans le temps ; l'opération se fait même, et surtout, quand les prix AUGMENTENT.

🎮 Entraîne-toi : déflater une valeur nominale

Valeur réelle = valeur nominale × 100 / indice des prix de l'année courante.

👆 ▶ À toi : un responsable annonce fièrement que le chiffre d'affaires de son entreprise a « augmenté de 20 % » en 5 ans. Sur la même période, l'IPC est passé de 100 à 112. L'activité RÉELLE de l'entreprise a-t-elle vraiment progressé, et de combien environ ? Vérifie

Le chiffre d'affaires NOMINAL a bien augmenté de 20 %, mais il faut le déflater pour juger de l'activité RÉELLE : si le CA nominal vaut 120 en indice (base 100), le CA réel vaut 100 \times \frac{120}{112} \approx 107{,}1, soit une hausse réelle d'environ 7 % seulement : une bonne partie de la hausse affichée (20 %) reflète simplement la hausse générale des prix (12 %), pas un vrai gain d'activité.

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