Fiche de cours Logimaths | L1 Éco, ATIE
Fiche de cours : Introduction aux séries temporelles
Tendance, saisonnalité, moyennes mobiles, série CVS et prévision
I. Qu'est-ce qu'une série temporelle ?
Définition et vocabulaire
Une série temporelle (ou chronique) est une suite d'observations Y_1, Y_2, \ldots, Y_T d'une même grandeur, ordonnées dans le temps et relevées à pas régulier : chaque jour, chaque mois, chaque trimestre, chaque année.
- L'ordre compte : contrairement aux séries des chapitres précédents, on ne peut pas permuter les observations sans détruire l'information.
- Le pas (la période entre deux relevés) doit être constant : on ne mélange pas des données mensuelles et trimestrielles dans une même série.
- On note t le rang de l'observation (t = 1, 2, \ldots, T), pas la date elle-même : c'est ce rang qui servira de variable explicative dans les calculs de tendance.
Trois exemples typiques en économie
Ces trois séries appellent des traitements différents : c'est la forme de la chronique, pas une recette unique, qui dicte la méthode.
| Série | Pas | Ce qu'on y voit |
|---|---|---|
| IPC d'un pays | mensuel ou annuel | une montée de long terme régulière, peu de saison |
| Trafic aérien | mensuel | une très forte saison (pics d'été et de vacances) |
| Indice boursier | quotidien | presque pas de saison, beaucoup d'irrégulier |
⚠️ Les deux questions qui motivent tout le chapitre
- « Les ventes ont bondi en juillet : est-ce le succès de ma promotion, ou simplement l'été ? » Comparer juillet à juin n'a aucun sens si juillet est toujours un bon mois : il faut d'abord retirer l'effet de saison.
- « Sur 30 ans, cette série monte-t-elle vraiment ? » Des oscillations violentes peuvent masquer une tendance de fond, à la hausse comme à la baisse : il faut d'abord lisser.
II. Les trois composantes, et le choix du schéma
Décomposer une chronique
On admet qu'une série temporelle combine trois composantes :
- la tendance T_t (ou trend) : le mouvement de long terme, ce qui reste quand on a gommé le reste ;
- la composante saisonnière S_t : un motif qui se répète à l'identique à chaque période (chaque année pour des données trimestrielles ou mensuelles) ;
- la composante accidentelle \varepsilon_t (ou irrégulière, résiduelle) : ce qui n'est expliqué ni par la tendance ni par la saison (grève, canicule, crise…). Elle est imprévisible par construction.
Schéma additif ou schéma multiplicatif
Ces composantes se combinent de deux façons possibles :
En économie, le multiplicatif est le cas le plus fréquent : quand une activité double, ses pointes saisonnières doublent généralement aussi.
\underbrace{Y_t = T_t + S_t + \varepsilon_t}_{\text{schéma additif}} \qquad\qquad \underbrace{Y_t = T_t \times S_t \times \varepsilon_t}_{\text{schéma multiplicatif}}
Comment trancher ? On regarde l'amplitude saisonnière (l'écart entre le point haut et le point bas d'un cycle) au fil du temps :- elle reste à peu près constante quand le niveau monte → additif. La saison ajoute un montant fixe : « +30 000 nuitées chaque été ».
- elle grandit proportionnellement au niveau → multiplicatif. La saison multiplie : « l'été fait toujours +80 % ».
🎮 Entraîne-toi : additif ou multiplicatif ?
Compare l'amplitude saisonnière au niveau moyen, année après année.
👆 ▶ À toi : les ventes d'un glacier valent 10 en hiver et 40 en été la première année, puis 20 en hiver et 80 en été la cinquième. Quel schéma ? Vérifie
L'amplitude passe de 40 - 10 = 30 à 80 - 20 = 60 : elle a doublé, exactement comme le niveau (qui a doublé lui aussi). Elle n'est donc pas constante, mais bien proportionnelle au niveau : le schéma est multiplicatif. On le voit aussi sur le rapport été/hiver, qui reste égal à 4 les deux années.
III. Dégager la tendance : les moyennes mobiles
Le principe du lissage
Une moyenne mobile remplace chaque observation par la moyenne de ses voisines. Comme un cycle saisonnier complet contient autant de points hauts que de points bas, en moyenner un cycle entier fait disparaître la saison : il ne reste que la tendance (et un peu d'accidentel). C'est tout l'intérêt du procédé.
Moyenne mobile d'ordre impair
Pour un ordre impair p = 2k+1, la moyenne mobile se centre naturellement sur une observation :
\text{MM}_p(t) = \dfrac{Y_{t-k} + \cdots + Y_t + \cdots + Y_{t+k}}{p}
Exemple, ordre 3 sur la suite 12, 18, 15, 21, 24 : la moyenne mobile centrée sur la 3ᵉ valeur vaut \frac{18 + 15 + 21}{3} = 18.
🎮 Entraîne-toi : moyenne mobile d'ordre 3
Moyenne de la valeur et de ses deux voisines immédiates.
Moyenne mobile d'ordre pair : il faut la CENTRER
Avec des données trimestrielles, un cycle vaut 4 trimestres : il faudrait une moyenne mobile d'ordre 4. Mais 4 est pair : la moyenne de Y_1, Y_2, Y_3, Y_4 tomberait « entre » Y_2 et Y_3, donc à une date qui n'existe pas dans la série. On la recentre en prenant les deux valeurs extrêmes pour moitié chacune :
\text{MM}_4(t) = \dfrac{\frac{1}{2}Y_{t-2} + Y_{t-1} + Y_t + Y_{t+1} + \frac{1}{2}Y_{t+2}}{4}
On utilise bien 5 valeurs, mais elles pèsent 4 au total (\frac12 + 1 + 1 + 1 + \frac12 = 4) : c'est ce qui garantit qu'un cycle saisonnier complet, et un seul, est moyenné. Pour des données mensuelles, on procède de même avec l'ordre 12.Remarque : l'ordre se choisit ÉGAL à la période saisonnière, jamais au hasard. Ordre 4 pour du trimestriel, 12 pour du mensuel, 7 pour du quotidien à saison hebdomadaire. Un ordre qui ne couvre pas exactement un cycle laisse passer une partie de la saison dans la « tendance ».
Exemple chiffré : la tendance de nos nuitées touristiques
Voici le fil rouge du chapitre : les nuitées touristiques trimestrielles d'une station balnéaire, en milliers, sur 3 ans.
Données trimestrielles, donc moyenne mobile centrée d'ordre 4. La première calculable est celle de t = 3 (il faut deux valeurs de chaque côté) :\begin{aligned}\text{MM}_4(3) &= \dfrac{\frac12 \times 60 + 90 + 190 + 76 + \frac12 \times 66}{4} \\ &= \dfrac{30 + 90 + 190 + 76 + 33}{4} \\ &= \dfrac{419}{4} \\ &= 104{,}75\end{aligned}En répétant le calcul pour t = 4, 5, \ldots, 10 :
Interprétation du résultat : là où la série brute faisait le yo-yo entre 60 et 214, la tendance monte régulièrement de 104,75 à 118,75. La fréquentation de la station progresse donc bel et bien ; les oscillations n'étaient que l'effet de la saison.
| t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Trimestre | T1 | T2 | T3 | T4 | T1 | T2 | T3 | T4 | T1 | T2 | T3 | T4 |
| Y_t | 60 | 90 | 190 | 76 | 66 | 98 | 202 | 82 | 70 | 106 | 214 | 88 |
| t | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \text{MM}_4(t) | 104,75 | 106,5 | 109 | 111,25 | 112,5 | 114 | 116,5 | 118,75 |
⚠️ Le prix à payer : des observations perdues
Une moyenne mobile d'ordre p ne peut pas être calculée aux extrémités de la série, faute de voisines. Sur nos 12 trimestres, la MM d'ordre 4 n'est définie que de t = 3 à t = 10 : 4 valeurs perdues (2 au début, 2 à la fin). C'est visible sur le graphique de la partie V, où la courbe de tendance est plus courte que les autres.
Remarque : ce défaut est gênant en pratique, car ce sont justement les valeurs les PLUS RÉCENTES qui manquent, celles dont on aurait besoin pour prévoir. C'est l'une des raisons d'être du lissage exponentiel (partie IV), qui lui ne perd aucune observation à la fin.
🎮 Entraîne-toi : moyenne mobile centrée d'ordre 4
Les deux valeurs extrêmes comptent pour moitié, et on divise par 4.
IV. Le lissage exponentiel
Lissage exponentiel simple
Le lissage exponentiel simple construit une valeur lissée S_t en corrigeant la précédente par la nouvelle observation :
S_t = \alpha\, Y_t + (1 - \alpha)\, S_{t-1}, \qquad 0 < \alpha < 1
La constante de lissage \alpha règle le partage entre « ce que dit la dernière observation » et « ce que disait le passé » :- \alpha proche de 1 : la série lissée colle à la dernière valeur. Très réactive, mais elle recopie aussi le bruit.
- \alpha proche de 0 : la série lissée bouge à peine. Très stable, mais elle réagit avec retard à un vrai changement.
Exemple chiffré : réactif ou stable, au choix
Une série vaut 100, puis saute brutalement à 140 et s'y maintient. On part de S_0 = 100 et on compare deux réglages :
Détail de la première correction pour \alpha = 0{,}8 :\begin{aligned}S_1 &= 0{,}8 \times 140 + 0{,}2 \times 100 \\ &= 112 + 20 \\ &= 132\end{aligned}Interprétation du résultat : avec \alpha = 0{,}8, le lissage a rattrapé le nouveau niveau en 3 pas ; avec \alpha = 0{,}2, il en est encore loin. Si le saut est un vrai changement de régime, le réglage réactif a raison ; si c'était un accident isolé, c'est le réglage stable qui avait raison de ne pas s'emballer. Le choix de \alpha est donc un arbitrage, pas un réglage optimal universel.
| Y_t | 100 | 140 | 140 | 140 |
|---|---|---|---|---|
| \alpha = 0{,}8 | 100 | 132 | 138,4 | 139,7 |
| \alpha = 0{,}2 | 100 | 108 | 114,4 | 119,5 |
🎮 Entraîne-toi : lissage exponentiel simple
Une étape de la formule S(t) = α × Y(t) + (1−α) × S(t−1).
Lissage exponentiel double : le principe
Le lissage simple a un défaut connu : appliqué à une série qui monte régulièrement, il reste systématiquement en retard (il moyenne du passé, toujours plus bas que le présent). Le lissage exponentiel double corrige ce biais en lissant deux fois : une première fois la série, une seconde fois la série déjà lissée. L'écart entre les deux lissages mesure la pente locale, qu'on ajoute pour rattraper le retard.
\text{série} \;\longrightarrow\; S^{(1)} \;\longrightarrow\; S^{(2)}\qquad\text{puis}\qquad \widehat{T}_t = 2S^{(1)}_t - S^{(2)}_t
On obtient ainsi un modèle localement linéaire : la série est supposée suivre une droite, dont le niveau ET la pente sont réestimés à chaque nouvelle observation. Le détail des formules dépasse le cadre de ce chapitre ; retenir à quel problème il répond suffit ici.
V. Désaisonnaliser : coefficients saisonniers et série CVS
Les coefficients saisonniers
Un coefficient saisonnier chiffre ce que « pèse » chaque trimestre (ou chaque mois) par rapport à la tendance. On l'obtient en comparant chaque observation à la tendance calculée au même moment :
- schéma multiplicatif : on prend le rapport Y_t / \text{MM}(t) ;
- schéma additif : on prend l'écart Y_t - \text{MM}(t).
⚠️ La normalisation : une étape obligatoire
Les coefficients moyens doivent vérifier une contrainte : une saison ne peut pas créer d'activité, elle ne fait que la déplacer dans l'année. Donc :
\text{multiplicatif : } \textstyle\sum_i c_i = 4 \quad(\text{ou }12)\qquad\qquad \text{additif : } \textstyle\sum_i c_i = 0
Les moyennes brutes ne vérifient jamais cette contrainte exactement (l'accidentel s'en mêle). On les corrige proportionnellement :c_i = c_i^{\text{brut}} \times \dfrac{4}{\sum_j c_j^{\text{brut}}}
Exemple chiffré : les coefficients de la station
On reprend la tendance \text{MM}_4 de la partie III et on calcule le rapport Y_t / \text{MM}_4(t) pour chacun des 8 trimestres où elle est définie :
On moyenne par trimestre (deux valeurs pour chacun), puis on normalise :
Le détail de la normalisation pour le troisième trimestre :\begin{aligned}c_3 &= c_3^{\text{brut}} \times \dfrac{4}{\sum_j c_j^{\text{brut}}} \\ &= 1{,}8047 \times \dfrac{4}{4{,}0111} && \quad \text{car } \textstyle\sum_j c_j^{\text{brut}} = 4{,}0111 \neq 4 \\ &\approx 1{,}80\end{aligned}Interprétation du résultat : le troisième trimestre pèse 1,80 : l'été fait 80 % de nuitées de plus que ce que donnerait la seule tendance. À l'inverse, c_1 = 0{,}60 : l'hiver ne réalise que 60 % du niveau tendanciel, soit 40 % de moins.
| t | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Trimestre | T3 | T4 | T1 | T2 | T3 | T4 | T1 | T2 |
| Y_t / \text{MM}_4(t) | 1,8138 | 0,7136 | 0,6055 | 0,8809 | 1,7956 | 0,7193 | 0,6009 | 0,8926 |
| Trimestre | T1 | T2 | T3 | T4 | Somme |
|---|---|---|---|---|---|
| Moyenne brute | 0,6032 | 0,8868 | 1,8047 | 0,7165 | 4,0111 |
| Coefficient normalisé | 0,6 | 0,88 | 1,8 | 0,71 | 4 |
Remarque : la somme des coefficients ARRONDIS au centième vaut ici 3,99 et non 4. C'est normal : la contrainte porte sur les coefficients exacts, l'arrondi vient après. On ne « rattrape » pas artificiellement le centième manquant sur l'un des trimestres.
🎮 Entraîne-toi : normaliser un coefficient saisonnier
Coefficient brut × 4 / (somme des bruts).
La série CVS (corrigée des variations saisonnières)
Désaisonnaliser, c'est retirer l'effet de saison de chaque observation, en faisant l'opération inverse de celle du schéma :
\text{multiplicatif : } Y_t^{\text{CVS}} = \dfrac{Y_t}{c_i}\qquad\qquad \text{additif : } Y_t^{\text{CVS}} = Y_t - c_i
où c_i est le coefficient de la saison à laquelle appartient t.
Exemple chiffré : la série CVS de la station
Pour le troisième trimestre de l'année 1 (t = 3, Y_3 = 190, c_3 = 1{,}80) :\begin{aligned}Y_3^{\text{CVS}} &= \dfrac{190}{1{,}80} && \quad \text{car } \text{le schéma est multiplicatif} \\ &\approx 105{,}6\end{aligned}Sur les 12 trimestres :
Interprétation du résultat : la série CVS monte de 100 à 124 presque sans oscillation. C'est exactement l'objet de l'opération : rendre comparables deux trimestres consécutifs. Sur la série brute, comparer l'été (190) à l'automne (76) ne dit rien ; sur la CVS, comparer 105,6 à 107,0 dit que l'activité a légèrement progressé, saison neutralisée.
| t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Y_t^{\text{CVS}} | 100 | 102,3 | 105,6 | 107 | 110 | 111,4 | 112,2 | 115,5 | 116,7 | 120,5 | 118,9 | 123,9 |
Les trois courbes du chapitre, sur les mêmes données. En rose, la série brute : elle
oscille si fort qu'on ne voit pas si la fréquentation progresse. En blanc pointillé, la
tendance obtenue par moyennes mobiles (partie III) : elle ne commence qu'au trimestre 3 et
s'arrête au trimestre 10, les extrémités étant perdues. En bleu, la série CVS
(partie V) : une fois la saison retirée, la hausse saute aux yeux.
Pourquoi l'INSEE publie du CVS
Les grands indicateurs conjoncturels (chômage, production industrielle, consommation des ménages) sont publiés corrigés des variations saisonnières, précisément pour qu'un mois puisse se comparer au précédent.
- Le chômage augmente mécaniquement chaque été (fin des contrats scolaires, arrivée des jeunes diplômés sur le marché). Sans correction, on annoncerait une « hausse du chômage » tous les ans en juillet, sans aucune information conjoncturelle.
- Une série CVS qui monte en juillet signale, elle, une vraie dégradation (plus forte que la hausse saisonnière habituelle).
👆 ▶ À toi : en janvier, un magasin réalise 45 000 € de ventes, et le coefficient saisonnier de janvier vaut 0,75. Calcule la vente CVS de janvier (schéma multiplicatif), puis interprète. Vérifie
45\,000 / 0{,}75 = 60\,000 €. Janvier est un mois structurellement faible (il ne réalise que 75 % du niveau tendanciel) : une fois cet effet retiré, la performance de janvier équivaut à un mois normal à 60 000 €. C'est ce chiffre-là, et non les 45 000 € bruts, qu'il faut comparer au mois précédent pour juger de la tendance du magasin.
VI. Prévoir
La prévision en trois temps
Prévoir revient à refaire le chemin à l'envers : on prolonge ce qui est régulier, puis on remet la saison.
- Ajuster la tendance sur la série CVS (une droite z_t = a + b\,t par moindres carrés, chapitre 3) ;
- Prolonger cette droite jusqu'à la date visée ;
- Ressaisonnaliser : multiplier (ou ajouter) le coefficient de la saison concernée.\widehat{Y}_t = (a + b\,t) \times c_i
Exemple chiffré : prévoir l'année 4 de la station
L'ajustement par moindres carrés de la série CVS sur t donne :
Interprétation du résultat : on prévoit environ 232,7 milliers de nuitées pour l'été de l'année 4, contre 214 l'été précédent : la station continue de progresser, à un rythme cohérent avec les trois années observées.
z_t = 98,7 + 2,04\,t
La pente b \approx 2,04 s'interprète directement : hors effet de saison, la station gagne environ 2,04 milliers de nuitées par trimestre. L'année 4 correspond à t = 13, 14, 15, 16. Pour son troisième trimestre (t = 15, coefficient c_3 = 1{,}80) :\begin{aligned}z_{15} &= 98,7 + 2,04 \times 15 \\ &\approx 129,3\end{aligned}\begin{aligned}\widehat{Y}_{15} &= z_{15} \times c_3 && \quad \text{car } \text{on remet la saison} \\ &= 129,3 \times 1{,}80 \\ &\approx 232,7\end{aligned}Les quatre prévisions de l'année 4 :| Trimestre | T1 | T2 | T3 | T4 |
|---|---|---|---|---|
| t | 13 | 14 | 15 | 16 |
| Tendance z_t | 125,22 | 127,26 | 129,3 | 131,34 |
| Coefficient | 0,6 | 0,88 | 1,8 | 0,71 |
| Prévision \widehat{Y}_t | 75,1 | 112 | 232,7 | 93,3 |
🎮 Entraîne-toi : prévoir une valeur saisonnalisée
Prolonge la tendance, puis remets le coefficient de la saison.
⚠️ Ce qu'une telle prévision ne garantit pas
- Elle suppose que tout continue comme avant : même tendance, même profil saisonnier. Un changement de contexte (crise, ouverture d'un concurrent, nouvelle ligne de train) la rend caduque, et aucun calcul ne peut l'anticiper.
- Elle extrapole : comme pour la régression du chapitre 3, plus on s'éloigne de la période observée, moins la prévision est fiable. Prévoir l'année 4 après 3 années observées est raisonnable ; prévoir l'année 15 ne l'est pas.
- Elle ignore l'accidentel par construction : \varepsilon_t est imprévisible, la prévision ne donne donc jamais qu'une valeur centrale, autour de laquelle le réel fluctuera.
👆 ▶ À toi : pourquoi ajuste-t-on la droite de tendance sur la série CVS plutôt que sur la série brute ? Vérifie
Parce que la série brute est dominée par la saison : ses points hauts et bas s'écartent énormément de la tendance, et une droite ajustée dessus aurait des résidus énormes (un R^2 médiocre) sans que cela dise quoi que ce soit sur la vraie tendance. Pire, le résultat dépendrait de l'endroit où la série commence et s'arrête : terminer sur un été ou sur un hiver inclinerait la droite différemment. La série CVS, elle, a été débarrassée de ces oscillations : la droite y capte réellement le mouvement de long terme.