Fiche d'exercices : Introduction aux séries temporelles

1. Pas mensuel. Composante saisonnière : le motif se répète à l'identique chaque année (août fort, novembre faible), ce qui est la signature de la saisonnalité.
2. Pas annuel. Composante de tendance : c'est un mouvement de long terme, étalé sur 40 ans, sans répétition périodique.
3. Pas quotidien. Composante accidentelle : événement isolé, non répétitif et imprévisible, qui ne se reproduira pas au même moment l'année suivante.

Remarque : le critère qui sépare saisonnier et accidentel n'est pas l'ampleur de l'effet, mais sa répétition à date fixe. Une canicule qui revient chaque été relève de la saison ; une canicule exceptionnelle en avril relève de l'accidentel.

1. 2. Pour P : l'amplitude reste bloquée à 60 alors que le niveau monte de 200 à 300 (le rapport A/N décroît de 0,30 à 0,20). La saison ajoute un montant fixe : schéma additif, Y_t = T_t + S_t + \varepsilon_t.
Pour Q : le rapport A/N reste constant à 0,40, l'amplitude suit exactement le niveau. La saison multiplie : schéma multiplicatif, Y_t = T_t \times S_t \times \varepsilon_t.
Interprétation du résultat : c'est le rapport A/N, et non l'amplitude seule, qui tranche. Pour Q, l'amplitude AUGMENTE (80 → 120) sans que cela signifie que la saison s'est renforcée : elle pèse toujours 40 % du niveau.

1. La moyenne mobile d'ordre 3 centrée sur le mois t vaut \frac{Y_{t-1} + Y_t + Y_{t+1}}{3} :\begin{aligned}\text{MM}_3(2) &= \dfrac{52 + 61 + 58}{3} \\ &= \dfrac{171}{3} \\ &= 57\end{aligned}2. 2 observations perdues (le mois 1 et le mois 7) : une moyenne mobile d'ordre 3 a besoin d'une voisine de chaque côté, et les extrémités n'en ont qu'une seule.
3. Interprétation du résultat : la série lissée (57 ; 62 ; 65,33 ; 68 ; 71,67) est strictement croissante, alors que la série brute faisait des allers-retours (58 après 61, 66 après 71). Le lissage révèle une progression régulière d'environ 3,7 contrats par mois, que les fluctuations accidentelles masquaient.

1. Les données sont trimestrielles, donc un cycle saisonnier complet vaut 4 trimestres : l'ordre de la moyenne mobile doit être égal à la période saisonnière pour que le lissage moyenne exactement un cycle, et fasse ainsi disparaître la saison. Mais 4 est pair : la moyenne de 4 valeurs tomberait entre deux trimestres, à une date qui n'existe pas. On la centre en comptant les deux valeurs extrêmes pour moitié, ce qui ramène le poids total à 4 tout en centrant sur une vraie date.
2. \begin{aligned}\text{MM}_4(3) &= \dfrac{\frac12 \times 40 + 96 + 68 + 36 + \frac12 \times 46}{4} \\ &= \dfrac{20 + 96 + 68 + 36 + 23}{4} \\ &= \dfrac{243}{4} \\ &= 60{,}75\end{aligned}\begin{aligned}\text{MM}_4(4) &= \dfrac{\frac12 \times 96 + 68 + 36 + 46 + \frac12 \times 108}{4} \\ &= \dfrac{48 + 68 + 36 + 46 + 54}{4} \\ &= \dfrac{252}{4} \\ &= 63\end{aligned}3. La tendance est définie de t = 3 à t = 10 : il faut deux voisines de chaque côté, donc les deux premiers et les deux derniers trimestres sont hors d'atteinte. 4 observations perdues sur 12.

Remarque : les valeurs manquantes de la fin (t = 11 et t = 12) sont les plus gênantes en pratique : ce sont les plus récentes, donc celles dont on aurait le plus besoin pour prévoir.

La formule est S_t = \alpha Y_t + (1-\alpha) S_{t-1}.
1. Pour \alpha = 0{,}3 :\begin{aligned}S_1 &= 0{,}3 \times 92 + 0{,}7 \times 80 \\ &= 27{,}6 + 56 \\ &= 83{,}6\end{aligned}\begin{aligned}S_2 &= 0{,}3 \times 88 + 0{,}7 \times 83{,}6 \\ &= 26{,}4 + 58{,}52 \\ &= 84{,}92\end{aligned}\begin{aligned}S_3 &= 0{,}3 \times 95 + 0{,}7 \times 84{,}92 \\ &= 28{,}5 + 59{,}444 \\ &\approx 87{,}94\end{aligned}2. Pour \alpha = 0{,}7 :\begin{aligned}S_1 &= 0{,}7 \times 92 + 0{,}3 \times 80 \\ &= 64{,}4 + 24 \\ &= 88{,}4\end{aligned}\begin{aligned}S_2 &= 0{,}7 \times 88 + 0{,}3 \times 88{,}4 \\ &= 61{,}6 + 26{,}52 \\ &= 88{,}12\end{aligned}\begin{aligned}S_3 &= 0{,}7 \times 95 + 0{,}3 \times 88{,}12 \\ &= 66{,}5 + 26{,}436 \\ &\approx 92{,}94\end{aligned}3. C'est \alpha = 0{,}7 qui suit le mieux les observations : après 3 pas il atteint 92,94, tout près des valeurs observées (autour de 90), alors que \alpha = 0{,}3 en est encore à 87,94. Un \alpha proche de 1 donne en effet presque tout le poids à la dernière observation.
Interprétation du résultat : si les observations sont très bruitées, c'est \alpha = 0{,}3 qu'il faut choisir. Un α élevé recopierait fidèlement le bruit, ce qui est exactement ce qu'on cherche à éliminer ; un α faible moyenne davantage de passé et lisse donc le hasard. Le prix à payer est un retard plus grand si un vrai changement de niveau survient : le choix de α est un arbitrage entre réactivité et stabilité, pas un réglage optimal universel.

1. Chaque rapport compare la vente observée à la tendance du même moment :\begin{aligned}\dfrac{Y_3}{\text{MM}_4(3)} &= \dfrac{68}{60{,}75} \\ &\approx 1{,}119\end{aligned}2. Chaque trimestre apparaît deux fois ; on moyenne les deux rapports pour gommer l'accidentel :La somme vaut 4{,}0047 et non 4 : c'est normal, l'accidentel n'a pas été parfaitement gommé. Il faut donc normaliser.
3. On corrige proportionnellement, en multipliant chaque brut par 4 / 4{,}0047 :\begin{aligned}c_2 &= c_2^{\text{brut}} \times \dfrac{4}{\sum_j c_j^{\text{brut}}} \\ &= 1{,}6202 \times \dfrac{4}{4{,}0047} && \quad \text{car } \textstyle\sum_j c_j^{\text{brut}} \neq 4 \\ &\approx 1{,}62\end{aligned}Interprétation du résultat : c_2 = 1{,}62 signifie que le deuxième trimestre réalise 62 % de ventes de plus que ce que donnerait la seule tendance. C'est cohérent avec l'activité d'une jardinerie : le printemps est sa haute saison. À l'inverse, c_4 = 0{,}57 : l'hiver ne réalise que 57 % du niveau tendanciel.

1. \begin{aligned}\tau_{\text{brut}} &= \dfrac{118 - 50}{50} \times 100 \\ &= 136\end{aligned}Les ventes brutes ont effectivement augmenté de 136 %. Mais ce chiffre est ininterprétable tel quel : le 1er trimestre est structurellement le plus faible de l'année et le 2ᵉ le plus fort. Comparer les deux revient à comparer l'hiver au printemps, ce qui donnerait le même résultat spectaculaire chaque année, même si l'activité stagnait.
2. On divise chaque vente par le coefficient de sa saison :\begin{aligned}Y_9^{\text{CVS}} &= \dfrac{50}{0{,}7} && \quad \text{car } \text{le schéma est multiplicatif} \\ &\approx 71{,}4\end{aligned}\begin{aligned}Y_{10}^{\text{CVS}} &= \dfrac{118}{1{,}62} \\ &\approx 72{,}8\end{aligned}3. \begin{aligned}\tau_{\text{CVS}} &= \dfrac{72{,}8 - 71{,}4}{71{,}4} \times 100 \\ &\approx 2\end{aligned}Interprétation du résultat : une fois la saison neutralisée, la progression réelle n'est que d'environ 2 %, et non de 136 %. Il faut donc répondre au gérant que l'essentiel de sa hausse était attendu : c'est le printemps qui a fait le travail, pas une amélioration de son activité. Sa jardinerie progresse bien, mais modestement.

Remarque : c'est exactement pour éviter ce contresens que l'INSEE publie des séries CVS. Une variation mensuelle ou trimestrielle brute ne se commente jamais telle quelle sur une série saisonnière.

1. La pente s'interprète en unité de Y par unité de t : hors effet de saison, les ventes de la jardinerie progressent d'environ 1,71 milliers d'€ par trimestre, soit environ 6,8 milliers d'€ par an.
2. Les 12 trimestres observés vont de t = 1 à t = 12, donc l'année 4 correspond à t = 13, 14, 15, 16 et son 2ᵉ trimestre à t = 14.\begin{aligned}z_{14} &= 56 + 1{,}71 \times 14 \\ &\approx 79{,}94\end{aligned}\begin{aligned}\widehat{Y}_{14} &= z_{14} \times c_2 && \quad \text{car } \text{on remet la saison} \\ &= 79{,}94 \times 1{,}62 \\ &\approx 129{,}5\end{aligned}On prévoit environ 129,5 milliers d'€ pour le printemps de l'année 4, contre 118 le printemps précédent : une progression cohérente avec les 3 années observées.
3. Parce que la série brute est dominée par la saison : ses oscillations (de 36 à 118) sont bien plus grandes que le mouvement de tendance qu'on cherche à mesurer. Une droite ajustée sur la brute aurait des résidus énormes, et son inclinaison dépendrait de l'endroit où la série commence et s'arrête. La série CVS, débarrassée de ces oscillations, laisse la droite capter le vrai mouvement de long terme.
4. Deux raisons parmi d'autres :

• Le modèle suppose que tout continue comme avant : même tendance, même profil saisonnier. L'ouverture d'une jardinerie concurrente, un printemps pourri ou un changement de gamme rendraient la prévision caduque, et aucun calcul ne peut l'anticiper.
• La composante accidentelle est ignorée par construction : \varepsilon_t est imprévisible. La prévision ne donne qu'une valeur centrale, autour de laquelle le réel fluctuera nécessairement.

Remarque : on aurait pu ajouter l'extrapolation. Prévoir l'année 4 juste après 3 années observées reste raisonnable ; prolonger la même droite jusqu'à l'année 15 ne le serait pas du tout, comme pour la régression du chapitre 3.