Fiche d'exercices Logimaths | L1 Éco, ATIE
Fiche d'exercices : Introduction, données, échantillons et variables
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Classer des variables⭐
Pour chacune des variables suivantes, précise s'il s'agit d'une variable qualitative (nominale ou ordinale) ou quantitative (discrète ou continue) :
- le secteur d'activité d'une entreprise (agriculture, industrie, services…) ;
- le nombre de succursales d'une chaîne de magasins ;
- le chiffre d'affaires annuel d'une entreprise, en euros ;
- la notation d'une agence de crédit (AAA, AA, A, BBB…).
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. Pas d'ordre naturel entre les secteurs : qualitative nominale.
2. Un nombre de succursales se compte (0, 1, 2…) : quantitative discrète.
3. Un montant en euros peut prendre n'importe quelle valeur d'un intervalle : quantitative continue.
4. Les notations sont hiérarchisées, de la meilleure à la moins bonne : qualitative ordinale.
2. Un nombre de succursales se compte (0, 1, 2…) : quantitative discrète.
3. Un montant en euros peut prendre n'importe quelle valeur d'un intervalle : quantitative continue.
4. Les notations sont hiérarchisées, de la meilleure à la moins bonne : qualitative ordinale.
Exercice 2 : Quelle structure de données ?⭐
Précise la structure (coupe transversale, série temporelle ou panel) de chacun de ces ensembles de données :
- le taux d'inflation mensuel en France, de 2018 à 2026 ;
- le salaire de 300 salariés différents, tous relevés en mars 2026 ;
- la consommation d'énergie des mêmes 50 usines, mesurée chaque trimestre pendant cinq ans.
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. Une seule grandeur (l'inflation), suivie dans le temps : série temporelle.
2. Plusieurs individus (300 salariés), à une seule date : coupe transversale.
3. Les mêmes unités (50 usines), observées à plusieurs dates successives : panel.
2. Plusieurs individus (300 salariés), à une seule date : coupe transversale.
3. Les mêmes unités (50 usines), observées à plusieurs dates successives : panel.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Lire et compléter un tableau effectifs / fréquences⭐⭐
Une entreprise de 100 salariés est répartie par tranche d'ancienneté :
| Ancienneté | Effectif | Fréquence (%) |
|---|---|---|
| Moins d'1 an | 18 | ? |
| 1 à 5 ans | 42 | ? |
| 5 à 10 ans | 25 | ? |
| Plus de 10 ans | 15 | ? |
- Calcule la fréquence de chaque tranche.
- Vérifie que la somme des fréquences vaut bien 100 %.
- Quelle est la variable étudiée, et de quel type est-elle ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. Le total est 100, donc chaque fréquence est directement égale à l'effectif (en %) : 18 %, 42 %, 25 %, 15 %.
2. 18 + 42 + 25 + 15 = 100 : la somme vaut bien 100 %.
3. La variable est l'ancienneté, regroupée en classes : c'est une variable quantitative continue (une durée peut prendre n'importe quelle valeur), présentée ici sous forme de tranches.
2. 18 + 42 + 25 + 15 = 100 : la somme vaut bien 100 %.
3. La variable est l'ancienneté, regroupée en classes : c'est une variable quantitative continue (une durée peut prendre n'importe quelle valeur), présentée ici sous forme de tranches.
Exercice 4 : Repérer un biais de collecte⭐⭐
Une association souhaite estimer la part des habitants d'une ville favorables à la création d'une nouvelle ligne de tramway. Elle installe un stand un jeudi matin devant la mairie et interroge les 150 premières personnes qui acceptent de répondre.
- Identifie le type de biais le plus probable dans ce protocole.
- Propose une amélioration du protocole de collecte.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. Le lieu (devant la mairie), le jour et l'heure (jeudi matin) excluent d'office une partie des habitants (ceux qui travaillent à cette heure, ceux qui ne passent jamais par la mairie…) : c'est un biais d'échantillonnage lié au mode de collecte.
2. Par exemple, tirer au sort des adresses dans l'ensemble de la ville (tirage aléatoire), ou construire un échantillon respectant les quotas d'âge et de quartier de la population réelle, en multipliant les lieux et horaires de collecte.
2. Par exemple, tirer au sort des adresses dans l'ensemble de la ville (tirage aléatoire), ou construire un échantillon respectant les quotas d'âge et de quartier de la population réelle, en multipliant les lieux et horaires de collecte.
Exercice 5 : Aléatoire ou quotas ? Comparer deux protocoles⭐⭐
Pour estimer le temps de trajet moyen domicile-travail des habitants d'une grande agglomération, deux instituts proposent chacun un protocole :
- Institut A : tirage au sort de 2 000 adresses dans le fichier complet des foyers de l'agglomération.
- Institut B : interroger des passants dans la rue jusqu'à obtenir exactement la même répartition par âge et par commune que dans la population réelle.
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
Institut A : tirage aléatoire. Avantage : chaque foyer a la même chance d'être choisi, ce qui limite les biais volontaires de sélection. Risque : si le fichier de départ est incomplet (par exemple, il ne recense pas les foyers récemment installés), l'échantillon reste biaisé malgré le tirage au sort.
Institut B : méthode des quotas. Avantage : rapide et peu coûteuse, elle garantit une structure par âge et par commune fidèle à la population. Risque : à l'intérieur de chaque quota, les personnes interrogées ne sont pas tirées au sort : l'enquêteur peut, sans s'en rendre compte, privilégier les passants les plus disponibles ou les plus abordables.
Institut B : méthode des quotas. Avantage : rapide et peu coûteuse, elle garantit une structure par âge et par commune fidèle à la population. Risque : à l'intérieur de chaque quota, les personnes interrogées ne sont pas tirées au sort : l'enquêteur peut, sans s'en rendre compte, privilégier les passants les plus disponibles ou les plus abordables.
Exercice 6 : Classes d'une variable continue et fréquence cumulée⭐⭐⭐
La durée du trajet domicile-travail (en minutes) de 200 salariés d'une même zone urbaine est regroupée en classes :
| Durée (min) | Effectif |
|---|---|
| [0 ; 15[ | 40 |
| [15 ; 30[ | 65 |
| [30 ; 45[ | 50 |
| [45 ; 60[ | 25 |
| [60 ; 90[ | 20 |
- Vérifie que le total des effectifs vaut bien 200.
- Calcule la fréquence de chaque classe, en %.
- Calcule la fréquence cumulée croissante à la fin de chaque classe (part des salariés dont le trajet dure MOINS que la borne haute de la classe).
- Dans quelle classe se situe le salarié « médian » (celui qui sépare les 50 % les plus courts des 50 % les plus longs) ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. 40 + 65 + 50 + 25 + 20 = 200 : le total est correct.
2. Fréquences (effectif / 200 × 100) : 20 %, 32,5 %, 25 %, 12,5 %, 10 %.
3. Fréquences cumulées croissantes : à la fin de [0 ; 15[, 20 % ; à la fin de [15 ; 30[, 20 + 32{,}5 = 52{,}5 % ; à la fin de [30 ; 45[, 52{,}5 + 25 = 77{,}5 % ; à la fin de [45 ; 60[, 77{,}5 + 12{,}5 = 90 % ; à la fin de [60 ; 90[, 100 %.
4. La fréquence cumulée dépasse 50 % pour la première fois dans la classe [15 ; 30[ (52,5 %, contre seulement 20 % à la fin de la classe précédente) : le salarié médian s'y trouve.
2. Fréquences (effectif / 200 × 100) : 20 %, 32,5 %, 25 %, 12,5 %, 10 %.
3. Fréquences cumulées croissantes : à la fin de [0 ; 15[, 20 % ; à la fin de [15 ; 30[, 20 + 32{,}5 = 52{,}5 % ; à la fin de [30 ; 45[, 52{,}5 + 25 = 77{,}5 % ; à la fin de [45 ; 60[, 77{,}5 + 12{,}5 = 90 % ; à la fin de [60 ; 90[, 100 %.
4. La fréquence cumulée dépasse 50 % pour la première fois dans la classe [15 ; 30[ (52,5 %, contre seulement 20 % à la fin de la classe précédente) : le salarié médian s'y trouve.
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Lecture critique d'un graphique (axe tronqué)⭐⭐⭐
Le chiffre d'affaires trimestriel d'une entreprise passe de 480 000 € à 504 000 € d'un trimestre à l'autre. Sur le graphique diffusé en interne, l'axe des ordonnées ne part pas de zéro mais de 460 000 €.
- Calcule le taux de variation réel du chiffre d'affaires, en %.
- Sur le graphique tronqué, la barre du second trimestre occupe-t-elle une hauteur proportionnelle à la vraie hausse ? Compare les deux hauteurs (par rapport au bas du graphique, à 460 000 €) pour illustrer le problème.
- Que devrait faire l'entreprise pour présenter ce résultat sans induire en erreur ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. \begin{aligned}\dfrac{504\,000 - 480\,000}{480\,000} \times 100 &= \dfrac{24\,000}{480\,000} \times 100 \\ &= 5\end{aligned} : une hausse réelle de 5 %.
2. Par rapport au bas du graphique (460 000 €), la première barre mesure 480\,000 - 460\,000 = 20\,000 et la seconde 504\,000 - 460\,000 = 44\,000 : la seconde barre paraît \dfrac{44\,000}{20\,000} = 2{,}2 fois plus haute que la première, alors que la vraie hausse n'est que de 5 % : l'axe tronqué exagère fortement l'évolution visuelle.
3. Faire partir l'axe de zéro (ou, si l'échelle tronquée est nécessaire pour la lisibilité, le signaler clairement par une cassure d'axe visible), et indiquer le taux de variation exact en pourcentage à côté du graphique.
2. Par rapport au bas du graphique (460 000 €), la première barre mesure 480\,000 - 460\,000 = 20\,000 et la seconde 504\,000 - 460\,000 = 44\,000 : la seconde barre paraît \dfrac{44\,000}{20\,000} = 2{,}2 fois plus haute que la première, alors que la vraie hausse n'est que de 5 % : l'axe tronqué exagère fortement l'évolution visuelle.
3. Faire partir l'axe de zéro (ou, si l'échelle tronquée est nécessaire pour la lisibilité, le signaler clairement par une cassure d'axe visible), et indiquer le taux de variation exact en pourcentage à côté du graphique.
Exercice 8 : Synthèse : concevoir un protocole d'enquête⭐⭐⭐
Une association d'étudiants souhaite mesurer, dans une grande université, la part des étudiants en L1 qui occupent un emploi rémunéré en parallèle de leurs études, ainsi que le nombre moyen d'heures travaillées par semaine.
- Définis précisément la population statistique de cette enquête.
- Propose une méthode d'échantillonnage adaptée, en justifiant ton choix.
- Liste au moins trois variables à collecter, en précisant leur type (qualitative/quantitative, nominale/ordinale/discrète/continue).
- Indique un biais possible de ce protocole et une façon de le limiter.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. La population statistique est l'ensemble des étudiants inscrits en première année de licence (L1) dans cette université, pour l'année en cours.
2. Un tirage aléatoire stratifié par filière de L1 est adapté : il garantit un nombre suffisant de réponses dans chaque filière (et pas seulement dans les plus grandes) tout en gardant, à l'intérieur de chaque filière, un tirage au sort qui limite les biais volontaires de sélection. La méthode des quotas serait aussi acceptable si l'on connaît déjà la répartition par filière et par âge de la population.
3. Par exemple : « occupe un emploi rémunéré » (qualitative nominale, oui/non) ; « nombre d'heures travaillées par semaine » (quantitative discrète) ; « filière de L1 » (qualitative nominale) ; « niveau de revenu familial déclaré » en tranches (qualitative ordinale).
4. Risque de biais de non-réponse : les étudiants qui travaillent beaucoup ont moins de temps pour répondre à une enquête, ce qui sous-estimerait leur part réelle. Pour le limiter : relancer les non-répondants, diversifier les canaux et horaires de diffusion de l'enquête (pas seulement en amphi en journée).
2. Un tirage aléatoire stratifié par filière de L1 est adapté : il garantit un nombre suffisant de réponses dans chaque filière (et pas seulement dans les plus grandes) tout en gardant, à l'intérieur de chaque filière, un tirage au sort qui limite les biais volontaires de sélection. La méthode des quotas serait aussi acceptable si l'on connaît déjà la répartition par filière et par âge de la population.
3. Par exemple : « occupe un emploi rémunéré » (qualitative nominale, oui/non) ; « nombre d'heures travaillées par semaine » (quantitative discrète) ; « filière de L1 » (qualitative nominale) ; « niveau de revenu familial déclaré » en tranches (qualitative ordinale).
4. Risque de biais de non-réponse : les étudiants qui travaillent beaucoup ont moins de temps pour répondre à une enquête, ce qui sous-estimerait leur part réelle. Pour le limiter : relancer les non-répondants, diversifier les canaux et horaires de diffusion de l'enquête (pas seulement en amphi en journée).